賈英杰，陳志同

（北京航空航天大學機械工程及自動化學院，北京 100191）

1 引言

在曲面加工中，寬行加工是有效提高加工效率的一種方法，通過優(yōu)化刀具的姿態(tài)實現(xiàn)加工行寬的最大化[1]。中點法[2]可以實現(xiàn)刀具與曲面間的雙點切觸，獲得較大行寬，是目前寬行加工中常用的刀位優(yōu)化算法。但由于中點法在刀位優(yōu)化過程中需要調(diào)整兩個以上的設計變量，若逐一優(yōu)化每個刀位，不僅需要耗費大量計算時間，而且生成的刀軌容易出現(xiàn)波動。

一行刀軌的行寬取決于每行刀軌的最窄行寬點，而對于行寬較大處，實際上沒有必要以行寬最大化為目標對刀具姿態(tài)做充分優(yōu)化。如果只優(yōu)化計算最窄行寬處的刀位，其他刀位通過插值得到，這樣既節(jié)約了計算時間，又可以有效解決刀軌不光順問題。其中關鍵的一步，便是最窄行寬點的預測，這也是研究目的和意義所在。目前還沒有對關于曲面上最窄行寬點的位置的相關研究，可以參考的現(xiàn)有文獻中求解加工行寬的方法有很多?；谖⒎謳缀蔚耐队皺E圓法[3-4]計算簡單，但僅僅在單一平面內(nèi)衡量刀具和工件曲面的接觸情況，誤差較大。北航基于最短距離線原理，發(fā)展出了離散刀具法[5-7]和離散工件曲面法[8]。通過建立任意刀位下的誤差分布曲線，進而確定加工行寬。這種基于數(shù)值求解的方法可以精確計算出加工行寬，基于離散刀具法研究行寬與曲率的關系。

首先對誤差分布和曲率的關系進行理論研究，然后使用實驗方法對中點法下行寬和主曲率的關系進行研究，最后給出了依據(jù)主曲率預判最窄行寬位置的方法。

2 誤差分布與曲率關系研究

基于最短距離線對的誤差分布曲線求解示意圖，如圖1所示。

圖1 誤差分布求解示意圖Fig.1 Error Distribution Solution

設誤差分布曲線為函數(shù)y=f（x），其中一個切觸點為x=x0，則f（x0）=0，f′（x0）=0。依次在x=x0，x1，…，xn-1處進行泰勒展開如下：

忽略無窮小項，并x=xi+1將帶入上式，令yi=f（xi），駐yi=yi+1-yi，得到：

則x=xn處的最短距離線的長度yn為：

其中，駐xi表示的離散密度趨于無窮小且已知，因此yn可以寫成關于f′（xi）和f″（xi）的函數(shù)，即：

二階導數(shù)可以通過一階導數(shù)的差分得到：

又有曲率的計算公式如下：

聯(lián)立式、為方程組，求解f′（xi）、f″（xi）和ρi的關系。設其中ρi（i＝0，1，…，n）設為已知量，f′（x0）=0為已知，f′（xi），（i＝0，1，…，n）和f″（xi），（i＝0，1，…，n）為未知量。該方程組中未知量的個數(shù)和方程的個數(shù)相等均為2n+1，方程組可解。因此f′（xi）和f″（xi）可以寫成關于ρi的函數(shù)：

將式帶入式，得到y(tǒng)n關于ρi的函數(shù)：

由式可以得出，誤差分布曲線的形狀由其曲率分布決定，而式中的曲率ρ由刀具曲面與設計曲面的曲率共同決定的[10]。將上述結(jié)論擴展到空間中，可以得出誤差分布是由刀具曲率和設計曲面的局部曲率分布決定的。

行寬是基于誤差分布曲線進行計算的，此外還需要設定殘留高度。因此可以認為行寬是以設計曲面的局部曲率分布、刀具半徑和殘留高度為變量的函數(shù)，實際加工過程中殘留高度和刀具半徑是確定的，因此設計曲面的局部曲率分布決定了行寬。因此研究行寬與曲率的關系就可以找到預測最窄行寬點的方法。曲面曲率一般為連續(xù)的，當設計曲面局部曲率變化不大時，單點曲率可以近似描述局部曲率分布情況，主要包括最大主曲率和最小主曲率。基于刀位點處的單點曲率特征，通過試算統(tǒng)計、數(shù)據(jù)分析的方法，研究行寬與主曲率的關系，進而對最窄行寬點的位置做出預測。

3 試算步驟

基于實驗法，令同一刀具加工具有不同曲率特征的曲面，求解行寬并記錄，試算過程如下：（1）建立刀具模型。刀具底刃為圓環(huán)面，刀具半徑R為10mm，圓環(huán)面截圓半徑r為1mm。（2）建立待加工曲面模型。建立若干最大主曲率和最小主曲率各不相同的待加工曲面。（3）刀具定位和刀位優(yōu)化。采用中點法，通過優(yōu)化前傾角和側(cè)偏角兩個變量使刀具和曲面間達到雙點切觸的狀態(tài)，此時認為行寬達到最大。（4）計算行寬。殘留高度δ設為0.01mm，并研究不同殘留高度下行寬和曲率的關系。采用離散刀具法求解誤差分布曲線，進而計算行寬。（5）數(shù)據(jù)記錄與分析。繪制行寬-曲率的關系圖，分析得出行寬與曲率的關系。為了剔除具體刀具尺寸對實驗結(jié)果的影響，這里行寬指的是實際行寬占刀具直徑的百分比，而曲率則是刀具半徑單位化后設計曲面相對曲率。

4 行寬與主曲率的關系

4.1 行寬與最大主曲率的關系

將最小主曲率k2設為任一定值（此處設為0），最大主曲率k1從0逐漸增大到1，得出行寬w隨k1的變化規(guī)律，計算結(jié)果，如圖 2（a）所示。

圖2行寬與最大主曲率的關系Fig.2 Relationship between Strip-width and Maximum Principal Curvature

圖2 中，最大主曲率k1從0逐漸增大到1時，行寬w是一個先減小后增大的過程。當k1=0時，刀具加工平面，刀具平放，行寬等于刀具直徑；隨著k1的增大，刀具傾角增大，與設計曲面貼合程度降低，行寬減小；當k1繼續(xù)增大接近1時，曲率半徑接近于刀具半徑，由于刀具傾角很大，刀具的投影橢圓近似為一個圓形，與設計曲面貼合程度較高，行寬反而增大直至與設計面完全貼合。

4.2 行寬與最小主曲率的關系

將最大主曲率k1設為任一定值（此處設為0.5），最小主曲率k2從-1逐漸增大到k1，得出行寬w隨最小主曲率的變化規(guī)律，如圖3所示。圖3中，最小主曲率從-1逐漸增大到k1時，行寬是一個逐漸增大的過程。刀具的臨界前傾角由最大主曲率決定，在最大主曲率恒定時，刀具的前傾角不隨最小主曲率而改變。在最小主曲率從-1增大到最大主曲率的過程中，曲面在最小主曲率方向上從“凸”逐漸變“平”再逐漸變“凹”，刀具后沿與設計曲面的距離h逐漸減小，貼合程度逐漸增高，行寬逐漸增大。當最小主曲率等于最大主曲率時，刀具底刃與設計曲面完全貼合，行寬等于刀具直徑。

圖3 行寬與最小主曲率的關系Fig.3 Relationship between Strip-width and Minimum Principal Curvature

5 基于主曲率的最窄行寬點預測

5.1 最窄行寬點預測

主曲率的取值范圍為三角區(qū)域，如圖4所示。該區(qū)域中又分為3塊區(qū)域分別對應凹橢圓點、凸橢圓點和雙曲點。采樣若干曲率特征點，針對每個曲率特征點設計具有不同最大主曲率和最小主曲率的設計曲面。計算每一個曲率特征點對應的行寬，最終得到行寬w和最大主曲率k1、最小主曲率k2的等值線云圖，如圖5所示。

圖4 主曲率的取值范圍Fig.4 Range of the Value of Principal Curvature

圖5 行寬在主曲率坐標系中的等值線云圖Fig.5 Contour Map of Strip-width in Principal Curvatures Coordinate System

通過圖5中繪制的k1，k2∈［-0.3，0.3］范圍內(nèi)行寬的等值線圖可以得到如下規(guī)律：在k1-k2坐標系內(nèi)，在k1，k2接近于0的區(qū)域內(nèi)，w沿近似斜45°方向遞減，且在不同殘留高度啄下這一規(guī)律依然成立。據(jù)此得到如下結(jié)論：在主曲率較為平坦的區(qū)域內(nèi)（k1，k2∈［-0.3，0.3］），令 駐k=k1-k2，駐k 越大，行寬 w 越小，因此 駐k 最大的刀位點即為最窄行寬點。

5.2 實例驗證

采用一模具曲面作為計算對象，該曲面的主曲率k1，k2∈［0，1.7］，在圖5所示的［-0.3，0.3］區(qū)間內(nèi)。在曲面上采樣若干刀位點，并獲取k1，k2，按照第3節(jié)的試算步驟計算行寬。計算結(jié)束后得到各刀位點的行寬w與主曲率差值駐k，將其繪制成散點圖，如圖6所示。

圖6 模具型面計算實例Fig.6 An Example of Mold Surface Calculation

從圖中可以看出，對于采樣的若干刀位點，主曲率差值駐k越大，行寬w越小。正如在5.1節(jié)中得出的結(jié)論，在k1，k2坐標系中，如圖5（b）所示．行寬w的等高線為斜45°且向右下方遞減，每個駐k的值代表著一條等高線。當駐k＝0時，在k1＝k2這條等高線上，由于兩個方向的主曲率相等，刀具可以完全貼合曲面，行寬最大。隨著駐k逐漸增大，最大最小主曲率差值越大，等高線逐漸向右下方偏移，行寬逐漸減小。因此圖6的散點圖驗證了當設計曲面相對平坦時，w與駐k呈負相關，刀位點處曲面的駐k越大，行寬w越窄的結(jié)論，這為日后曲面上最窄行寬點的預測提供了依據(jù)。

6 結(jié)論

（1）通過理論分析得出刀具曲面與設計曲面間的誤差分布是由刀位點附近處的局部曲率分布決定的。（2）分析了行寬與主曲率的關系：當最小主曲率一定時，隨著最大主曲率的增大，行寬先減小后增大；當最大主曲率一定時，隨著最小主曲率的增大，行寬增大。（3）在主曲率坐標系內(nèi)繪制了行寬的等值線云圖，通過該圖得出了在主曲率較小的區(qū)域內(nèi)行寬沿近似斜45°方向遞減的規(guī)律。根據(jù)這一規(guī)律得到最窄行寬點的預測方法：當設計曲面相對平坦時，行寬與最大主曲率與最小主曲率的差值呈負相關，因此主曲率差值最大的刀位點即為最窄行寬點。并通過實例驗證了上述結(jié)論。鑒于研究主體為單點主曲率與行寬的關系，因此所提方法適用于局部曲率變化不大的曲面的行寬預測。這里的方法對于解決曲率變化豐富的曲面的行寬的預測問題存在一定限制，該問題將作為后續(xù)研究問題。