■河南省許昌市許昌高級(jí)中學(xué) 許昌市高中數(shù)學(xué)名師工作室

邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式,也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。從近年高考命題情況來看,以數(shù)學(xué)文化為背景的邏輯推理的命題層出不窮,不僅可以提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)知,加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解,而且能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。下面同大家共同賞析幾道與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的邏輯推理的問題。

一、取材于游戲中的推理問題

例1箱子里有16張撲克牌：紅桃A、Q、4,黑桃J、8、7、4、3、2,草花K、Q、6、5、4,方塊A、5,老師從這16張牌中挑出一張,并把這張牌的點(diǎn)數(shù)告訴學(xué)生甲,把這張牌的花色告訴學(xué)生乙。老師問學(xué)生甲和學(xué)生乙：你們能從已知的點(diǎn)數(shù)或花色中推知這張牌是什么牌嗎?于是,老師聽到了如下的對(duì)話：學(xué)生甲：“我不知道這張牌”；學(xué)生乙：“我知道你不知道這張牌”；學(xué)生甲：“現(xiàn)在我知道這張牌了”；學(xué)生乙：“我也知道了”。則這張牌是____。

分析：根據(jù)甲的第一句判斷出點(diǎn)數(shù)為A,Q,5,4,再根據(jù)乙的第一句判斷出花色,最后根據(jù)甲的第二句和乙的第二句判斷出該牌的點(diǎn)數(shù)。

解：因?yàn)榧字恢傈c(diǎn)數(shù)而不知道花色,甲第一句說明這個(gè)點(diǎn)數(shù)在四種花色中有重復(fù),則點(diǎn)數(shù)為A,Q,5,4其中的一種；而乙知道花色,還知道甲不知道,說明這種花色的所有點(diǎn)數(shù)在其他花色中也有,所以乙第一句表明花色為紅桃或方塊。甲第二句說明兩種花色中只有一個(gè)點(diǎn)數(shù)不是公共的,所以表明不是A；乙第二句表明只能是方塊5。

點(diǎn)評(píng):本例取材于數(shù)學(xué)游戲,考查學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理能力。數(shù)學(xué)大師陳省身先生說過“數(shù)學(xué)好玩”。游戲可讓數(shù)學(xué)更加好玩,數(shù)學(xué)又可賦予游戲以知識(shí),把游戲改編為數(shù)學(xué)試題,既不失試題的數(shù)學(xué)性,又能增加其趣味性。

練習(xí)1.甲和乙玩一個(gè)猜數(shù)游戲,規(guī)則如下：已知6張紙牌上分別寫有N*,1≤n≤6)6個(gè)數(shù)字?，F(xiàn)甲、乙兩人分別從中各自隨機(jī)抽取1張,然后根據(jù)自己手中的數(shù)推測(cè)誰手上的數(shù)更大。甲看了看自己手中的數(shù),想了想說：“我不知道誰手中的數(shù)更大”；乙聽了甲的判斷后,思索了一下說：“我知道誰手中的數(shù)更大了”。假設(shè)甲、乙所作出的推理都是正確的,那么乙手中可能的數(shù)構(gòu)成的集合是____。

解析：由題意知,6個(gè)數(shù)字分別為由甲說他不知道誰手中的數(shù)更大,可推出甲不是最大與最小的數(shù)。若乙取出的數(shù)字是則他知道甲的數(shù)字比他大還是小；若乙取出的數(shù)字是則他知道甲的數(shù)字比他大還是小；若乙取出的數(shù)字是則他不知道誰的數(shù)字更大。故乙手中可能的數(shù)構(gòu)成的集合是

二、取材于生活中的推理問題

例2A4是生活中最常用的紙規(guī)格,A系列的紙張規(guī)格特色是：①A0、A1、A2、…、A5,所有規(guī)格的紙張長寬比都相同,為∶1；②在A系列紙中,前一個(gè)序號(hào)的紙張以兩條長邊中點(diǎn)連線為折線對(duì)折裁剪分開后,可以得到兩張后面序號(hào)大小的紙,比如1張A0紙對(duì)折后可以得到2張A1紙,1張A1紙對(duì)折可以得到2張A2紙,依此類推。已知A0紙規(guī)格為84.1 cm×118.9 cm,118.9÷84.1≈,那么A4紙的長度為( )。

A.14.8 cm B.21.0 cm

C.29.7 cm D.42.0 cm

分析：設(shè)A0紙的長為=118.9,寬為a。根據(jù)題意可求出A0、A1、A2、A3、A4紙的長寬與a的關(guān)系,最后將值代入即可。

解：設(shè)A0紙的長為,則寬為a。由題意知,1張A0紙以長邊為中點(diǎn)對(duì)裁后可以的到2張A1紙,此時(shí)A1紙相鄰兩邊長度分別為和a。因?yàn)閯t前一序號(hào)紙張的寬變?yōu)楝F(xiàn)紙張的長,按此規(guī)律,可得到A2紙的長為；A3紙的長為寬為；A4紙的長為由題意得

故選C。

點(diǎn)評(píng):數(shù)學(xué)來源于生活,是對(duì)生活中現(xiàn)象的抽象。本例結(jié)合生活中司空見慣的打印紙,構(gòu)建問題,體現(xiàn)了推理在生活中的應(yīng)用。本例解答的關(guān)鍵是對(duì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,恰當(dāng)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,探求其規(guī)律,從而使問題得解。

練習(xí)2.我們?cè)谇蟾叽畏匠袒虺椒匠痰慕平鈺r(shí)常用二分法求解,在實(shí)際生活中還有三分法。比如用三分法借助天平鑒別假幣：有三枚形狀大小完全相同的硬幣,其中有一假幣(質(zhì)量較輕),把兩枚硬幣放在天平的兩端,若天平平衡,則剩余一枚為假幣,若天平不平衡,較輕的一端放的硬幣為假幣?，F(xiàn)有 27 枚這樣的硬幣,其中有一枚是假幣(質(zhì)量較輕),如果只有一臺(tái)天平,則一定能找到這枚假幣需要使用天平的最少次數(shù)為( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：第一步,將27枚硬幣分為三組,每組9枚,取兩組分別放于天平左右兩端測(cè)量,若天平平衡,則假幣在第三組中,若天平不平衡,假幣在較輕的那一組中；第二步,把較輕的9枚硬幣再分成3組,每組3枚,任取2組,分別放于天平左右兩端測(cè)量,若天平平衡,則假幣在第三組,若天平不平衡則假幣在較輕的一組；第三步,再將假幣所在的一組分成三組,每組1枚,取其中兩組放于天平左右兩端測(cè)量,若天平平衡,則假幣是剩下的一個(gè),若天平不平衡,則較輕的盤中所放的為假幣。因此,一定能找到假幣最少需使用3次天平,故選B。

三、取材于圖形的推理問題

例3圖1是美麗的“勾股樹”,它是一個(gè)直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到。圖2是第1代“勾股樹”,重復(fù)圖二的作法,得到圖3為第2代“勾股樹”,依此類推,已知最大的正方形面積為1,則第n代“勾股樹”所有正方形的個(gè)數(shù)與面積的和分別為( )。

圖1

圖2

圖3

A.2n+1-1；n+1 B.2n-1；n+1

C.2n-1；nD.2n+1-1；n

分析：本題是考查正方形的性質(zhì)及歸納推理的應(yīng)用?？赏ㄟ^研究第1代、第2代“勾股樹”中正方形的個(gè)數(shù)及所有正方形的面積之和,探究其中的規(guī)律,從而歸納出第n代“勾股樹”所有正方形的個(gè)數(shù)與面積的和。

解：第1代“勾股樹”中,小正方形的個(gè)數(shù)3=21+1-1,如圖4,設(shè)直角三角形的三條邊長分別為a,b,c,根據(jù)勾股定理得a2+b2=c2,即正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1,所有正方形的面積之和為2=(1+1)×1。第2代“勾股樹”中,小正方形的個(gè)數(shù)7=22+1-1,如圖5,正方形E的面積+正方形F的面積=正方形A的面積,正方形M的面積+正方形N的面積=正方形B的面積,正方形E的面積+正方形F的面積+正方形M的面積+正方形N的面積=正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1,所有的正方形的面積之和為3=(2+1)×1?！?依此類推,第n代“勾股樹”所有正方形的個(gè)數(shù)為2n+1-1,第n代“勾股樹”所有正方形的面積的和為(n+1)×1=n+1。故選A。

圖4

圖5

點(diǎn)評(píng):數(shù)學(xué)大師華羅庚先生曾說:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休?！币粓D勝千言,圖形不僅包含大量信息,且形象直觀,還能展示數(shù)學(xué)之美。故數(shù)學(xué)圖形也是高考命題中的熱點(diǎn)之一,常選取體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化且富有詩意的數(shù)學(xué)圖形作為命題素材。

練習(xí)3.分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科。謝爾賓斯基三角形(Sierpinskitriangle)就是一種典型的分形,是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出。在一個(gè)正三角形中,挖去一個(gè)“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”,我們用白色三角形代表挖去的部分,黑色三角形為剩下的部分,我們稱此三角形為謝爾賓斯基三角形。若在圖6內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自謝爾賓斯基三角形的概率是( )。

解析：由題設(shè)知,對(duì)于圖6,假設(shè)最大的三角形的面積為1,易得中間被挖去的最大的三角形的面積為,三個(gè)比較小的被挖去的三角形的面積為故圖6中謝爾賓斯基三角形的面積為若在圖6內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自謝爾賓斯基三角形的概率是故選C。

圖6

四、源于數(shù)學(xué)名題或定理的推理問題

例4我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中,用圖7所示的三角形,解釋了二項(xiàng)和的乘方規(guī)律。在歐洲直到1655年,法國數(shù)學(xué)家布萊士·帕斯卡在其著作中才介紹了這個(gè)三角形。近年來國外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國,所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinese triangle)?，F(xiàn)圖8中數(shù)表的構(gòu)造思路即來源于楊輝三角。

圖7

圖8

圖8的數(shù)表中,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個(gè)數(shù)a,則a的值為( )。

A.2 018×21008B.2 018×21009

C.2 020×21008D.2 020×21009

分析：楊輝三角是一個(gè)經(jīng)典且常考常新的知識(shí)點(diǎn)。本題可根據(jù)數(shù)表的結(jié)構(gòu)特征,通過觀察數(shù)表中每一行第一個(gè)數(shù)的規(guī)律,歸納出對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式,從而求得結(jié)果。

解：觀察每一行第一個(gè)數(shù)的規(guī)律：

第一行的第一個(gè)數(shù)為1=1×20；第二行的第一個(gè)數(shù)為4=2×21；第三行的第一個(gè)數(shù)為12=3×22；第四行的第一個(gè)數(shù)為32=4×23；…。故n行的第一個(gè)數(shù)為an=n×2n-1。

分析可知,共有1 010行,所以第1 010行的第一個(gè)數(shù),即a=1 010×21009=2 020×21008,選C。

點(diǎn)評(píng):本例考查了歸納推理及其應(yīng)用。以古代數(shù)學(xué)知識(shí)為背景命制的問題常與現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān),解題的關(guān)鍵是將數(shù)學(xué)史背景下的條件轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)。此類問題不僅考查學(xué)生的閱讀理解、抽象概括及轉(zhuǎn)化與化歸等方面的能力,又能通過問題情境,展現(xiàn)我國數(shù)學(xué)文化的源遠(yuǎn)流長,從而增強(qiáng)同學(xué)們的民族自豪感,以達(dá)“立德樹人”之目標(biāo)。

練習(xí)4.中國古代近似計(jì)算方法源遠(yuǎn)流長,早在八世紀(jì),我國著名數(shù)學(xué)家張遂在編制《大衍歷》中發(fā)明了一種二次不等距插值算法：若函數(shù)y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x1＜x2＜x3)處的函數(shù)值分別為y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3),則在區(qū)間[x1,x3]上f(x)可以用二次函數(shù)來近似代替：f(x)=y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2),其中請(qǐng)依據(jù)上述算法,估算的值是( )。

解析：設(shè)y=f(x)=sinx,x1=0,x2=,則y1=0,y2=1,y3=0。

答案為C。