《計數(shù)原理》易錯題歸類剖析
2020-04-01 05:09:04甘肅省嘉峪關市第一中學
中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2020年3期
■甘肅省嘉峪關市第一中學
兩個計數(shù)原理是學習排列組合的基礎,同學們只有準確理解兩個原理的區(qū)別和聯(lián)系,才能靈活運用兩個原理,從而輕松解決排列組合的綜合應用問題。作為高考的必考內(nèi)容,排列組合的考題在高考試卷中的占比并不多,但卻不容易得分,甚至出現(xiàn)一種聞“排列組合”色變的現(xiàn)象,出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因還是一些基本知識和常見題型沒掌握好,一不小心就會掉進陷阱。在解答排列組合問題時,易犯的錯誤是遺漏與重復,遺漏的情況一般容易發(fā)現(xiàn),重復時卻很難發(fā)現(xiàn)?，F(xiàn)在就對易錯問題進行歸類剖析!
一、疑難知識導讀
1.分類原理和分步原理的區(qū)別在于一個和分類有關,一個和分步有關。如果完成一件事有n類方法,這n類方法彼此之間是相互獨立的,無論哪一類方法都能單獨完成這件事,求完成這件事的方法種數(shù),就用分類計數(shù)原理。如果完成一件事,需分成n個步驟,缺一不可,即需要依次完成所有步驟,才能完成這件事,完成每一個步驟各有若干種不同的方法,求完成這件事的方法種數(shù),就用分步計數(shù)原理。在具體解題時,常常是完成某件事,既有分類,又有分步,僅用一種原理不能解決,這時需要認真分析題意,分清主次,選擇其一作為主線。
2.解排列與組合應用題時,應首先判斷是排列問題還是組合問題。界定是排列問題還是組合問題,唯一的標準是“順序”,有序是排列問題,無序是組合問題。當排列與組合問題綜合到一起時,一般采用先組合后排列的方法解答。
3.分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是關于計數(shù)的兩個基本原理,它們不僅是推導排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的基礎,而且其應用貫穿于排列與組合的始終。學好兩個計數(shù)原理是解決排列與組合應用題的基礎。切記：排組分清(有序排列、無序組合),加乘明確(分類為加、分步為乘)。
二、易錯題剖析
易錯題型1：混淆兩個計數(shù)原理
分類加法計數(shù)原理對應著“分類”活動,每一類方法都能完成相應的事情；分步乘法計數(shù)原理對應著“分步”活動,只有完成每一個步驟才能完成相應的事情。在實際應用時,很多同學容易混淆兩個原理。
例1某公園東側(cè)有3個大門,西側(cè)有2個大門,某人到該公園散步,則他進出門的方案有多少種?
錯解：此人進出公園大門需分兩類,一類從東邊的3個門進,一類從西側(cè)的2個門進,由分類計數(shù)原理,共有5種方案。
錯解分析：沒有審清題意,本題不僅要考慮從哪個門進,還需考慮從哪個門出,應該用分步計數(shù)原理去解題。
正解：此人進門有5種選擇,同樣出門也有5種選擇,由分步計數(shù)原理知,此人的進出門方案有5×5=25(種)。
評注:排列組合問題基于兩個基本計數(shù)原理,即加法原理和乘法原理,故理解“分類用加法,分步用乘法”是解決排列組合問題的前提。
對應練習：把4個實習生平均分配到甲、乙兩個辦公室,則不同的分法有多少種?
解析：兩個辦公室選人應是一前一后的分步關系,所以要用分步乘法原理,則不同的分配方法有=6(種)。
易錯題型2：知識交匯問題出錯
綜合性題目,考查的不僅是計數(shù)原理,而且有其他知識。
例2從-3,-2,-1,0,1,2,3,4這8個數(shù)字中任取3個不同的數(shù)字作為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a,b,c的取值,問共能組成多少個不同的二次函數(shù)。
錯解：從8個數(shù)字中任取3個不同的數(shù)字作為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a,b,c的取值,交換a,b,c的具體取值,得到的二次函數(shù)就不同,因而本題是個排列問題,故能組成個不同的二次函數(shù)。
錯解分析：忽視了二次函數(shù)y=ax2+bx+c的二次項系數(shù)a不能為零。
正解：a,b,c中不含0時,有個函數(shù)；a,b,c中含有0時,有個函數(shù)。故共有=294(個)不同的二次函數(shù)。
評注:本題也可用間接解法:a不受限制時共可構(gòu)成個函數(shù),其中a=0時有個函數(shù)不符合要求,從而共有=294(個)不同的二次函數(shù)。
對應練習：以三棱柱的頂點為頂點共可組成多少個不同的三棱錐?
解析：在三棱柱的6個頂點中任取4個頂點有=15(種)取法,其中側(cè)面上的4點不能構(gòu)成三棱錐,故有15-3=12(個)不同的三棱錐。
易錯題型3：審題不清導致錯解
排列組合問題,往往是一字之差,謬以千里。因此解決排列組合問題,一定要認真地理解題意,避免因?qū)忣}不清導致錯誤。
例3若有5本不同的書,要分配給8位同學,每位同學至多1本,共有多少種不同的分配方法?
錯解：5本不同的書分配給8位同學,相當于5個元素到8個元素的映射,故有58種不同的分配方法。
錯解分析：沒弄清題意,題中要求每位同學至多1本,不符合映射模型。本題事實上是一道排列問題。
正解：最終只有5位同學分配到書,則原問題抽象為從8個元素中取5個元素的排列問題。從而,共有=6 720(種)分法。
評注:在解決排列組合問題時,一定要注意題目中的每一句話,甚至每一個字和符號,不然就出現(xiàn)多解或者漏解的情況。
對應練習：用5種不同的顏色給圖1中標1、2、3、4的各部分涂色,每部分只涂一種顏色,相鄰部分涂不同顏色,則不同的涂色方法有多少種?
解析：先給1號區(qū)域涂色有5種方法,再給2號涂色有4種方法,接著給3號涂色方法有3種,由于4號與1、2不相鄰,因此4號有4種涂法,根據(jù)分步計數(shù)原理知,不同的涂色方法有5×4×3×4=240(種)。
圖1
易錯題型4：混淆排列和組合的概念
在處理排列組合問題時,要認真仔細審題,根據(jù)題設條件判斷問題是排列還是組合問題,不能因混淆兩個概念而造成錯解。
例4有乒乓球運動員9人,其中有4名男運動員,5名女運動員,現(xiàn)從中選4人進行男女混合雙打比賽,那么配對情況有多少種?
錯解：因為選4人參加混合雙打比賽,所以男女各2名運動員。第一步,從4名男運動員中選2人,有種方法；第二步,從5名女運動員中選2人,有種方法；第三步,再將選出的4名運動員分為兩組,則配對方法有=360(種)。
錯解分析：上述解法中,采用分步的方法是正確的,但是到第三步時沒有正確理解題意,導致出現(xiàn)錯誤。
正解：前面兩步的解法同上,第三步,將選出的2男2女進行1男1女的配對,有種方法,所以配對方法共有=120(種)。
評注:排列組合問題,一定要正確理解題意,弄清楚問題是排列還是組合,再進行計算。
對應練習：有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝1個球,共有多少種不同的裝法?
解析：第一步從5個球中選出2個組成復合元素共有種方法,再把4個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有種方法,根據(jù)分步計數(shù)原理知裝球的方法共有=240(種)。
易錯題型5：混淆平均分配和非平均分配
排列組合中的分配問題是指元素被分配到指定的位置中去,容易出錯的是平均分配和非平均分配。
例5有6位技術員要按下列方式分配到車間工作,問共有多少種不同的分配方式：
(1)平均分成三組,每組2人；
(2)分到甲、乙、丙三個車間,每組2人。
錯解：(1)分為三組,每組2人的分法有=90(種)；
錯解分析：分成三組是與順序無關的組合問題,分到三個車間是與順序有關的排列問題。
正解：(1)根據(jù)題意,每次抽取2人,共有種方法,但在這里已經(jīng)出現(xiàn)了重復現(xiàn)象。假設6人分別為A,B,C,D,E,F,則很顯然(AB,CD,EF),(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,AB,CD),(EF,CD,AB),共=3!(種)情況實際是同一種分法,所以平均分成三組,每組2人的分配方式有
評注:本題是有關分組與分配的問題,是一類極易出錯的題型,解決此類問題的方法是:(1)充分理解平均分配中的無序特點,而非平均分配隱含著順序的條件;(2)要深刻體會“先分組,后分配”的優(yōu)點。
對應練習：現(xiàn)有4個不同的獎品要獎給4位同學,恰有一位同學沒有得到獎品的情況有多少種?
解析：恰有一位同學沒有獲得獎品,說明另外三位同學獲得獎品數(shù)分別為1,1,2。實際上相當于先將獎品分為三組,其中兩組各1份獎品,另一組2份獎品,分組方法為種,然后再將這三組分配到4人手中的排列問題,共有144(種)方法。
易錯題型6：不恰當?shù)厥褂锰蕹?/h3>
從總體中排除不符合條件的方法就是剔除法,剔除法在數(shù)學解題方法中是不可或缺的,剔除法用得好,就能輕松解答問題,用不好,就會弄巧成拙。在排列組合中,正確且巧妙地使用剔除法,大有裨益。
例6在某次運動會的4×100接力比賽中,參賽的4位運動員賽前進行排兵布陣,其中甲不跑第一棒,乙不跑最后一棒,問有多少種排法。
錯解：4人全排有種方法,其中甲跑第一棒有種排法,乙跑最后一棒有種排法,所以甲不跑第一棒,乙不跑最后一棒的排法有=12(種)。
錯解分析：沒有注意到甲跑第一棒包含了乙跑最后一棒,同樣,乙跑最后一棒也包含了甲跑第一棒,這兩種情況是有重復的。
正解：甲跑第一棒同時乙跑最后一棒的排法有種,所以甲不跑第一棒,乙不跑最后一棒的排法有=14(種)。
評注:在用剔除法解排列組合問題時,要做到不重不漏。
對應練習：從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個元素分別作為直線Ax+By+C=0中的A、B、C,則不經(jīng)過坐標原點的直線有多少條?
解析：所有的直線共有=210(條),其中經(jīng)過原點的直線=30(條),則不經(jīng)過坐標原點的直線有210-30=180(條)。
排列組合是一類思考方式較為獨特的題型,解法非常靈活多變,而且常常以生動有趣的實際背景出現(xiàn),題型多樣,蘊含著豐富的數(shù)學思想方法,最為突出的思想方法就是分類討論。在解決排列組合問題時,首先,要認真審題,弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次,要抓住問題的本質(zhì),采用合理恰當?shù)姆椒▉硖幚?。解決排列組合問題,對開發(fā)同學們的智力,培養(yǎng)良好的思維方式,提升同學們的數(shù)學素養(yǎng)有很好的作用。
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