李啟飛，溫 瑋，韓蕾蕾，范趙鵬，李沛宗

(1.海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001;2.解放軍91550部隊(duì)，遼寧 大連 116000；3.解放軍91001部隊(duì)，北京 100000)

0 引言

航空磁探測(cè)作為當(dāng)今有效的磁探測(cè)手段，已被充分應(yīng)用到地磁場(chǎng)測(cè)量、地磁異常檢測(cè)、航空物探等民用領(lǐng)域[1]以及水下目標(biāo)檢測(cè)等軍用領(lǐng)域[2]。由于水下目標(biāo)中含有的大量鐵磁性物質(zhì)，會(huì)對(duì)附近的磁場(chǎng)造成一定程度的擾動(dòng)，通過對(duì)這些擾動(dòng)，即地磁異常的測(cè)量與檢測(cè)，就能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)水下目標(biāo)的檢測(cè)。

文獻(xiàn)[3]磁偶極子模型出發(fā)，提出了用5個(gè)正交基函數(shù)作為基底函數(shù)，實(shí)現(xiàn)OBF分解對(duì)磁異常信號(hào)的檢測(cè)。文獻(xiàn)[4]提出了三個(gè)正交基底的OBF分解對(duì)磁異常信號(hào)的檢測(cè)。文獻(xiàn)[5]通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理，提高信噪比，從而提高了OBF分解的檢測(cè)效果。文獻(xiàn)[6]提出用小波對(duì)磁異常信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，并用OBF分解實(shí)現(xiàn)非高斯噪聲情況下的弱信號(hào)檢測(cè)。文獻(xiàn)[7]通過在OBF分解前，使用窄帶濾波器對(duì)檢測(cè)數(shù)據(jù)的預(yù)處理，從而將噪聲高斯化，并提高了信噪比，從而降低了虛警概率。文獻(xiàn)[8]對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)情況下的OBF分解進(jìn)行修正，實(shí)現(xiàn)對(duì)動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)。

在算法仿真過程中，需要知道目標(biāo)與飛行航路CPA點(diǎn)的距離R0，但在時(shí)間檢測(cè)過程中，對(duì)目標(biāo)缺乏先驗(yàn)信息，無法獲知其位置先驗(yàn)信息，故而缺乏對(duì)R0的掌握，使得在實(shí)際應(yīng)用過程中，無法使用經(jīng)典的OBF檢測(cè)算法。故本文提出變尺度正交基(Variable Scale Orthogonal Basis Function,VSOBF)分解的方法，通過對(duì)基函數(shù)的改造，實(shí)現(xiàn)對(duì)R0的有效估計(jì)。在對(duì)R0估計(jì)的過程中，如果對(duì)m進(jìn)行遍歷，既影響定位精度，又降低運(yùn)算速度，所以針對(duì)m-E曲線特性，通過梯度上升法，對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行迭代求解。

1 OBF模型

1.1 磁異常探測(cè)模型

當(dāng)磁傳感器與水下目標(biāo)的距離大于目標(biāo)尺寸2～3倍時(shí)，目標(biāo)的磁場(chǎng)可以被認(rèn)為是由等效磁偶極子的磁場(chǎng)。其在空間點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為：

(1)

式(1)中，μ0為真空磁導(dǎo)率。

因?yàn)槟繕?biāo)磁場(chǎng)B遠(yuǎn)小于地磁場(chǎng),所以標(biāo)量磁探儀所測(cè)量的磁異常值S可以用目標(biāo)磁場(chǎng)B在地磁場(chǎng)T上的投影表示：

(2)

圖1是本文的目標(biāo)與磁探平臺(tái)的坐標(biāo)系。

假設(shè)目標(biāo)靜止,磁探平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閍，平臺(tái)運(yùn)動(dòng)航線與目標(biāo)的最近點(diǎn)稱為CPA點(diǎn)，一般情況下我們認(rèn)為，當(dāng)磁探平臺(tái)在CPA點(diǎn)附近時(shí)，采集到目標(biāo)的信息最豐富。h是磁探平臺(tái)和目標(biāo)的高度差，l是兩者之間的橫向距離。D是磁探平臺(tái)距離CPA點(diǎn)的距離，并令w=D/R0。VSOBF算法的目的就是針對(duì)R0進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)。

1.2 傳統(tǒng)的OBF檢測(cè)算法

OBF分解是將水下目標(biāo)磁偶極子模型下的磁場(chǎng)分解成由數(shù)個(gè)正交基的加權(quán)和的一種方法，OBF分解對(duì)磁異常信號(hào)檢測(cè)的方法是對(duì)各基函數(shù)的加權(quán)系數(shù)進(jìn)行平方和運(yùn)算，并作為檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量的一種檢測(cè)方法，具體過程如下。

我們討論用三個(gè)基函數(shù)的作OBF分解時(shí)的情況，信號(hào)是3個(gè)基函數(shù)的線性組合，即

(3)

2 VSOBF模型

2.1 基于VSOBF對(duì)OBF算法的改進(jìn)

在傳統(tǒng)OBF分解檢測(cè)的仿真過程中，需要知道CPA點(diǎn)到目標(biāo)位置的距離信息R0，由于在實(shí)際探測(cè)過程中，目標(biāo)位置屬于未知信息，所以傳統(tǒng)OBF分解方法對(duì)磁異常信號(hào)的檢測(cè)很難在實(shí)際過程中進(jìn)行使用。為了能夠?qū)BF應(yīng)用于實(shí)際檢測(cè)，就需要對(duì)R0進(jìn)行準(zhǔn)確的估計(jì)，本文提出了對(duì)基函數(shù)進(jìn)行尺度、幅度變換，構(gòu)造出與距離估計(jì)量R0est有關(guān)的基函數(shù)g(m,n)，通過對(duì)不同距離估計(jì)量R0est對(duì)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量的影響，從而對(duì)距離作出準(zhǔn)確的估計(jì)。

構(gòu)造新基函數(shù)gi(m,n) ：

(4)

式(4)中，m=(R0/v)/(R0est/v)，n=t/(R0est/v)?，F(xiàn)對(duì)基函數(shù)的正交性進(jìn)行驗(yàn)證：

(5)

通過驗(yàn)證可知，該基函數(shù)滿足正交性。

其信號(hào)與基函數(shù)的線性關(guān)系如下：

(6)

其系數(shù)bi表示為：

(7)

式(7)中，Δu=v/(fs·R0est)，fs為數(shù)據(jù)的采樣率，v為磁探平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度。在變尺度基函數(shù)分解的情況下，其檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量Eest表示為：

(8)

假設(shè)R0est的值為某常數(shù)C時(shí)，改變m的大小，當(dāng)m=m0=R0/R0est時(shí)，其能量輸出Eest在CPA點(diǎn)附近達(dá)到最大值Emax。實(shí)際距離R0計(jì)算如下：

R0=mR0est

(9)

2.2 梯度上升法

當(dāng)對(duì)Eest的最大值進(jìn)行搜索的過程中，如果對(duì)m從小到大依次搜索，會(huì)產(chǎn)生較大的計(jì)算量；并且由于搜索步長(zhǎng)固定，從而使搜索的m的精度較低，所以我們急切需要一種算法來減少計(jì)算量。

從大量仿真中，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)存在目標(biāo)時(shí)，通過搜索m從而實(shí)現(xiàn)對(duì)距離R0的估計(jì)過程中，其統(tǒng)計(jì)量Eest在m0=R0/R0est出為最大值，當(dāng)mm0時(shí)，為Eest相對(duì)于m為單調(diào)減函數(shù)。此種情況下，采用梯度上升法對(duì)Eest的最大值進(jìn)行搜索，不用擔(dān)心陷入局部最優(yōu)解的困境。

磁探儀一般情況下對(duì)水下目標(biāo)的探測(cè)最遠(yuǎn)距離為500 m左右，所以我們將距離估計(jì)值R0est設(shè)為200 m是較為合理的。m的取值范圍取0.25～2.5(無量綱)。所以我們對(duì)m的搜索可以在該區(qū)間內(nèi)進(jìn)行。

步驟1 計(jì)算m=a,b兩點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)量最大值Ea,Eb，a,b的取值要盡可能的接近且a>b，并對(duì)兩點(diǎn)的梯度進(jìn)行計(jì)算。我們將梯度Ea/Ea1定義為收斂速度，其中Ea1為第一次迭代的梯度初值，當(dāng)梯度值越趨于0時(shí)，其對(duì)Emax的搜索值Eest便與真值越接近。梯度Ea表達(dá)式如下：

(10)

步驟2 按照梯度正方向來更新計(jì)算點(diǎn)，新的計(jì)算點(diǎn)表達(dá)式如下：

mb=kEa+ma,Ea>0
ma=kEa+mb,Ea<0

(11)

式(11)中，將ma,mb進(jìn)行交換，始終保持a>b；k為步長(zhǎng)，步長(zhǎng)設(shè)置既不能過大，也不能過小。步長(zhǎng)過大會(huì)造成結(jié)果不收斂，步長(zhǎng)過小會(huì)造成計(jì)算量增大，難以發(fā)揮該算法的優(yōu)越性。

步驟3 設(shè)置門限T，當(dāng)Ea>T時(shí)，返回步驟1，進(jìn)行迭代計(jì)算；當(dāng)Ea

圖2 梯度上升法示意圖Fig.2 Gradient rise method

對(duì)圖2中y=-x2+1函數(shù)求取最大值進(jìn)行舉例，步長(zhǎng)為0.5，ma=1,mb=0.9，在迭代6次左右就已經(jīng)收斂，并正確尋至最大值。

3 VSOBF的仿真

為了驗(yàn)證算法的有效性，我們用仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真分析。在此，我們定義信噪幅度比Rsn，并表示為對(duì)數(shù)形式：

(12)

式(12)中，Smax為磁異常信號(hào)的峰值，std(n)表示為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。

本次仿真使用噪聲n為服從均值為0，方差為0.38的高斯白噪聲，用來模擬地磁噪聲。梯度門限T設(shè)置為0.001，并假設(shè)磁探平臺(tái)過頂，由南至北飛過水下目標(biāo)。

仿真1R0的真值為300 m，Rsn=-18.58 dB。設(shè)置搜索步長(zhǎng)k為0.66，搜索起點(diǎn)為ma=1,mb=0.9。仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 R0=300 m的距離估計(jì)以及收斂情況Fig.3 Distance estimation and convergence(R0=300 m)

由圖3可以看出，在迭代30次左右，結(jié)果就趨近收斂，其收斂位置為m=1.662 8，距離的估算值R0est=332.56 m，相對(duì)誤差為10.85%。

仿真2 當(dāng)高度R0的真值為250 m，其磁異常信號(hào)峰值為0.404 9 nT，Rsn=-7.413 6 dB，設(shè)置搜索步長(zhǎng)k為0.3，搜索起點(diǎn)為ma=1,mb=0.9。仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 R0=250 m的距離估計(jì)以及收斂情況Fig.4 Distance estimation and convergence(R0=250 m)

由圖4可以看出，在迭代14次左右，結(jié)果就趨近收斂，其收斂位置為m=1.155，距離的估算值R0est=231 m，相對(duì)誤差為15%。

仿真3 當(dāng)高度R0的真值為200 m，其磁異常信號(hào)峰值為1.099 5 nT，Rsn=13.87 dB，設(shè)置搜索步長(zhǎng)k為0.06，搜索起點(diǎn)為ma=1,mb=0.9。仿真結(jié)果如圖5所示。

由圖5可以看出，在迭代10次左右，結(jié)果就趨近收斂，其收斂位置為m=0.990 4，距離的估算值R0est=198.08 m，相對(duì)誤差為1%。

圖5 R0=200 m的距離估計(jì)以及收斂情況Fig.5 Distance Estimation and Convergence(R0=200 m)

通過以上仿真我們發(fā)現(xiàn)，在存在噪聲的情況下，VSOBF對(duì)距離R0的估計(jì)總是存在一定的誤差，并且在噪聲越大的情況下，其定位誤差越大。在算法實(shí)際使用過程中，誤差是不可避免的，所以需要通過仿真的方法對(duì)不同距離估計(jì)值R0est下的誤差進(jìn)行定量分析。

仿真4 通過蒙特卡洛法，在100 m,200 m,300 m高度上進(jìn)行300次仿真，對(duì)定位誤差進(jìn)行分析，得到下面的結(jié)果。

圖6—圖8是R0為100 m,200 m,300 m時(shí)的R0est的分布情況，在不同的Rsn下，受到噪聲影響，R0est基本符合高斯分布。

圖6 R0=100 m的m的分布情況Fig.6 Distribution of m (R0=100)

圖7 R0=200 m的m的分布情況Fig.7 Distribution of m (R0=200)

圖8 R0=300 m的m的分布情況Fig.8 Distribution of m (R0=300)

表1R0est統(tǒng)計(jì)信息情況
Tab.1 Statistical Information ofR0est

距離真值R0/mm距離估計(jì)值R0est方差均值均值方差1009.17×10-60.48997.910.362000.00120.978195.7548.423000.02221.47295.5891.4

從統(tǒng)計(jì)信息中來看，當(dāng)R0為100 m時(shí)，信號(hào)強(qiáng)度最大，對(duì)R0的估計(jì)最準(zhǔn)確；隨著R0的增大，對(duì)R0的估計(jì)R0est的偏差越大；當(dāng)R0為300 m時(shí)，P{250

下面對(duì)檢測(cè)器性能進(jìn)行分析。

通過大量仿真我們得到了不同信噪比下的輸出Emax的分布。

圖9是在噪聲功率為5.03，R0為200 m時(shí)的輸出Emax的分布情況，其Rsn為-15.21 dB。實(shí)線為僅有噪聲情況下的Emax輸出分布；虛線表示為當(dāng)存在信號(hào)時(shí)的Emax輸出分布?？梢钥闯觯?dāng)E作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，對(duì)高斯噪聲下的磁異信號(hào)檢測(cè)有較好的效果，區(qū)分程度很高。

圖9 R0=200 m，Rsn=-15.21 dB時(shí)Emax分布情況Fig.9 Distribution of Emax(R0=200 m，Rsn=-15.21 dB)

不同噪聲情況下，使用VSOBF對(duì)磁異常信號(hào)的檢測(cè)，在不同虛警率下Pfa，使用大量仿真得到其性能曲線，如圖10所示。

圖10 VSOBF的ROC曲線Fig.10 ROC curve of VSOBF

通過對(duì)檢測(cè)器性能曲線的分析，我們看出，在當(dāng)Rsn=-10 dB,即信號(hào)基本淹沒在噪聲中時(shí)，VSOBF檢測(cè)器依然能在一定的虛警率下，保持較高的檢測(cè)性能。

由于很難選取到既具備較快的搜索速度，又能夠防止搜索結(jié)果不收斂的梯度上升法的步長(zhǎng)k，仿真5就不同k值對(duì)迭代收斂情況進(jìn)行討論，并給出了切實(shí)的k選取方法。

仿真5R0的真值為300 m，Rsn=-18.58 dB。設(shè)置搜索步長(zhǎng)k為17.8，搜索起點(diǎn)為ma=1,mb=0.9。其仿真條件除了步長(zhǎng)外，與仿真1條件一樣。

如圖11所示，當(dāng)k設(shè)置過大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)迭代不收斂的情況，其收斂速度出現(xiàn)有規(guī)律的擺動(dòng)，并且不隨迭代次數(shù)的增加而趨于收斂，即使迭代490次，其收斂情況仍然不理想。

圖11 步長(zhǎng)k過大的結(jié)果(不收斂)Fig.11 The result of too large step k(misconvergence)

同條件下，當(dāng)步長(zhǎng)設(shè)置為仿真1中步長(zhǎng)的1/3倍，即為0.22時(shí)，其收斂效率只有仿真1中收斂效率的1/3倍，導(dǎo)致對(duì)Emax的無效搜索時(shí)間過長(zhǎng)。其結(jié)果如圖12所示。

圖12 步長(zhǎng)k過小的結(jié)果(效率低)Fig.12 The result of too small step k(inefficiency)

梯度法求最值的步長(zhǎng)選取中，一般以3倍來尋找合適步長(zhǎng)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)收斂速度過慢時(shí)，將步長(zhǎng)乘以3倍，用以提高收斂效率；當(dāng)出現(xiàn)不收斂的情況，即步長(zhǎng)過大時(shí)，將步長(zhǎng)除以3，再重新求取最大值。

4 結(jié)論

本文提出了變尺度正交基函數(shù)分解對(duì)磁異常信號(hào)的探測(cè)方法，通過對(duì)基函數(shù)在幅度和尺度上的改造，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)磁探平臺(tái)與目標(biāo)之間距離的較為準(zhǔn)確的估計(jì)，并運(yùn)用梯度上升法大大提高了對(duì)距離估計(jì)值R0est的搜索速度，降低了計(jì)算量。使得OBF分解檢測(cè)算法能夠用于實(shí)際檢測(cè)過程中，其中對(duì)于R0=300 m情況下，偏差50 m范圍內(nèi)的概率為93%；且能夠在-10 dB的信噪幅度比下較好地檢測(cè)出磁異常信號(hào)。

但是，本方法存在以下不足：

1) 通過R0的估計(jì)，仍不能準(zhǔn)確對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位，而是將目標(biāo)定位CPA點(diǎn)附近，距離為R0est的水下區(qū)域中，對(duì)于下一步的目標(biāo)準(zhǔn)確定位，還需要對(duì)目標(biāo)相對(duì)與探測(cè)平臺(tái)的方位角進(jìn)行估計(jì)。

2) 海洋高空地磁噪聲在是分形噪聲，本文僅針對(duì)高斯白噪聲下的水下目標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)。距離實(shí)際應(yīng)用仍有一定的差距。