李 航 申永軍,2) 李向紅 韓彥軍 彭孟菲

*(石家莊鐵道大學交通工程結構力學行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室，石家莊 050043)

?(石家莊鐵道大學機械工程學院，石家莊 050043)

**(石家莊鐵道大學數理系，石家莊 050043)

引言

Duffing 系統(tǒng)是動力學中一類典型的非線性系統(tǒng)，能夠描述工程領域中的諸多非線性模型，例如轉子系統(tǒng)的非線性行為[1-3]，船的橫搖運動[4-5]，大型結構的振動[6]等.在動力學領域，目前對Duffing 系統(tǒng)的研究主要為周期振動解和混沌控制兩方面.韓祥臨等[7]利用廣義變分迭代方法研究了隨機激勵下Duffing 系統(tǒng)的漸進解，并討論了解的一致有效性.李瑞紅等[8]研究了一類含三次耦合項的二自由度Duffing 系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)一種由周期運動直接通往混沌的途徑.Shen 等[9-10]研究了一類含分數階微分項的Duffing 系統(tǒng)，提出等效剛度和等效阻尼的概念.Holmes 等[11]用二階平均法研究了一類具有負非線性剛度的Duffing 系統(tǒng)，分析了周期解的分岔行為.張毅等[12]以多頻參數激勵Duffing 系統(tǒng)為模型，基于快慢分析法得到模型的快子系統(tǒng)和慢變量，分析了快子系統(tǒng)的分岔行為.曲子芳等[13]以周期變化的雙頻激勵van der Pol-Duffing 系統(tǒng)為模型，研究了系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩模式及非光滑行為演化機制，給出了平衡曲線和分岔圖及在非光滑邊界產生非光滑行為的演化行為分析.呂小紅和羅冠煒[14]基于網格劃分的思想設計了非線性系統(tǒng)多參數分岔的計算方法，利用此方法分析了Duffing 系統(tǒng)在雙參數平面上的分岔特性.畢勤勝和陳予恕[15-16]研究了一類強非線性Duffing 系統(tǒng)，利用功能關系得到系統(tǒng)的周期解，給出系統(tǒng)從主共振到1/3 次亞諧分岔的轉遷集，應用廣義牛頓法得到系統(tǒng)的對稱破缺分岔轉遷集的解析表達式.Kimiaeifar等[17]研究了一類van der Pol-Duffing 系統(tǒng)，利用同倫分析法得到了系統(tǒng)的周期解.Jin 和Hu[18-19]研究了一類具有滯后狀態(tài)反饋的Duffing 系統(tǒng)在窄帶隨機參數激勵下的主共振，和一類雙時滯Duffing 系統(tǒng)在窄帶隨機激勵下的反饋控制，從振動控制的角度討論了反饋增益和時滯對系統(tǒng)的影響.戎海武等[20]研究了Duffing 系統(tǒng)在諧和與窄帶隨機噪聲聯(lián)合激勵下的參數主共振響應和穩(wěn)定性問題，分析了系統(tǒng)的失穩(wěn)和跳躍現(xiàn)象.Hosseini[21]研究了Duffing 系統(tǒng)的主共振，討論了高階近似解中的偽解問題，提出一種檢測頻率響應方程中是否存在偽解的判據.

以往對各類Duffing 系統(tǒng)的周期振動解的研究可大致分為兩類，一類是從系統(tǒng)結構角度，考慮結構的復雜性以建立更符合工程實際的動力學模型，例如文獻[9-10]中的分數階微分項可以更好地描述系統(tǒng)中的黏彈性阻尼；另一類是研究復雜激勵下系統(tǒng)的動力學行為，例如文獻[7,18,22]研究了隨機激勵下Duffing 系統(tǒng)的解.Nayfeh 在其專著[23]中利用多尺度法給出了Duffing 系統(tǒng)的3 倍超諧與1/3 次亞諧聯(lián)合共振的解.姜源等[24-25]做了更進一步的工作，利用平均法得到了分數階Duffing 系統(tǒng)和van der Pol 系統(tǒng)的3 倍超諧與1/3 次亞諧聯(lián)合共振的解，并分析了分數階項對系統(tǒng)動力學行為的影響.

在實際問題中，一個復雜的系統(tǒng)往往受到多個激勵源同時作用.以汽車系統(tǒng)為例[26]，汽車在行進過程中的振動激勵源主要是發(fā)動機激勵、路面激勵和風激勵，這些激勵通常含有不同的頻率成分.Duffing 系統(tǒng)在受多頻激勵時[23-24]具有更加復雜的動力學現(xiàn)象，尤其是聯(lián)合共振較為突出.目前對Duffing 系統(tǒng)周期振動的研究主要是在單頻激勵下發(fā)生主共振[9,21]、亞諧共振[27-29]或超諧共振[10,30-31]，或者在多頻激勵下發(fā)生超諧--亞諧聯(lián)合共振[23-24]，而對主--亞諧聯(lián)合共振的研究尚未見報導.本文以多頻激勵的Duffing 系統(tǒng)為對象，研究其同時發(fā)生主共振和1/3 次亞諧共振時的動力學行為與穩(wěn)定性.

1 Duffing 系統(tǒng)主--亞諧聯(lián)合共振的一次近似解

受多頻激勵的Duffing 系統(tǒng)可以描述為

為研究系統(tǒng)的主--亞諧聯(lián)合共振，對系統(tǒng)參數做如下限制ω1=ω0+εσ1,ω2=3ω0+εσ2,ξω0=εμ,α1=εα,F1=εf,f=O(1),σ1=O(1),σ2=O(1).這樣式(1)成為

應用多尺度法[32]研究系統(tǒng)的一次近似解.引入兩個時間尺度T0=t和T1=εt，并假設系統(tǒng)(2)的解具有如下形式

將式(3)代入式(2)，比較ε 的同次冪，得到一偏微分方程組

式(4a)的解為

也可以寫成復數形式

將式(6)代入式(4b)，為消除永年項，要求

分離式(7)的實部和虛部，得到慢變振幅a和相位β 滿足的微分方程組

從而系統(tǒng)(2)的一次近似解可以表示為

其中，a和β 由式(8)確定.

2 定常解及其穩(wěn)定條件

從式(8)可以看出，系統(tǒng)定常解存在的必要條件是β-σ1T1和3β-σ2T1均為常數，這時有D1β=σ1=σ2/3，進而有ω1=ω2/3，即只有當兩個激勵頻率滿足特定倍數關系時，才能求得主--亞諧聯(lián)合共振的定常解.設σ=σ1=σ2/3，β-σT1=φ，從而式(8)可以寫成自治微分方程組

相應的一次近似解成為

為檢驗式(10)和式(11)確定的一次近似解的精確程度，取一組參數μ=0.1，ε=0.1，α=1，ω0=1，F(xiàn)1=0.2，F(xiàn)2=2，計算穩(wěn)態(tài)響應的幅頻特性，計算時間t=1000 s，將前800 s 響應略去，取后200 s 響應的幅值為穩(wěn)態(tài)幅值，得到系統(tǒng)(2)的幅頻響應曲線如圖1 所示.

圖1 幅頻曲線的比較Fig.1 Comparison of amplitude-frequency responses

取激勵頻率ω1=1.22,ω2=3ω1,初值(a0,φ0)=(0.1,0),代入式(10)計算(a,φ)，再將結果代入式(11)計算近似解；將式(11)求導得到速度響應，再將(a0,φ0)代入式(11)和得到(u0,=(-0.06,0)，然后將其作為初值代入系統(tǒng)(2)計算數值解，最后得到系統(tǒng)(2)的位移時間歷程如圖2 所示.圖1 和圖2 中，圓圈表示數值解，實線表示解析解.可見，解析解的近似程度良好.

圖2 位移時間歷程的比較Fig.2 Comparison of displacement time histories

從幅頻曲線中可以看到，系統(tǒng)在一定頻率范圍內存在多解現(xiàn)象.事實上，若調整仿真的初始條件可以得到更多的解，而系統(tǒng)多解和不穩(wěn)定的現(xiàn)象受近似解中的第一部分，即acos(ω1t+φ)支配.因此，在系統(tǒng)定常解的穩(wěn)定性分析中，只需考察這一部分.

令式(10)中D1a=0,D1φ=0,可以得到穩(wěn)態(tài)振幅和相位滿足的代數方程組

進一步可以得到幅頻響應方程和相頻響應方程分別為

下面考察穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性，用慢變振幅a和相位φ 組成二維狀態(tài)向量V=[a,φ]T，構造二維向量函數

其中P=trJ，Q=det[J].

由Lyapunov 穩(wěn)定性理論可知，穩(wěn)態(tài)解漸進穩(wěn)定的條件是P＜0 且Q＞0.對于阻尼系統(tǒng)，恒有P＜0.因而Duffing 系統(tǒng)主--亞諧聯(lián)合共振的定常解穩(wěn)定條件為

取一組參數μ=0.1，ε=0.1，α=1，ω0=1，F(xiàn)1=0.1，F(xiàn)2=4，利用式(13)計算穩(wěn)態(tài)響應的幅頻特性和相頻特性，式(16)判斷穩(wěn)定性，得到幅頻曲線和相頻曲線分別如圖3 和圖4 所示，其中圓圈表示穩(wěn)定解，星號表示不穩(wěn)定解.從圖3 和圖4 可見，第一部分最多存在7 個解s1～s7，所以系統(tǒng)(2)也最多存在7 個解S1～S7，其中有4 個穩(wěn)定解，3 個不穩(wěn)定解.以σ=2 為例，系統(tǒng)(2)的3 個穩(wěn)定解S1，S2 和S4 的周期軌道如圖5 所示.將圖3 分別與主共振和1/3 次亞諧共振[33]比較可以看出，s1～s3 是主共振的特性，s4～s7 是1/3 次亞諧共振的特性.

圖3 定常解的幅頻響應Fig.3 Amplitude-frequency curves of steady-state response

圖4 定常解的相頻響應Fig.4 Phase-frequency curves of steady-state response

圖5 系統(tǒng)的周期軌道Fig.5 Periodic orbits

圖5 系統(tǒng)的周期軌道(續(xù))Fig.5 Periodic orbits(continued)

3 系統(tǒng)參數的影響

為確定非線性系數α 對系統(tǒng)響應的影響，固定一組參數μ=0.1，ε=0.1，ω0=1，F(xiàn)1=0.1，F(xiàn)2=8 并改變α 進行數值計算，其中，調諧參數σ 的范圍取[-5,5]，也即ω1的范圍為[0.5,1.5]，ω2的范圍為[1.5,4.5].圖6 給出非線性系數α 對系統(tǒng)的影響.結果顯示，當α ＞0 時，在一定頻率范圍內主要影響振幅，剛度逐漸硬化使得響應振幅減小，幅頻曲線的彎曲程度增加，改變了系統(tǒng)的頻率特性；當α ＜0 時，對振幅、多值性和穩(wěn)定性均有影響，剛度軟化使得響應的共振峰逐漸減小，趨于穩(wěn)定.

此外，為確定兩個激勵幅值對系統(tǒng)響應的影響，固定參數μ=0.1，ε=0.1，ω0=1，α=1，F(xiàn)2=16 改變F1、固定參數μ=0.1，ε=0.1，ω0=1，α=1，F(xiàn)1=0.1 改變F2，計算得到系統(tǒng)的幅頻曲線分別如圖7 和圖8 所示.從圖中可以看到F1對幅頻特性的骨架線影響很小，對幅頻曲線的形態(tài)影響較大；而F2增大使聯(lián)合共振的骨架線向高頻附近移動，幅頻曲線的形態(tài)變化不大.

圖6 非線性系數α 的影響Fig.6 Effects of the nonlinear coefficient α

圖7 F1的影響Fig.7 Effects of excitation amplitude F1

圖8 F2的影響Fig.8 Effects of excitation amplitude F2

4 結論

本文利用多尺度法得到了Duffing 系統(tǒng)的主-1/3 次亞諧聯(lián)合共振的解析解.由Lyapunov 穩(wěn)定性理論得到了定常解的穩(wěn)定條件.基于此條件分析系統(tǒng)響應的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)響應既有主共振的特性又有1/3 次亞諧共振的特性，各個解支的穩(wěn)定性與僅發(fā)生主共振或亞諧共振時相同.討論了系統(tǒng)參數對定常解的幅頻特性和穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)在一定頻率范圍內，非線性系數α 分別取正負時對系統(tǒng)響應有截然不同的影響：α ＞0 時，僅影響各個解支的幅值，α ＜0 時，對解的數量、穩(wěn)定性和幅值均有影響.此外，外激勵的幅值F1和F2也分別影響著幅頻曲線的形態(tài)和骨架線.