秦瑞兵， 游 悅

（山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006）

方差問題通常在統(tǒng)計應(yīng)用中被認(rèn)作是風(fēng)險問題，如果能夠更加精確地估計變點的存在，就能及時地規(guī)避風(fēng)險，減少損失，這也是眾多學(xué)者研究方差問題的意義所在. 最早有關(guān)方差變點的統(tǒng)計學(xué)文獻(xiàn)就是Hsu等［1］，他們提出了一個方差公式作為股票收益模型中Pareto分布的替代. Inclán等［2］、Gombay等［3］考慮了獨(dú)立序列中的方差偏移問題. 在處理自回歸的觀察值序列時，Wichern等［4］選用一階自回歸模型來處理未知時刻的突變方差問題，與之不同的是，Abraham等［5］則使用了貝葉斯框架來處理這一問題. Lee等［6］提出了CUSUM平方檢驗來檢驗線性過程中方差變化. 趙文芝等［7］和袁芳等［8］采用CUSUM型統(tǒng)計量分別研究了線性過程和獨(dú)立序列中的方差變點估計問題. Zhao等［9］還就線性過程中的方差變點問題，證明了SCUSUM型估計方法具有一致性. Wang等［10］研究了線性過程中長記憶誤差的方差變點檢測問題. Bekers等［11］研究了線性過程中協(xié)方差結(jié)構(gòu)的變化問題.

Kim［12-13］使用比率檢驗來檢測線性時間序列中的持久性變化問題. Horváth等［14］使用比率檢驗來檢測均值的變化，并在弱不變原理下推導(dǎo)出觀察值之和的極限分布. Zhao等［15］采用比率檢測來檢驗線性過程中的方差變點問題，在原假設(shè)下推導(dǎo)出其漸近分布，并對變點進(jìn)行了估計. 但是Zhao等［15］的方法還存在一些問題：在方差由小變大的情況下，當(dāng)變點時刻在0.5之后，存在勢過低的現(xiàn)象，無法進(jìn)行檢測；在方差由大變小的情況下，當(dāng)變點時刻在0.5之前，同樣存在勢過低的現(xiàn)象，無法進(jìn)行檢測，所以有必要對其統(tǒng)計量做一個修正. 在本文中，我們對其提到的統(tǒng)計量進(jìn)行了改進(jìn)，使改進(jìn)后的統(tǒng)計量的勢得到了提高.

1 模型和假設(shè)

假定觀察值序列為Y1,Y2,…,Yn，考慮如下模型：

其中：μ,σ1＞0 和σ2＞0 都是未知的有限常數(shù)；k0是未知的變點；Xk是一個MA（∞）過程如下：

考慮如下假設(shè)檢驗問題：

這里的σ ＞0 為一未知的有限常數(shù). 進(jìn)一步對模型做出如下假設(shè)：

2 主要結(jié)論

現(xiàn)構(gòu)造統(tǒng)計量Mn如下所示

定理1 若原假設(shè)H0及假設(shè)①～③成立，當(dāng)n →∞時，有

并且

證明 為了不失一般性，我們假設(shè)σ1=σ2=σ=1，令

其中：ν=EX12，由Philips等［16］一文中的定理3.8和定理3.4可知，

這里：→a.s.代表以概率1收斂（也稱幾乎處處收斂）. 又有

類似地，可以得到

由上述公式（9）～（11）可以得到，對于所有的0 ＜δ ＜1/2，都有

由連續(xù)映射定理就可以得到，當(dāng)n →∞時，

定理1得證.

證明 令τ0為所觀測時間序列的真實變點，由Philips等［16］一文中的定理3.1，我們可以得到

所以當(dāng)n →∞時，

那么

所以當(dāng)n →∞時，

那么

定理2得證.

接下來，在備擇假設(shè)下，給出變點位置的估計：

定理3 若備擇假設(shè)H1及假設(shè)①～③成立，當(dāng)n →∞時，有這里：代表依概率收斂.

這里將（12）式等價的表示成：存在C ＞0，N 使得當(dāng)n ＞N 時，下列不等式成立，

當(dāng)n 充分大時，

所以

綜上可得，對于任意的0 ＜λ ＜1，我們?nèi)∫粋€較大的C 和N，當(dāng)n ＞N 時，（13）式成立. 定理3得證.

3 模擬和實例應(yīng)用

3.1 模擬

在這一節(jié)中，通過蒙特卡羅模擬對本文的統(tǒng)計量進(jìn)行檢驗，在本文中設(shè)置δ=0.2，樣本量分別為200，300，500，試驗重復(fù)次數(shù)為2000次. 模型如下所示：

該檢驗的結(jié)果在表1中給出，括號內(nèi)的值為進(jìn)行對比的Zhao等［15］一文的模擬結(jié)果. 由表1可以看出，隨著樣本量的增加，經(jīng)驗水平的扭曲程度逐漸減小，勢逐漸增大. 勢在τ0取0.5的時候達(dá)到最大，在τ0取0.75的時候相應(yīng)最小. 而Zhao等［15］在備擇假設(shè)為方差由小變大的情形下，當(dāng)τ0=0.75 時，勢的取值極小，該方法根本無法檢測是否存在變點.

表1 Mn 的經(jīng)驗水平和勢Tab.1 Empirical level and potential of Mn

為了得到變點τ?的準(zhǔn)確估計，我們基于模型（14）式在備擇假設(shè)下對變點τ?的均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行了估計，試驗重復(fù)次數(shù)設(shè)置為2000，其結(jié)果由表2所示.

表2 變點τ 的估計結(jié)果Tab.2 Estimated results of change point τ

由表2可知，變點的估計值τ?的所有均值在任何情況下都小于真實的變點τ?0，此外還可以知道變點的估計值τ?的標(biāo)準(zhǔn)差都較小，這也說明了估計的準(zhǔn)確性.

3.2 實例應(yīng)用

圖1 太陽黑子數(shù)年平均數(shù)據(jù)Fig.1 Annual average data of sunspots

圖2 函數(shù)和的圖像Fig.2 Graphs of functions and

4 結(jié)論

本文用比率檢驗來檢測線性過程中的方差變點問題，對Zhao 等［15］文章中存在的勢過低問題進(jìn)行了修正，提出了一種新的統(tǒng)計量，提高了檢驗的勢，并得到了其在原假設(shè)下漸近分布及備擇假設(shè)下的漸近性質(zhì).本文還提出一種新的變點估計方法，建立了該變點估計方法的收斂性和收斂速度. 模擬結(jié)果表明了該統(tǒng)計量在樣本量大小適中時具有比原統(tǒng)計量具有更好的經(jīng)驗水平和更高的勢，本文中提到的估計方法也具有一致性. 實例分析也驗證了這一結(jié)論.