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        如何在高中數(shù)學(xué)例題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)

        2020-03-27 12:24:27許德福
        關(guān)鍵詞:解題

        許德福

        [摘 ?要] 例題教學(xué)的視角下進(jìn)行思維能力的培養(yǎng)是高效的. 文章闡述了例題教學(xué)視角下,通過一題多解、正難則反、設(shè)置開放題、一題多變以及題后反思等方法,培養(yǎng)學(xué)生思維的逆向性、深刻性、求異性、發(fā)散性以及嚴(yán)謹(jǐn)性.

        [關(guān)鍵詞] 例題教學(xué);解題;逆向性;深刻性;發(fā)散性;嚴(yán)謹(jǐn)性

        思維品質(zhì),也就是思維的智力品質(zhì),它是通過思維的活動所展現(xiàn)出來的一種個(gè)體差異性,從而不同的人具有不同的思維特征.楊清教授曾在《心理學(xué)概論》中闡明思維品質(zhì)的培養(yǎng)是發(fā)展思維的重要手段. 因此,教師在教學(xué)中,尤其是數(shù)學(xué)例題教學(xué)中,需努力培養(yǎng)學(xué)生好的思維品質(zhì),它不僅僅是學(xué)生智力發(fā)展的突破口,也是提升教學(xué)質(zhì)量的有效途徑,更是當(dāng)下改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方法中需引起極度重視的問題.

        那么,如何在優(yōu)化例題和設(shè)計(jì)例題教學(xué)過程的頂層設(shè)計(jì)之下,積極探索思維品質(zhì)在課堂落地的方法和路徑,設(shè)計(jì)出一些思維品質(zhì)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)例題教學(xué)案例,并通過合理的教學(xué)策略實(shí)施教學(xué)過程,是每一位數(shù)學(xué)教師需思考和實(shí)踐的課題. 本文試圖以例題教學(xué)為媒介,在培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和創(chuàng)新精神方面進(jìn)行闡述,通過數(shù)學(xué)實(shí)踐實(shí)現(xiàn)思維品質(zhì)的培養(yǎng).

        從“一題多解”中培養(yǎng)求異思維

        在例題教學(xué)中,教師需從學(xué)生的實(shí)際和題目本身的特點(diǎn)出發(fā),實(shí)施一題多解的訓(xùn)練,鼓勵學(xué)生多角度、多方位去思考,運(yùn)用自己擅長的方法去解答,并敢于求“異”,實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)知識之間的有效溝通,讓學(xué)生在訓(xùn)練中積極思考,從而有效克服學(xué)生思維狹隘性的特征,達(dá)到培養(yǎng)思維的求異性和創(chuàng)造力的目的[1].

        例1:已知橢圓 + =1上有一動點(diǎn)P,試求出該動點(diǎn)P到其中一焦點(diǎn)F距離的取值范圍.

        學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考和自主探究,呈現(xiàn)了以下多種解法的精彩場面:

        解1:若設(shè)點(diǎn)F為右焦點(diǎn),則有F(1,0). 設(shè)P(2cosθ, sinθ),則有PF = ?=2-cosθ.

        因?yàn)閏osθ∈[-1,1],所以PF=2-cosθ∈[1,3].

        解2:若設(shè)P(x,y),據(jù)F(1,0),可得PF= = = .

        因?yàn)閤∈[-2,2],所以PF∈[1,3].

        解3:設(shè)F′為左焦點(diǎn),則有FF′=2,那么△PFF′中,則有PF′-PF≤FF′. 因?yàn)镻F′+PF=4,所以4-2PF≤2,1≤PF≤3.

        解4:過點(diǎn)P作橢圓右準(zhǔn)線的垂線,P′為垂足,因?yàn)?= = ,

        所以PP′=2PF. 又因?yàn)?-a≤PP′≤ +a,所以2≤PP′≤6,

        所以2≤2PF≤6,1≤PF≤3.

        本例題中將多個(gè)知識點(diǎn)融匯于一道題目之中,引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)定義出發(fā),深化知識之間的縱橫聯(lián)系,大大拓寬學(xué)生的思維空間,從而達(dá)到殊途同歸的效果,在提升應(yīng)變能力的同時(shí),發(fā)展思維的求異性.

        從“正難則反”中培養(yǎng)逆向思維

        實(shí)踐證明,思維的發(fā)展是整體推進(jìn)的,逆向思維與正向思維、發(fā)散思維總是交織存在的. 這就要求在例題教學(xué)中,如果有些題型正面入手較為困難,則可從其反面進(jìn)行思考,借助“正難則反”的思維策略,進(jìn)一步探究出解決問題的路徑,促進(jìn)逆向思維的發(fā)展.逆向思維作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項(xiàng)綜合能力,可以有效克服定向思維的保守性,開拓新的知識領(lǐng)域,提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣[2].

        例2:已知x,y>0,且有x3+y3=2,求證:x+y≤2.

        解:假設(shè)x+y>2,那么x>2-y.

        不等式兩邊立方后,可得x3>8-12y+6y2-y3,即x3+y3>8-12y+6y2.

        因?yàn)閤3+y3=2,所以8-12y+6y2<2,即6(y-1)2<0,

        以上不等式顯然不成立,因此假設(shè)不成立,由此可得x+y≤2.

        數(shù)學(xué)解題中對某些問題有意識地運(yùn)用反證法,不僅豐富了不等式求解的方法,優(yōu)化了求解過程,還可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力,引領(lǐng)學(xué)生突破定向思維的束縛,對提高高中生的創(chuàng)造性思維和逆向思維能力有著十分重要的意義.

        從“開發(fā)題”中培養(yǎng)發(fā)散思維

        所謂的“思維的發(fā)散性”,顧名思義就是從眾多知識領(lǐng)域和知識點(diǎn)著手去解決問題,是開闊性和全面性思維品質(zhì)的體現(xiàn). 高中生由于受年齡特征影響,往往容易受思維定式的負(fù)面效應(yīng)影響,在解題時(shí)易墨守成規(guī),思維不易發(fā)散. 這就要求教師在例題教學(xué)時(shí)需順應(yīng)高考新動向的需求,領(lǐng)悟新課程改革的理念,合理編制開放型例題,以數(shù)學(xué)例題這一載體而放飛、發(fā)展和升華學(xué)生的發(fā)散思維.

        例3:已知⊙M過A(1,0),B(3,2)兩點(diǎn),________(請補(bǔ)充一個(gè)條件),試求出⊙M的方程.

        依據(jù)“兩點(diǎn)無法確定一圓”,所以這里條件的增添是必不可少的. 學(xué)生親歷思考、探究和討論,補(bǔ)充的條件主要有:①還經(jīng)過點(diǎn)……;②⊙M的半徑長度為……;③圓心M在直線…….

        這一例題的設(shè)置真可謂獨(dú)具匠心,條件的開放可以啟發(fā)學(xué)生學(xué)會提問和善于思考,培養(yǎng)發(fā)散思維;而要求解這一問題,還可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,達(dá)到培養(yǎng)思維嚴(yán)密性的效果. 例如,在添加點(diǎn)的時(shí)候,直線AB:x-y-1=0必須除外;在設(shè)置半徑長度時(shí),半徑需不小于 ;在設(shè)置圓心M所在的直線時(shí),斜率不可以是-1,且圓心M在直線x+y-3=0上除外.

        從“一題多變”中培養(yǎng)深刻思維

        思維的深刻性表現(xiàn)為可以透過表象以及外因,揭示事物本質(zhì)從而進(jìn)一步深入思考問題,它是所有思維品質(zhì)的基石,其發(fā)展程度對思維品質(zhì)的其他方面有著極其重要的影響.若說數(shù)學(xué)是“思維的體操”,那顯然變式教學(xué)就是培養(yǎng)“體操選手”的搖籃. 因此,我們需靈活運(yùn)用好一題多變的教學(xué)方法,讓學(xué)生的思維高度興奮,從而提升思維的深刻性.

        例4:已知數(shù)列{an},有a1=1,an+1=an+1,試求出它的通項(xiàng)公式.

        本例題的求解過程較為簡單,而根本價(jià)值是可以通過對題目的引申擴(kuò)展和變換條件,使之更具有探究性.在保證條件a1=1不變的基礎(chǔ)上,去變更遞推關(guān)系式,從而形成探求an的變式問題.

        變式1:將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=an+n;

        變式2:將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=an+2n-1;

        變式3:將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=2an+1;

        變式4:將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=2an-3n;

        變式5:將條件中an+1=an+1變?yōu)?= +1;

        變式6:將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1= ;

        變式7:將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1= an;

        變式8:將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=ca (c>0).

        通過對例4的變式,讓題目更富有內(nèi)涵,深化了已學(xué)知識,讓學(xué)生在親歷思考、解題、歸納、提煉和反思后,達(dá)到學(xué)一題通一類的效果,有效防范了學(xué)生思維的表面性和絕對性,對思維深刻性的提升大有裨益.

        從“題后反思”中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維

        在教學(xué)中,學(xué)生解題能力和思維嚴(yán)謹(jǐn)性的提升與良好的審題習(xí)慣是分不開的,也少不了條理性的解題方法和解題步驟的參與,更離不開解題后的反思.由于受高中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平制約,主要表現(xiàn)于對知識的不求甚解和不善反思,故教師需引導(dǎo)學(xué)生在題后思考:解題的思路是否嚴(yán)密,可否存在漏洞?命題者有何意圖?此題中考查的知識點(diǎn)是什么?本題的解法僅此一種嗎?解決這類題型的通法是什么?……通過這一系列問題的反思,進(jìn)行有的放矢地精解和拓寬,可以使思維具有嚴(yán)謹(jǐn)性和概括性.

        例5:已知△ABC中,sinA= ,cosB= ,試求出cosC的值.

        此為一道課本習(xí)題,學(xué)生的一般解題思路如下:

        因?yàn)?

        ①當(dāng)cosA= 時(shí),cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB= × - × =- ;

        ②當(dāng)cosA=- 時(shí),cosC=-cos(A+B) =sinAsinB-cosAcosB= × -- × = ,綜上所述,cosC=- 或 .

        上述求解過程中映射出學(xué)生思維嚴(yán)密性的缺失. 在分析此題時(shí),學(xué)生需進(jìn)行如下題后反思:①對cosA是正值或是負(fù)值產(chǎn)生影響的主要因素是什么?②從題設(shè)出發(fā),是否可以確定∠A是銳角還是鈍角?學(xué)生通過反思易知sinB>sinA,而∠A和∠B均為三角形的內(nèi)角,可得∠B>∠A,即∠A也為銳角,由此可得cosA= . 題后反思可以幫助學(xué)生驗(yàn)證解題的合理性、嚴(yán)密性和正確性,還可以發(fā)展學(xué)生的橫向和縱向思維,使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更富有創(chuàng)造性,使自身的解題能力更勝一籌.

        總之,學(xué)生思維品質(zhì)的提升不是一蹴而就的. 我們廣大數(shù)學(xué)教師所期望的數(shù)學(xué)學(xué)科育人和思維提升,其實(shí)已經(jīng)融合在以上解題教學(xué)的探究過程中. 我們?nèi)裟芎侠磉\(yùn)用多種教學(xué)策略,關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法、注重?cái)?shù)學(xué)探究活動,那么學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣,學(xué)生思維的逆向性、深刻性、求異性、發(fā)散性以及嚴(yán)謹(jǐn)性,或許就可以逐漸形成[3].

        參考文獻(xiàn):

        [1] ?羅增儒. 中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐[M]. 南寧:廣西教育出版社,2008.

        [2] ?杜四趁,武瑞雪. 在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)[J]. 數(shù)學(xué)通訊,2017(18).

        [3] ?劉東生. 在例題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的良好思維品質(zhì)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1991(06).

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