郭換芳， 劉 迪， 郭 蓉

（1.山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006； 2.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030006）

雅可比橢圓函數(shù)由于其在非保守系統(tǒng)的理論解方面具有較高的精度和一定的可行性吸引了越來越多的注意［1］. Barkham與Soudack［2-3］首先使用雅可比橢圓函數(shù)來分析確定性Duffing系統(tǒng)的近似解. 之后，一些學(xué)者發(fā)展了這類系統(tǒng)近似解的各種橢圓方法，如：橢圓諧波平衡法［4］、橢圓Krylov-Bogoliubov［5］和橢圓Lindstedt-Poincare法［6］等. Coppola［7］提出了相應(yīng)的基于橢圓函數(shù)的確定性平均法，用該方法研究確定性系統(tǒng)的動力學(xué)行為具有更高的精度. 近年來，該方法得到了進(jìn)一步的發(fā)展，Okaba與Rakaric［8］改進(jìn)了基于橢圓函數(shù)的確定性平均法，將解表示為雅可比橢圓函數(shù)，用來研究具有各種彈簧特性系統(tǒng)的動力學(xué)行為.

然而，在實(shí)際工程和自然界中不可避免地存在各種各樣的隨機(jī)擾動，如湍流、風(fēng)浪、強(qiáng)地震激勵作用等.隨機(jī)擾動的存在可能會破壞系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，對系統(tǒng)的動力學(xué)行為產(chǎn)生不可預(yù)測的影響. 因此，研究隨機(jī)擾動下系統(tǒng)的動力學(xué)行為具有重要的科學(xué)意義和廣闊的工程應(yīng)用前景. 對于Duffing系統(tǒng)隨機(jī)情形，Tien等［14］提出了基于橢圓余弦函數(shù)的隨機(jī)平均法，鄭麗文等［15-16］改進(jìn)了雅可比橢圓函數(shù)的隨機(jī)平均法，并將其應(yīng)用于高斯白噪聲與有界噪聲激勵下的隨機(jī)響應(yīng)預(yù)測.

目前，對于二次非線性系統(tǒng)隨機(jī)情形下的分析較少. 本文用基于改進(jìn)的雅可比橢圓函數(shù)的隨機(jī)平均法研究高斯色噪聲激勵下二次非對稱隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，建立與求解相應(yīng)的FPK方程從而得到關(guān)于幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度. 通過具體實(shí)例，利用Monte Carlo 數(shù)值模擬驗(yàn)證方法的有效性，進(jìn)一步分析了參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，給出相關(guān)結(jié)論.

1 二次非對稱隨機(jī)系統(tǒng)

其中：αi和Di分別為色噪聲的帶寬和激勵強(qiáng)度；ω 和τ 分別為頻率和相關(guān)時(shí)間.

2 基于雅可比橢圓函數(shù)的隨機(jī)平均方法

忽略阻尼項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)，系統(tǒng)（1）式退化為相應(yīng)的保守系統(tǒng)

系統(tǒng)的總能量為

圖1 不同線性剛度系數(shù)下系統(tǒng)的勢函數(shù)，c2=1.0Fig.1 The potential functions of the system under different linear stiffness coefficients，c2=1.0

將（5）式關(guān)于時(shí)間t 求導(dǎo)并代入（3）式中，有

合并同類項(xiàng)，得到

解上述方程，得到

比較方程（9）式和（5）式中x?，下列關(guān)系式成立

其中：B′=?B ?A k′=?k ?A .

對（5）式中x?關(guān)于時(shí)間t 求導(dǎo)，有

將（11）式代入（1）式并應(yīng)用（6）式，得到另一個關(guān)系式

令

將

（10）式和（12）式代入（13）式，結(jié)合（10）式，我們有

其中

將（14）式、（17）式代入（16）式，對時(shí)間進(jìn)行平均，表達(dá)式可轉(zhuǎn)化為周期式，計(jì)算出平均漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)，對應(yīng)于平均伊藤隨機(jī)微分方程（16）式關(guān)于幅值A(chǔ) 的FPK方程為

式（18）中令?p ?t=0，求解FPK方程，得到幅值的平穩(wěn)概率密度函數(shù)

其中：C 為歸一化常數(shù). 根據(jù)（4）式可以進(jìn)一步得到關(guān)于速度和位移的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度及各自的邊緣概率密度（da指對幅值A(chǔ)積分，避免與積分上限A表示重復(fù)，用a表示積分變量，重復(fù)并不影響結(jié)果）.

3 數(shù)值結(jié)果及分析

將變換（5）式代入（20）式中，對應(yīng)于（15）式得到

利用（17）式并結(jié)合橢圓函數(shù)的傅里葉展開可以得到相應(yīng)的平均漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)

其中：mi(i=0,…,4)分別為E和K的函數(shù)，我們很容易可以得到關(guān)于幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度.

圖2～4給出了幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線，據(jù)此來分析系統(tǒng)參數(shù)和噪聲強(qiáng)度的變化對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，其中線條（FS）表示理論結(jié)果，符號（MC）表示原系統(tǒng)的Monte Carlo數(shù)值模擬結(jié)果. 從圖中可以看出近似解析解與原系統(tǒng)Monte Carlo數(shù)值模擬結(jié)果相吻合，表明基于雅可比橢圓函數(shù)的隨機(jī)平均法可以有效地求解高斯色噪聲激勵下二次非對稱隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).

在實(shí)際中噪聲強(qiáng)度對系統(tǒng)的影響是不可忽略的. 圖2 給出了不同噪聲強(qiáng)度下幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線. 觀察可以看出，當(dāng)增大噪聲強(qiáng)度D 時(shí)幅值A(chǔ) 的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線的峰值逐漸減小，并且峰值的位置逐漸右移，說明增大噪聲強(qiáng)度能夠增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).

圖3給出了噪聲相關(guān)時(shí)間τ對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)行為的影響. 觀察可以看出，增大相關(guān)時(shí)間（即減小噪聲帶寬α）時(shí)，幅值A(chǔ) 的峰值逐漸增大，峰值的位置逐漸左移，說明增大相關(guān)時(shí)間τ，系統(tǒng)的響應(yīng)逐漸減弱.

圖2 不同噪聲強(qiáng)度下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度，c1=6.0,c2=1.0,τ=1.0,ε=0.01Fig.2 The steady-state probability densities of the system under different noise intensities at c1=6.0,c2=1.0,τ=1.0,ε=0.01

圖3 不同相關(guān)時(shí)間下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度，D=0.2,c1=6.0,c2=1.0,ε=0.01Fig.3 The steady-state probability densities of the system at different correlation times，D=0.2,c1=6.0,c2=1.0,ε=0.01

最后圖4給出了不同線性剛度下對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響. 可以看出，在不同線性剛度下系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的動力學(xué)行為，當(dāng)增大c1時(shí)，幅值A(chǔ) 的峰值逐漸增大，峰值的位置逐漸左移，這就表明，線性剛度的增大會減弱系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)行為.

圖4 不同線性剛度下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度，D=0.2,c2=1.0,τ=1.0,ε=0.01Fig.4 The steady-state probability densities of the system with different linear stiffness，D=0.2,c2=1.0,τ=1.0,ε=0.01

4 結(jié)論

本文探討了高斯色噪聲激勵下二次非對稱隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng). 引入雅可比橢圓函數(shù)變換，應(yīng)用隨機(jī)平均法，得到幅值的伊藤隨機(jī)微分方程，并建立與求解相對應(yīng)的FPK方程，導(dǎo)出幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度的解析解. 通過一個典型的例子，將理論結(jié)果和Monte Carlo 數(shù)值模擬結(jié)果比較，驗(yàn)證了解析解的有效性. 結(jié)果表明，不同的噪聲強(qiáng)度、相關(guān)時(shí)間和線性剛度對系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)有一定的影響，具體表現(xiàn)為噪聲強(qiáng)度的增大會增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而相關(guān)時(shí)間和線性剛度的增大則會減弱系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)行為.