■江蘇省張家港中等專業(yè)學(xué)校

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容與體系中較為獨(dú)特的一部分知識,內(nèi)容并不多,難度并不大,卻充分展示了中學(xué)數(shù)學(xué)中待定系數(shù)法、構(gòu)造法、特殊值法、賦值法和逆向思維等基本方法思想。破解二項(xiàng)式問題常見的思維方式就是借助二項(xiàng)式定理進(jìn)行展開,而常見的方法是通過二項(xiàng)式公式的正向與逆向應(yīng)用、賦值應(yīng)用來解決問題,其實(shí)還可以利用一些其他的非常規(guī)方法來巧妙解答相關(guān)的二項(xiàng)式定理問題。下面結(jié)合實(shí)例,以非常規(guī)技巧方法來妙解二項(xiàng)式問題。

1.巧轉(zhuǎn)化

在二項(xiàng)式定理的相關(guān)問題中,經(jīng)常會見到多于二項(xiàng)的多項(xiàng)式或較為復(fù)雜的多項(xiàng)式問題,解題時要通過合理轉(zhuǎn)化,把多于二項(xiàng)或較為復(fù)雜的多項(xiàng)式問題轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的二項(xiàng)式定理的問題來分析與求解。

例1在的展開式中,x3y3的系數(shù)為_____。的合理變形,要求解原展開式中x3y3的系數(shù),就可以轉(zhuǎn)化為求解較為簡單的

分析：根據(jù)展開式中的含xy項(xiàng)的系數(shù)問題,這樣合理轉(zhuǎn)化,易于操作,過程簡單方便。

解：由于的展開式中x3y3的系數(shù),只需求的展開式中含xy項(xiàng)的系數(shù)即可。

點(diǎn)評:結(jié)合展開式中關(guān)系式的運(yùn)算,分解相關(guān)問題,進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化,把較為復(fù)雜的二項(xiàng)式問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的二項(xiàng)式問題,這樣使得解題過程化繁為簡,起到事半功倍的效果。

2.巧換元

在解決一些二項(xiàng)式定理的相關(guān)問題時,經(jīng)常會碰到二項(xiàng)展開式的等式左右兩邊所對應(yīng)的冪的底數(shù)不一致的情況,此時往往可以借助換元思維來處理,有效降低數(shù)學(xué)思維的難度,使得問題變得簡單易解。

例2已知a1(x-1)4+a2(x-1)3+a3(x-1)2+a4(x-1)+a5=x4,則a2+a3+a4=( )。

A.12 B.13 C.14 D.15

分析：觀察二項(xiàng)展開式的等式左右兩邊,可知含有未知數(shù)的冪的底數(shù)不一致,從而需要通過巧妙換元轉(zhuǎn)化為一般情況下的二項(xiàng)展開式問題,再通過二項(xiàng)式定理的相關(guān)知識來分析與解決。

解：令x-1=t,則有x=t+1。

結(jié)合題目條件,可得(t+1)4=a1t4+a2t3+a3t2+a4t+a5。

利用二項(xiàng)式定理,則有：

故答案為C。

點(diǎn)評:結(jié)合二項(xiàng)展開式中冪的特征進(jìn)行換元處理,化陌生的二項(xiàng)展開式問題為熟知的二項(xiàng)式定理問題,借助二項(xiàng)式定理的相關(guān)知識來分析與處理即可。換元思維,使得問題熟悉化、常規(guī)化,從而得以借助常規(guī)思維來解決與處理。

3.巧分組

在解決一些涉及三項(xiàng)或更多項(xiàng)的展開式問題時,經(jīng)常根據(jù)題目條件,對相應(yīng)的三項(xiàng)或更多項(xiàng)的展開式進(jìn)行合理分組,轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式問題,再通過二項(xiàng)式定理的相關(guān)公式或性質(zhì)來分析與處理。

例3(x2+3x+2)5的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為_____。

分析：結(jié)合題中條件中的三項(xiàng)展開式(x2+3x+2)5中關(guān)系式的特征,合理進(jìn)行因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2),把問題中的三項(xiàng)式問題進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)換,再結(jié)合二項(xiàng)式定理來解決即可。

解：(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5=

可知展開式中含x的項(xiàng)為

所以展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為240,答案為240。

點(diǎn)評:對于三項(xiàng)式或更多項(xiàng)的展開式中的特定項(xiàng)問題,一般先對三項(xiàng)式進(jìn)行合理變形,比較常見的變形方式就是借助因式分解巧妙分組,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的二項(xiàng)式問題,再利用二項(xiàng)式定理解決。

4.巧建模

對于一些特殊的二項(xiàng)展開式問題,如果給出相關(guān)項(xiàng)的特征,結(jié)合組合模型特征,通過從相關(guān)二項(xiàng)式所對應(yīng)的因式中按要求提取相關(guān)的因式,進(jìn)而達(dá)到滿足條件的目的,通過合理建模來解決相應(yīng)的系數(shù)問題。

例4(2015年全國課標(biāo)Ⅰ卷理科第10題)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為( )。

A.10 B.20 C.30 D.60

分析：根據(jù)題目條件,可以把二項(xiàng)展開式(x2+x+y)5看作5個因式x2+x+y的乘積,根據(jù)所求的項(xiàng)x5y2的特征,分配各相應(yīng)的因式中所要提取的關(guān)系式,利用組合模型特征來進(jìn)行處理。

解：在(x2+x+y)5的5個因式中,要使得取出的項(xiàng)為x5y2,那么應(yīng)該從這5個因式中,其中2個因式提取項(xiàng)x2,剩余的3個因式中1個提取項(xiàng)x,其余2個因式提取項(xiàng)y,這樣就使得展開式中的項(xiàng)滿足題目條件。

根據(jù)組合模型特征,可得x5y2的系數(shù)為=30,故答案為C。

點(diǎn)評:結(jié)合二項(xiàng)展開式中所求項(xiàng)的特征,合理建立組合模型來巧妙處理。解決此類問題往往回歸二項(xiàng)式定理的本質(zhì)特征與數(shù)學(xué)模型——組合,利用組合模型特征來分析與處理,方法巧妙,簡單易懂,同時處理問題也自然流暢。

5.巧求導(dǎo)

在解決一些與二項(xiàng)式定理有關(guān)的參數(shù)值、系數(shù)和、代數(shù)式和、恒等式求值以及關(guān)系式證明等相關(guān)問題時,結(jié)合對應(yīng)代數(shù)式中系數(shù)特征,通過對二項(xiàng)展開式兩邊進(jìn)行求導(dǎo),再結(jié)合特殊值的賦值處理等相關(guān)方法來達(dá)到破解問題的目的。

例5已知(4x-3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8,則a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8=_____。

分析：結(jié)合所求關(guān)系式的系數(shù)特征,其相關(guān)的系數(shù)恰好是二項(xiàng)式右邊自變量x的次數(shù),由此聯(lián)想到冪函數(shù)的求導(dǎo)公式,通過對等式兩邊求導(dǎo),再對自變量x進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值來分析與求解。

解：已知等式(4x-3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8,兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo),得：

32(4x-3)7=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6+8a8x7。

令x=1,則有a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8=32×(4×1-3)7=32。

故答案為32。

點(diǎn)評:結(jié)合關(guān)系式的系數(shù)特征進(jìn)行合理的求導(dǎo)處理,可以針對性配湊到相對應(yīng)的系數(shù),達(dá)到巧妙破解問題的目的。若用二項(xiàng)式定理展開來處理,則會相對比較麻煩,運(yùn)算量也會倍增,解題過程也更為復(fù)雜。

其實(shí),除了以上幾種破解二項(xiàng)式定理的非常規(guī)方法外,還有其他的一些相關(guān)的方法可以采用,需要我們在在學(xué)習(xí)過程中不斷加以總結(jié)、積累與反饋。破解二項(xiàng)式定理問題的關(guān)鍵是正確分析題目條件,結(jié)合相關(guān)知識點(diǎn)加以合理轉(zhuǎn)化與化歸,采用切實(shí)可行的方法,從而達(dá)到解決二項(xiàng)式定理問題的目的。特別地,一些非常規(guī)的方法與技巧對同學(xué)們思維的發(fā)展、能力的提高和核心素質(zhì)的培養(yǎng)都是十分有益的。