張令浩，張劍云，周青松

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

射頻資源是寶貴的自然資源，近年來，眾多服務(wù)包括雷達(dá)、通信圍繞這一資源的爭奪愈發(fā)激烈。特別是最近5年來，民用通信技術(shù)迅猛發(fā)展，5G通信技術(shù)也即將進(jìn)入日常生活。在C波段頻譜資源爭奪表現(xiàn)地十分明顯，在這一波段雷達(dá)與通信的用戶地位隨著通信的發(fā)展產(chǎn)生易位，這說明，雷達(dá)在這一波段與通信重合的射頻頻段必須作為“第二用戶”工作。 另一方面，從雷達(dá)的角度來看，雷達(dá)發(fā)射探測信號追求高距離分辨率，而信號的帶寬決定了分辨率，所以雷達(dá)系統(tǒng)追求占據(jù)更大帶寬。實(shí)際上，不僅是通信、雷達(dá)，還有無線電定位、衛(wèi)星導(dǎo)航、廣播等領(lǐng)域都在迅猛發(fā)展，積極擴(kuò)大自身占據(jù)的射頻資源，導(dǎo)致射頻資源緊張，交疊現(xiàn)象日趨嚴(yán)重。因此提高頻譜利用效率，實(shí)現(xiàn)頻譜資源合理共享具有深刻的現(xiàn)實(shí)意義。

針對當(dāng)前雷達(dá)在占用頻譜資源上面臨一部分挑戰(zhàn)，文獻(xiàn)[1]作了客觀分析并描述這些挑戰(zhàn)來自于持續(xù)的頻譜相互侵占，而且認(rèn)為這需要增強(qiáng)對干擾的魯棒性和波形多樣性。文獻(xiàn)[2—7]為實(shí)現(xiàn)頻譜共享提供了一些波形設(shè)計(jì)技術(shù)，以使雷達(dá)信號具有某些期望的譜槽(凹槽)。與以上頻譜中直接設(shè)計(jì)凹陷的思路不同，文獻(xiàn)[8]則提出了一種利用循環(huán)方法設(shè)計(jì)具有低自相關(guān)旁瓣水平和頻譜特定頻率凹陷的算法。除了考慮以上這些設(shè)計(jì)波形思路，Augusto.Aubry等人在文獻(xiàn)[9-10]中利用凸優(yōu)化理論提出了一種經(jīng)典方法，該算法針對時(shí)域和頻域施加約束，建立凸優(yōu)化問題模型，將非凸問題松弛求解，然后結(jié)合秩一分解理論[11]進(jìn)行求解，并指出設(shè)計(jì)恒模波形具有更大的實(shí)際價(jià)值。文獻(xiàn)[12]利用凸優(yōu)化模型對MIMO雷達(dá)設(shè)計(jì)恒模信號，并且將發(fā)射和接收端聯(lián)合考慮，進(jìn)行優(yōu)化，但并未對設(shè)計(jì)的波形考慮頻譜兼容性。此后該團(tuán)隊(duì)在文獻(xiàn)[13]提出了一種迭代算法研究了連續(xù)和有限相位字母表情況時(shí)恒模和相似約束下二次優(yōu)化問題，算法復(fù)雜度較低。本文針對射頻頻譜環(huán)境日益擁擠、頻譜利用率不高的問題，提出了利用凸優(yōu)化結(jié)合迭代算法設(shè)計(jì)恒模波形的方法。

1 共享頻譜恒模波形設(shè)計(jì)模型構(gòu)建

本節(jié)將對恒模波形設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)頻譜共享的思想進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，分析問題背景并建立信號、共享頻譜的模型。主要考慮基于凸優(yōu)化確立目標(biāo)函數(shù)，添加約束條件，最終得到建立共享頻譜優(yōu)化波形的非凸問題模型。

假設(shè)s∈CM′×1為離散時(shí)間信號，用以表征雷達(dá)發(fā)射的探測信號波形，M′代表信號的長度。令接收信號為y，且y是M′維的快時(shí)間維列向量，從接收端分析，可以建立模型如下：

y=βs+n′

(1)

式(1)中，β代表著從已知的目標(biāo)距離方向角范圍內(nèi)的信道傳播和后向散射效應(yīng)的一個(gè)復(fù)參數(shù)，n′代表著獨(dú)立的信號干擾，接收機(jī)內(nèi)部熱噪聲、干擾信號、交疊頻段干擾都認(rèn)為是可能的獨(dú)立干擾源?？傊?，將n′建模為一個(gè)M維協(xié)方差矩陣，均值為零的復(fù)高斯隨機(jī)向量。

眾所周知，為獲得較高的距離分辨率，雷達(dá)發(fā)射的探測信號需要具有良好的自相關(guān)特性。通過控制信號與參考信號的相似程度從而能夠很好地控制信號的變化，這種約束方法也被稱為添加相似性約束。而線性調(diào)頻信號是具有良好自相關(guān)特性的雷達(dá)常用信號，通常作為相似對象。用數(shù)學(xué)表示為：‖s-s0‖2≤κ，其中κ≥0，s0為參考信號。

s?RIs≤EI

(2)

(3)

以雷達(dá)系統(tǒng)的檢測性能為優(yōu)化指標(biāo)，選擇輸出信干噪比作為優(yōu)化對象。假設(shè)信號通過線性系統(tǒng)，ω作為系統(tǒng)系數(shù)，由式(1)知，yout=βω?s+ω?n′，則輸出信干噪比：

因?yàn)镸1/2M-1/2=I,則有

對上式利用Schwartz不等式可以得到如下結(jié)果：

令R=M-1,希望最大化信干比，有

(4)

為實(shí)現(xiàn)頻譜共享，文獻(xiàn)[9]重點(diǎn)針對能量約束尋找優(yōu)化波形做了全面的分析，本文進(jìn)一步考慮貼近工程實(shí)踐，改進(jìn)文獻(xiàn)[9]中的模型，尋求解決恒模波形設(shè)計(jì)的算法。

同樣假設(shè)信號能量為1，信號不再為任意序列而是約束為恒模序列，考慮頻譜兼容性約束及相似性約束得到：

(5)

很明顯模型(5)的約束條件中恒模約束是非凸集合，另一方面，除了恒模約束以外的兩個(gè)約束條件會使得可行集合壓縮，甚至相互矛盾導(dǎo)致空集。仿照Aubry等人在文獻(xiàn)[9]對能量約束的闡述。本文對于模型(5)，仍利用凸優(yōu)化方法解決。

2 非凸問題松弛結(jié)合迭代算法求解

上一小節(jié)中，利用凸優(yōu)化手段建立了設(shè)計(jì)恒模發(fā)射波形實(shí)現(xiàn)雷達(dá)與其他服務(wù)共享頻譜的數(shù)學(xué)模型，本節(jié)將討論對建立的模型的求解問題，對非凸問題進(jìn)行松弛，然后結(jié)合迭代算法尋找優(yōu)化解。

首先對模型(5)進(jìn)行分析，一方面討論模型(5)的松弛求解，另一方面分析在松弛后問題的可行集區(qū)域。同時(shí)利用高斯隨機(jī)化方法生成優(yōu)化信號。

本文為敘述完整，下面針對模型(5)進(jìn)行分析。將式(5)寫成如下形式：

(6)

進(jìn)一步得

(7)

(8)

式中，σ=(1-κ/2)2,S=ss?，而且‖s-s0‖2顯然滿足

‖s-s0‖2=[2-2Re(s?s0)]

(9)

將式(6)恒模約束拋掉，將目標(biāo)函數(shù)和約束條件寫成跡的形式，并且只對S=ss?的主對角線元素作約束，松弛成可解的SDP問題，可以得到Q′，其中S0=s0s0?。Q′是對(6)的較大的松弛，二者并不等價(jià)，但仍然需要先給出Q′的解，然后結(jié)合迭代算法控制波形，得到效果更好的優(yōu)化波形

(10)

式(10)中，S0表示S為半正定矩陣。在求解該問題之前，需要分析約束條件所構(gòu)成的可行區(qū)域問題。由q1中約束條件分析，EI的取值范圍應(yīng)為得到式(11)的解，同時(shí)取構(gòu)成可行集。其中表示問題的優(yōu)化值。

(11)

進(jìn)一步等效為：

(12)

如同式(6)寫成式(7)，將式(11)可以寫為

(13)

在這里，利用高斯隨機(jī)化方法[12]尋找優(yōu)化解，并令s″=s′ejarg(s′?s0)。使用該方法，選取生成的隨機(jī)化次數(shù)越高，便能夠越好地得到高度近似解。

由于在松弛過程中，拋掉恒模約束，使得優(yōu)化解偏離最優(yōu)解很多，得到信號在指定的頻段能量譜密度會有所降低，但降低幅度較小，因此進(jìn)一步考慮將此優(yōu)化解作為相似對象，繼續(xù)尋找效果更優(yōu)的信號序列。

文獻(xiàn)[13]提出一種迭代算法，可以用來在常模與相似約束下尋找頻譜能量降低的信號。為保證本文結(jié)構(gòu)的完整性，本文將對文獻(xiàn)文獻(xiàn)[13]中方法的思想進(jìn)行概述，以下簡稱連續(xù)相位迭代算法(IA-CPC)。

首先，在上面的模型構(gòu)建中，相似性約束都是利用數(shù)學(xué)表達(dá)式‖s-s0‖2≤κ，其中κ≥0，s0為參考信號。此時(shí)，考慮換另一種表述，利用m無窮范數(shù)‖s-s0‖m≤ξ，ξ≥0表示。

那么對于恒模約束和相似性約束，可以建立模型為：

(14)

進(jìn)一步轉(zhuǎn)化得到

(15)

式(15)中，γi=args0(i)-arccos(1-ξ2/2)，而且δ=2arccos(1-ξ2/2) 。迭代求解目標(biāo)函數(shù)值，主要的思想是將信號s中M′-1個(gè)元素固定，優(yōu)化剩下的一個(gè)元素，然后以此方法優(yōu)化所有元素，得到一個(gè)優(yōu)化信號，然后以此信號作為相似信號，重復(fù)以上步驟，當(dāng)信號滿足設(shè)定條件或者循環(huán)次數(shù)結(jié)束，則輸出信號，具體見文獻(xiàn)[13]。

結(jié)合上述迭代算法，便可以很好地解決設(shè)計(jì)恒模波形實(shí)現(xiàn)共享頻譜的問題。大體思路如下：利用凸優(yōu)化工具箱求解模型(10)，再用高斯隨機(jī)化方法，隨機(jī)生成X組零均值協(xié)方差矩陣為S的高斯隨機(jī)向量，即ξi∈CM′×1,i=1,…X，并且同時(shí)滿足ξi～N(0,S) ，每生成一組隨機(jī)向量ξi代入目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式中得到相應(yīng)的信干噪比(SINR),選取使得SINR最大的隨機(jī)向量作為輸出的信號s″。

然后再將s″作為相似對象, 控制相似性參數(shù)，這里取較小的參數(shù)，使優(yōu)化解在較小的范圍內(nèi)變化，求解以下問題：

(16)

式(16)中，γi=args″(i)-arccos(1-ξ2/2) ，而且δ=2arccos(1-ξ2/2) 。

根據(jù)以上思路，本文提出的高斯隨機(jī)化方法結(jié)合IA-CPC算法步驟如下：

1) 利用凸優(yōu)化工具求解Q′(10)模型并得到復(fù)矩陣S′，同時(shí)計(jì)算S′的秩；

2) 若rank(S′)=1,直接對S′進(jìn)行特征值分解即得到最優(yōu)解，跳到步驟5)；

3) 若rank(S′)>1，以均值為零，協(xié)方差矩陣為S′隨機(jī)生成X組隨機(jī)向量，同時(shí)代入信噪比表達(dá)式；

5) 取s″=s′ejarg(s′?s0)；

6) 利用連續(xù)相位迭代算法(IA-CPC)求解模型(16)；

7) 輸出信號s。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

本節(jié)將添加相關(guān)數(shù)值并進(jìn)行仿真。需要說明的是，仿真過程中為更好地體現(xiàn)算法一的有效性，將先對算法一中步驟5的輸出結(jié)果進(jìn)行分析，然后對步驟7輸出的信號作仿真。

假設(shè)相似對象為線性調(diào)頻信號滿足：

(17)

假設(shè)在歸一化頻帶上，存在以下幾個(gè)重疊頻帶，

對于干擾，假設(shè)干擾有窄帶敵對干擾、白噪聲以及交疊頻段合法的發(fā)射器產(chǎn)生的干擾，各干擾源相互獨(dú)立。干擾信號的協(xié)方差矩陣建模為[9]：

(18)

下面對模型(5)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)仿真，根據(jù)式κ≥v((Q)′EI)與式(12)、式(13)畫出可行集區(qū)域(注意：在仿真圖中使用E代表公式中EI)，見圖1。

圖1 干擾相似性區(qū)域Fig.1 Interference and similarity achievable region

根據(jù)圖5中標(biāo)注出的其中幾個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真(E1=0.08，K1=0.085 6)、(E2=0.08，K2=0.153)、(E3=0.08,K3=0.216)。

選擇(E1=0.08，K1=0.085 6)解決問題模型(10)，利用高斯隨機(jī)化方法生成信號，隨機(jī)化次數(shù)選擇為20 000次，并取恒模得到信號s′,仿真其自相關(guān)函數(shù)(ACF)和能量譜密度(ESD)效果如圖2。

圖2 高斯隨機(jī)化方法自相關(guān)仿真結(jié)果Fig.2 ACF simulation results of Gauss randomization method

執(zhí)行步驟5后ESD比較圖如圖3。

執(zhí)行步驟6)、7)得到的信號自相關(guān)函數(shù)及能量譜密度結(jié)果如圖4、圖5。

從圖2、圖4中可以看出，在求解模型(10)時(shí)，利用高斯隨機(jī)化方法得到的信號自相關(guān)特相較而言，高斯隨機(jī)化方法得到的信號自相關(guān)特性比較好，并且圖3也可以看出符合在指定的頻段信號譜能量降低的恒模信號要求，說明該模型(10)在求解頻譜共享恒模波形設(shè)計(jì)時(shí)是有效的。但是這樣得到的信號在指定頻段能量譜密度下降5～10 dB，因此考慮以此信號組為相似對象，犧牲部分的自相關(guān)特性，得到更明顯的信號頻譜兼容特性。所以看到圖3中紅色線，自相關(guān)特性變得稍差，但圖5中，可以看到信號在指定頻段能量譜密度降低明顯。

圖3 能量譜密度比較效果圖Fig.3 Comparison of ESD

圖4 自相關(guān)仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of ACF

圖5 能量譜密度比較效果圖Fig.5 Comparison of ESD of signals

圖6給出了利用本文的方法得到的信號的幅度為恒定的，利用其他數(shù)據(jù)點(diǎn)得到的信號幅度都是如此，后面不再重復(fù)繪制。

圖6 信號幅度Fig.6 Amplitude of signal

下面，考慮將圖1中不同的點(diǎn)利用本文提出的方法得到的信號進(jìn)行仿真比較。圖7給出了得到的信號自相關(guān)函數(shù)仿真結(jié)果，可以看到，相對于參考信號(圖中綠色線)，信號的旁瓣水平雖然有所升高，但信號整體的自相關(guān)函數(shù)特性仍然得到了有效控制，換句話說，犧牲部分自相關(guān)特性換取信號的恒包絡(luò)特性是有效的。

取頻譜兼容性參數(shù)固定的情況下，相似性參數(shù)不同，利用圖1的數(shù)據(jù)得到的信號能量譜密度結(jié)果如圖8所示。

圖7 信號的自相關(guān)函數(shù)仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of signal autocorrelation function

圖8 能量譜密度比較效果圖Fig.8 Comparison of ESD

除此之外，也對該方法得到的信號信干噪比進(jìn)行仿真，給出信干噪比在E=0.08時(shí)，隨著相似性參數(shù)k的變化趨勢，如圖9所示。

圖9 E=0.08時(shí)信號信噪比隨k變化曲線 Fig.9 Change curve of SINR with k when E=0.08

同理，根據(jù)圖5中標(biāo)注出的其余幾個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真(E1=0.08，K1=0.085 6)(E4=0.121;K4=0.085 6)(E5=0.16,K5=0.085 6)，信號自相關(guān)函數(shù)與能量譜密度對比圖如圖10、圖11。

圖10 信號的自相關(guān)函數(shù)仿真結(jié)果Fig.10 Simulation results of signal autocorrelation function

圖11 能量譜密度比較效果圖Fig.11 Comparison of ESD

從仿真圖7—圖11可以看出利用本文方法可以在指定的頻段給出了一個(gè)很好的“頻譜凹陷”，即能夠有效地實(shí)現(xiàn)在該凹陷的頻率范圍實(shí)現(xiàn)與其他服務(wù)的共享，但仿真結(jié)果也說明，良好的頻譜兼容特性是犧牲信號的自相關(guān)特性換取的。盡管如此，我們?nèi)钥梢栽谝粋€(gè)合理的范圍內(nèi)，利用該方法找到頻譜兼容特性和自相關(guān)特性盡可能好的恒模信號，圖9顯示，該方法得到的信噪比在E=0.08時(shí)圖1給定的可行集區(qū)域內(nèi)呈現(xiàn)上升趨勢，進(jìn)一步說明的該方法的有效性，曲線之所以不是十分平滑，是因?yàn)樵谠摲椒ㄔ诰唧w執(zhí)行過程中利用高斯隨機(jī)化方法生成信號具有隨機(jī)性造成的。在計(jì)算復(fù)雜度方面，該方法既涉及求解SDP問題，同時(shí)也涉及迭代算法，而求解SDP問題復(fù)雜度要遠(yuǎn)高于后者復(fù)雜度，此外計(jì)算復(fù)雜度也與高斯隨機(jī)化方法生成信號的次數(shù)有關(guān)。

4 結(jié)論

本文提出了共享頻譜雷達(dá)恒模發(fā)射波形設(shè)計(jì)方法。該方法的主要思想是針對恒模要求等約束條件利用凸優(yōu)化手段建立數(shù)學(xué)模型，分析可行集并將非凸問題松弛成為可解的SDP問題。然后利用高斯隨機(jī)化方法生成優(yōu)化信號，但是由于松弛之后的問題模型偏離初問題比較明顯，得到的解在指定的頻段頻譜密度僅下降10 dB左右，進(jìn)一步利用迭代算法(IA-CPC)控制相似性參數(shù)得到頻譜兼容特性更好的信號。仿真結(jié)果表明，利用本文提出的方法得到的優(yōu)化信號在指定頻段頻譜能量下降明顯，效果理想，能夠很好地實(shí)現(xiàn)雷達(dá)與通信共享頻譜。該方法涉及的計(jì)算復(fù)雜度仍較高，下一步研究方向是對現(xiàn)有方法進(jìn)行改進(jìn)、優(yōu)化，以降低算法復(fù)雜度。