張德春 李 鵬 梁 森 楊翊仁

(西南交通大學力學與工程學院,成都 610031)

引言

壁板是常見的結構形式,其廣泛地應用在諸多工程領域.壁板結構在氣流中的失穩(wěn)問題是得到廣泛關注的一個研究重點.航空航天中的超音速壁板氣動彈性問題已有了豐富的研究[1-4].最近針對亞音速壁板氣動彈性問題的研究也隨著高速列車的發(fā)展越來越受到重視[5-7],研究成果也越來越豐富.針對壁板失穩(wěn)問題,相關的理論及實驗研究主要是基于線性模型,以預測失穩(wěn)臨界參數為目標,考察不同結構形式(如初始構型[6-7],邊界條件[8-9],質量比及長寬比[10-16]等)及不同流體力建模理論(如準定常點源[5-6,8]及點渦理論[7,12,17],非定常頻域Theodorsen 理論[13]及時域Peters 有限入流模型[7],數值渦格法[14-15]及NS-結構方程耦合求解法[16]等)對分析結果的影響.雖然線性建模方式簡單且缺少對非線性因素的描述,但對深入了解這類動力系統(tǒng)失穩(wěn)問題的本質有著不可替代的優(yōu)勢[1].已有的研究結果表明[5,7-9,13-16],壁板的失穩(wěn)形式(發(fā)散或顫振失穩(wěn))與流體速度及壁板邊界約束形式密切相關.兩端固定的壁板(簡支及固支)在超音速氣流中會呈現(xiàn)顫振失穩(wěn)而在亞音速氣流中卻僅會出現(xiàn)發(fā)散失穩(wěn).然而當懸臂壁板置于亞/超音速流體中時卻會分別經歷顫振/發(fā)散失穩(wěn).

亞音速氣流中的懸臂壁板相較于兩端固定的壁板而言,一般具有較低的失穩(wěn)流速,這使得其被廣泛應用于俘能器的設計中[18-23].如何優(yōu)化壁板的結構形式[19-20]或設計流動特征[21]使得其具有較低的失穩(wěn)速度、較強的運動幅度及較多的平衡狀態(tài)是這類能量采集器的研究重點[18-21].已有研究表明,一方面在壁板周圍流場中設計某些流動約束,如前置圓柱體[21]、設置壁面限制[22]等,都會有效地降低壁板系統(tǒng)的失穩(wěn)速度.事實上,將懸臂壁板倒置于氣流中可獲得一種簡單卻具有優(yōu)良動力學特征的結構形式,這是由于倒置懸臂壁板在結構[24]及氣動力非線性[25]的作用下存在多穩(wěn)態(tài)之間的跳躍遷移現(xiàn)象.從目前的文獻調研結果來看,針對倒置懸臂壁板氣動彈性問題的研究還比較有限.已有的研究主要是通過數值模擬及風洞實驗手段對結構失穩(wěn)后的多穩(wěn)態(tài)非線性特征進行定量分析[24-26].然而若要對多穩(wěn)態(tài)特征進行更靈活的設計則需要對其出現(xiàn)的誘因,即靜態(tài)失穩(wěn)問題,從理論及實驗方面進行有針對性的研究.相關的研究主要是將未受限氣流中的壁板視為升力線(面),采用已有的氣動力理論[26]進行建模分析,然而已有氣動力理論均只適用于非受限氣流,鮮有理論上考察壁面約束限制作用的研究報道.

事實上,受限流體中壁板失穩(wěn)問題也廣泛地存在于實際工程中,如核反應堆中的層疊板、隧道內的列車蒙皮及地效飛行器等.目前相關的研究主要是采用理論方法(積分變換法及鏡像函數法[27]等)、數值計算(面元法[9]等)對受限流體中懸臂壁板的顫振穩(wěn)定性進行分析.迄今為止,還未見針對亞音速氣流中倒置懸臂壁板這一結構形式開展的相關理論及實驗研究,本文旨在對這一問題進行研究以期更進一步豐富壁板氣動彈性失穩(wěn)問題的研究.

已有的研究表明,當壁板長寬比小于1 時,可將其近似視為二維問題[10,22].本文針對這一類受限亞音速氣流中的二維倒置懸臂壁板的靜態(tài)失穩(wěn)問題進行理論及風洞實驗研究,以期了解剛性壁面效應對這類壁板結構靜態(tài)失穩(wěn)特性的影響規(guī)律.首先,采用鏡像函數法描述壁面效應,基于算子理論對壁板氣動力進行研究;其次,將壁板失穩(wěn)方程轉化為定區(qū)間內的函數逼近問題并進行求解;最后,依據壓桿穩(wěn)定原理設計壁板靜態(tài)失穩(wěn)的測試方法,完成風洞實驗,對理論及實驗結果進行對比分析.

1 力學模型及數學方程

本文考慮如圖1(a)所示的軸向受限亞音速氣流中倒置的二維懸臂壁板模型,壁板長度為L,左端自由而右端受到固支約束.氣流沿板的軸向x方向流動并在壁板的一側受到剛性壁面的限制,剛性壁面與壁板平行且兩者相距H.本文旨在分析該壁板模型在氣流中的失穩(wěn)特性,因此僅考慮壁板線性梁式彎曲運動微分方程

圖1 Fig.1

及如下的邊界條件

其中,w,ρs,h分別為壁板的橫向變形,密度及厚度,D=Eh3/12(1-ν2)為壁板的抗彎剛度,ν 為壁板的泊松比,Δp=pH+-pH-為壁板上下表面擾動壓力差(向下為正).

考慮理想歐拉流體,通過弓入等熵條件、小擾動假設和小擾動速度勢可得壁板上下表面壓力的近似線化表達式[28]

式中,ρ∞為氣流密度,φ 為擾動速度勢函數,其滿足如下的線化速度勢方程

式(5a)為剛性壁面約束條件;式(5b)為氣固相容條件,其中

定義為壁板表面的法洗速度;式(5c)和式(5d)分別為流動的連續(xù)及Kutta-Joukowski 條件.方程(4)的定解還需要給定遠場擾動量的條件和流場的初始條件

2 Possio 積分方程及其求解

注意到方程(4)為關于時間及空間的偏微分方程,直接求解有很大困難.將其左右兩邊關于時間作用L(Laplace)變換,并利用初始條件(6b),可得

整理式(8)并將其寫為

其中k=λ/U∞定義為系統(tǒng)的減縮頻率.

對本文研究的亞音速流體而言,A具有正實部.考慮邊界條件(6a),方程(9)的解可以寫作

由式(5b)及式(12)可得壁板表面氣流的橫向速度

由式(5b)及式(13)可得壁板上下表面勢函數之差

進一步考慮式(3)后可得

雖然式(15)給出了任意運動時壁板表面上的壓力,但其求解仍很困難.對于本文研究的壁板靜態(tài)失穩(wěn)問題,可令k=0 并由式(15)解得

其中,c=2Hβ.注意到函數f(t)的H(Hilbert)變換的F 變換

的形式后,相應定義如下變換[29]

在式(16)兩邊首先作用L 和F 的逆變換,然后考慮式(5b),式(5c),應用投影運算PR向[0,L]投影可得如下的積分方程

由式(5d),有PRΔp=Δp,考慮算子QH 滿足交換律(簡要證明見附錄),則式(18)變?yōu)?/p>

上式即為Possio 積分方程[29-31].

考慮式(5d)給出的壓力條件,參考薄翼理論中的S?ghen 解[28],弓入移位Tricomi 算子T[29-30]

將算子T 作用在式(19)的兩邊,可得壓力和法洗速度之間的關系[29,31]

其中,I 為單位算子,與未受限流體相關;而壁面效應則表征為一復合算子P,定義為

由式(21)可得

3 失穩(wěn)方程及其最小二乘解

考慮壁板的發(fā)散失穩(wěn)方程

上式為關于w的四階偏微分方程,將其擴階寫作

采用常數變易法求解(24)可得

在式(25)兩端作用D 的逆算子可得

其中

將壁板的邊界條件(2)代入式(26)后整理得到

式(27)僅有零解對應系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài);當其系數行列式等于零時系統(tǒng)出現(xiàn)非零解,意味著系統(tǒng)處于失穩(wěn)狀態(tài),即

其中,函數y(x)滿足y(x)≡1.

因算子I-R2是緊的[31],對所求參數α,其逆都是存在的,那么

由于R2中含有需要確定的參數α,直接采用式(29)求解并不利于計算.但注意到

上式表明方程(30)的解等價于尋找目標函數f(x)使

將R2代入式(31)有

因(I-P)為壓縮映射[29],(I-P)-1T [f(x)]可近似展開為

假設所求函數f(x)在[0,L]區(qū)間內是連續(xù)的,并注意到f(L)=0,由Weierstrass 定理可將f(x)近似展開為

考慮式(32)在[0,L]區(qū)間內任意M,(M?N)個離散點上均成立.那么求解方程式(32)等價于求解如下的矛盾方程組

采用最小二乘方法可獲得方程組(35)的最優(yōu)解為

為尋找臨界參數αc,定義關于α 的誤差函數

改變α 使得誤差|E| ≤1.0e-4可得臨界參數αc及其對應的臨界氣流速度.

4 理論結果及對比驗證

圖2 本文理論分析和計算的流程Fig.2 The flowchart of the present theoretical analysis

在下面計算中選取無量綱參數ξ=x/L,rH=H/L.為避免間隙H過小而導致較強的粘性作用,本文僅考慮rH＞0.05 的情況.基于圖2 給出分析及計算流程進行算例分析.首先考察rH→∞,即無壁面的情況.此時,‖P‖→0,(I-P)-1→I.圖3(a)給出了此工況下,M=200 時,誤差函數E 隨截斷階數N的變化關系.由該圖可知隨著N的增加誤差會最終會在αc=1.84 處滿足設置的條件(進入綠色陰影區(qū)域),此參數即為系統(tǒng)的臨界參數.下面考察式(33)和式(34)中截斷參數P和N對本文解收斂性的影響.圖3(b)給出了不同rH時截斷階數P對結果收斂性的影響.由圖3 可知,選擇P=N=7,M=200 可以保證本文計算結果的收斂性.圖4 給出了不同rH對應的臨界參數αc.與預期一致,αc隨rH的增大而增大并最終穩(wěn)定在αc?1.84.

圖3 Fig.3

圖5 給出了不同rH下壁板的失穩(wěn)模態(tài)ψ(ξ).從圖可知,盡管不同rH下的臨界動壓不同,但失穩(wěn)模式都以倒置懸臂梁一階模態(tài)φ1為主導.考察失穩(wěn)模態(tài)

圖4 本文理論解與其他理論及數值結果的對比分析Fig.4 Comparison of the present theoretical results with other existing theory and the numerical method

圖5 系統(tǒng)的失穩(wěn)模態(tài)(上)及壓強系數(下)Fig.5 The instability model(top)and the pressure coefficient(bottom)of the plate

下壁板表面氣動壓力的分布,定義壓強系數

圖5 給出了不同rH對應的壓力系數(由于前緣壓差為無窮大,圖中已做截斷處理).由圖可知,壁板前緣附近為正壓區(qū)而尾緣附近為負壓區(qū);隨rH的減小正壓區(qū)擴大且壓力值增加,而負壓區(qū)縮小且壓力值減小.壁板上合力增大且力矩中心前移,對應的臨界失穩(wěn)動壓也就越低.

為驗證本文的理論結果,考慮無壁面情況,此時滿足Kutta-Joukowski 條件的壁板的壓強解(Theodorsen 解[28])為

其中

取倒置懸臂梁模態(tài)函數φk,(k=1,2,...,K),應用伽遼金方法求解方程(1),通過特征值分析獲得系統(tǒng)臨界參數.如圖3(b)中虛線所示,選取前三階模態(tài)便可得收斂結果αc?1.8464.本文理論結果與經典Theodorsen 解得到的結果吻合很好.

為了進一步考察本文理論方法對rH的適用性,采用如圖1(b)所示的離散面元模型進行數值求解.壁板上的面元分布由線性分布的連續(xù)渦來表示以計算滿足邊界條件的流體勢函數,在質量點處采用有限差分方法求解壁板結構運動方程,詳細的離散和計算過程請參見文獻[12].本文采用該離散模型計算獲得了不同rH時的臨界參數,結果如圖4 所示.由圖可知本文理論與數值結果的變化趨勢一致且吻合較好(兩者相對誤差保持在5%之內,圖中綠色區(qū)域內).上述對比結果均表明了本文氣動力理論及失穩(wěn)分析方法的有效性.

5 風洞實驗驗證

采用風洞實驗研究壁板失穩(wěn)的臨界速度并驗證本文理論的正確性.實驗中使用直徑1.2 m 的開口式風洞,其具有5～40 m/s 的風速調節(jié)范圍和低于0.3% 的湍流度.實驗中壁板模型采用長寬比為2/3(20 cm×30 cm)的鍍鋅鐵板(ρp=7.85 g/cm3,Ep=210 GPa).如圖6 所示,壁板豎直安裝,并用兩塊厚鋼板將其夾持固定在剛性支架上以保證固支約束并進行實驗,夾持段壁板的長度約為3 cm;壁板一側豎直放置厚木板以模擬壁面對氣流的約束限制.靠近壁板固定端的根部位置貼有應變片,實驗開始前采用敲擊法測試了壁板在無風狀態(tài)下的自振頻率(7.9 Hz),并與理論結果(8.2 Hz)進行了對比,檢驗了固支約束實現(xiàn)及測試設備的可靠性.實驗中緩慢增加風速至目標風速,穩(wěn)定至少一分鐘后進行數據采集,以保證實驗數據的可靠性.

圖6 風洞中模型安裝圖和不同風速下細繩的狀態(tài)圖Fig.6 Pictures of the setup of the model in the wind tunnel,and of the string states with different flow velocities

靜態(tài)失穩(wěn)不能像顫振這類動態(tài)失穩(wěn)一樣可以依據信號等幅周期變化的特征而直接判定.本文借鑒材料力學壓桿失穩(wěn)原理設計了一種等效拉力測試方法,測試原理如圖7(a)所示.理論上給定壁板初始變形量為失穩(wěn)模態(tài)的任意小倍數,當氣流速度小于臨界值時,壁板需要外部作用(實驗中依靠張緊的細繩提供拉力)才能維持該狀態(tài);而當流速達到臨界值時,則可不依靠任何外部作用.因此可由是否需要細繩提供拉力而維持給定的初始變形來等效判定系統(tǒng)是否達到了臨界狀態(tài).本文的理論分析表明壁板將呈現(xiàn)一階懸臂梁模態(tài)失穩(wěn)模式,而該模態(tài)形式的初始壁板靜變形在實驗中卻不易精確給出.依據文獻[26]給出的懸臂梁一階模態(tài)與其端部受集中載荷產生的靜變形形態(tài)相類似這一結論,本文實驗采用在壁板自由端施加集中力(張緊細繩使其具有一定預拉力)而實現(xiàn)壁板的初始變形.

圖7 Fig.7

如圖6 及圖7(a)所示,懸臂板緊靠前緣正中心位置連接有細棉繩,細繩的另一端連接在拉力傳感器上(量程5 N,靈敏度0.01 N).調整細繩的長度可使壁板前緣產生不同的初始撓度Δ,其在傳感器上表現(xiàn)為不同的預拉力值.當流速小于臨界值時,細繩會處于張緊狀態(tài)并為壁板提供拉力而維持其初始變形,如圖6(a)所示;而當流速接近于臨界值時,細繩則會處于松弛狀態(tài),如圖6(b)所示.注意到細繩僅受氣流作用也會導致拉力(Fw)的存在,傳感器的實測拉力(F)則包含(Fw)及壁板對繩子的拉力(Fp).圖7(b)給出了風速12 m/s 時時間1 s 內兩種拉力的實測值.測試拉力Fw時,將細繩保持自然狀態(tài),兩端分別固定在剛性支架及夾持端并單獨置于風洞中進行測試.從圖7(b)可知,雖然兩種拉力均表現(xiàn)出明顯的波動性,但Fw的變化幅值較小(±0.005 N 之內).若考慮兩種拉力之間的弱關聯(lián)性則可由下式

作為臨界狀態(tài)的近似判定條件.

理論上,對于任意的自由端部撓度Δ,實驗中均應測試得到相同的臨界風速.然而實驗中發(fā)現(xiàn),較小的值會因較差的抗干擾性而導致測量精度不易滿足,而較大的Δ 則會導致壁板產生幾何大變形非線性[26].因此,實驗中首先以無壁面的情形進行多組重復測試,通過對比已有理論及計算結果來確定最佳的Δ 給定范圍.圖8(a)給出了不同Δ 值下F及Fw在不同風速下的測試值.依據式(40)可判定當拉力Fm曲線處于圖8(a)的綠色陰影區(qū)域時,系統(tǒng)處于失穩(wěn)狀態(tài).依據圖8(a)得到臨界速度Ucr與Δ 之間的變化關系如圖8(b)所示.通過與理論值(39)及數值結果(圖4)對比可知,當Δ 在0.3～0.5 cm 之間取值時,實驗結果與理論及數值結果吻合較好(實驗值與理論值(39)相差2%之內,圖中綠色區(qū)域內),因此本文實驗選取該區(qū)間的值作為拉出撓度值完成了不同rH下的實驗,結果如圖9 所示.圖9(a)中無風時細繩中的初始拉力并不完全相等,這是由于為了保證數據的多樣性而在0.3～0.5 cm 內給定不同的Δ 值而導致的.

圖8 Fig.8

圖9 Fig.9

圖10 本文理論結果與試驗結果及已有理論結果的對比Fig.10 Comparison of the present theoretical results with the experiment and the other existing theory

圖10 給出了本文理論與試驗結果的對比,由圖可知兩者吻合很好,各風速下的實驗結果與理論結果之間的相對誤差均保持在2%之內(綠色區(qū)域內),這充分表明了本文的理論計算及風洞試驗的有效性和準確性.

6 結語

本文考慮壁面效應對亞音速氣流中倒置懸臂壁板的靜態(tài)失穩(wěn)問題進行了理論及實驗研究.文中采用鏡像函數法描述壁面約束條件,基于算子理論對壁板上的氣動力進行了理論分析,獲得了以Possio 積分方程為表征的氣動力表達式,壁面效應則表征為一包含T,Q 及H 算子的復合算子;壁板的失穩(wěn)方程轉化為了定區(qū)間上的函數逼近問題,并利用Wererstrass 定理及最小二乘方法得到了最優(yōu)逼近函數確定臨界動壓,無需進行特征值計算;給出了壁面效應對失穩(wěn)的定量影響并對壁面影響失穩(wěn)的原理進行了探討;設計了靜態(tài)失穩(wěn)測試方法,其相比于動態(tài)實驗對風洞品質要求更低且魯棒性較高;風洞實驗分析結果與本文理論結果吻合較好,驗證了本文理論方法的正確性.

本文中以Possio 積分方程表征的氣動力物理含義清晰,依據微分算子理論將失穩(wěn)問題轉化為了定區(qū)間上的函數逼近問題,為該類問題的求解提供了新的思路.值得指出的是,本文方法在壁板顫振問題中的推廣及應用正是下一步計劃開展的工作.

附錄:算子QH 的交換性

由本文算子的定義可知

其中

分別令t=τ+p及t=x+q,則上式變作

上式中的積分為瑕積分,注意到c＞0,利用圍道積分進行計算后可得