李品

摘要：三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是20世紀(jì)60年代發(fā)展起來(lái)的一種新型、高效、多功能的精密測(cè)量?jī)x器。對(duì)于坐標(biāo)測(cè)量機(jī)校準(zhǔn)和性能評(píng)價(jià)中，其中最大允許探測(cè)誤差（MPEP）是一項(xiàng)重要指標(biāo)。文章對(duì)探測(cè)誤差的計(jì)算方法從一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，探討具體的算法、數(shù)學(xué)原理以及實(shí)現(xiàn)該方法的過(guò)程。為從事該項(xiàng)目校準(zhǔn)的人員提供理論和實(shí)踐的參考。

Abstract： Coordinate measuring machine is a new type， high efficiency and multifunctional precision measuring instrument developed in the 1960s. For coordinate measuring machine calibration and performance evaluation， the maximum allowable detection error （MPEP） is an important indicator. This article starts from a common mathematical model for the calculation method of detection error， and discusses the specific algorithms， mathematical principles， and the process of implementing the method to provide theoretical and practical references for those engaged in the calibration of this project.

關(guān)鍵詞：三維探測(cè)誤差;最小二乘法;擬合球

Key words： three-dimensional detection error;least squares method;fitting sphere

中圖分類號(hào)：TH721? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1006-4311（2020）04-0240-02

0? 引言

坐標(biāo)測(cè)量機(jī)（Coordinate Measuring Machine，簡(jiǎn)稱CMM）是一種測(cè)量物體幾何特征的設(shè)備，通過(guò)機(jī)器上的探測(cè)器去感應(yīng)（接觸式或非接觸式）被測(cè)物體表面上的分連續(xù)的點(diǎn)。在坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上有各種各樣的探測(cè)器，包括機(jī)械式探針，光學(xué)探測(cè)器，激光探測(cè)器，白光探測(cè)器。探測(cè)器的位置可以手動(dòng)或者自動(dòng)去調(diào)整。坐標(biāo)測(cè)量機(jī)主要通過(guò)在三維笛卡爾坐標(biāo)系中（帶有xyz軸）的探針相對(duì)于參考位置的位移來(lái)描述被測(cè)量的空間位置。很多坐標(biāo)測(cè)量機(jī)還可以控制探針的角度來(lái)測(cè)量更多的不規(guī)則形狀物體。

1? 三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的精度要求

根據(jù)《GBT 16857.2 產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范（GPS）坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的驗(yàn)收檢測(cè)和復(fù)檢檢測(cè) 第2部分：用于測(cè)量尺寸的坐標(biāo)測(cè)量機(jī)》中規(guī)定了兩項(xiàng)不同的誤差的檢測(cè)：尺寸測(cè)量的示值誤差和探測(cè)誤差。尺寸測(cè)量的示值誤差只涉及了探測(cè)系統(tǒng)的二維性能，作為補(bǔ)充，還需要評(píng)定三維探測(cè)誤差。常用的測(cè)量校準(zhǔn)器具有量塊和標(biāo)準(zhǔn)球，分別用于尺寸測(cè)量的示值誤差及三維探測(cè)誤差的校準(zhǔn)測(cè)量。

2? 探測(cè)誤差的校準(zhǔn)方法

根據(jù)《JJF 1064-2010 坐標(biāo)測(cè)量機(jī)校準(zhǔn)規(guī)范》7.1.1（三維）探測(cè)誤差（P），探測(cè)誤差校準(zhǔn)方法的原理：通過(guò)確定測(cè)量點(diǎn)到最小二乘擬合球球心距離的范圍，評(píng)價(jià)三維探測(cè)誤差P是否符合規(guī)定的最大允許探測(cè)誤差MPEP。

校準(zhǔn)程序：

選擇合適尺寸的檢測(cè)球（標(biāo)準(zhǔn)球需經(jīng)上級(jí)計(jì)量部門校準(zhǔn)）。

再允許的極限內(nèi)，用于可以任意選擇探針的方向和檢測(cè)球的安裝位置。

安裝檢測(cè)球。檢測(cè)球應(yīng)安裝牢固，以減小晃動(dòng)引入的誤差。

建議探針的方向不平行于坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的任一軸。（注：探針?lè)较蚝蜋z測(cè)球安裝位置的選擇可能明顯地影響測(cè)量結(jié)果）。

測(cè)量并記錄25個(gè)點(diǎn)。這些點(diǎn)應(yīng)盡量均勻分布再檢測(cè)球至少半個(gè)球上。點(diǎn)的分布位置應(yīng)有用戶規(guī)定。如果用戶沒(méi)有規(guī)定，建議下列探測(cè)分布：

在檢測(cè)球的極點(diǎn)（探針?lè)较蛩x）一點(diǎn);

極點(diǎn)下22.5°四點(diǎn)（均勻分布）;

極點(diǎn)下45°八點(diǎn)（均勻分布），相對(duì)于前一組點(diǎn)旋轉(zhuǎn)22.5°;

極點(diǎn)下67.5°四點(diǎn)（均勻分布），相對(duì)于前一組點(diǎn)旋轉(zhuǎn)22.5°;

極點(diǎn)下90°（即在赤道上）八點(diǎn)（均勻分布），相對(duì)于前一組點(diǎn)旋轉(zhuǎn)22.5°。

由此得到25個(gè)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)P（xi，yi，zi）。使用所有25個(gè)測(cè)量點(diǎn)，計(jì)算最小二乘擬合球（實(shí)際上是得到擬合球的球心的坐標(biāo)值和擬合球的半徑）。對(duì)25個(gè)測(cè)量點(diǎn)分別計(jì)算最小二乘半徑距離R（每一個(gè)測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)與擬合球球心坐標(biāo)之間的距離）。計(jì)算探測(cè)誤差P，為25個(gè)最小二乘半徑距離的范圍：P=Rmax-Rmin。

3? 探測(cè)誤差的計(jì)算方法

3.1 數(shù)學(xué)模型

3.2 數(shù)學(xué)原理

最小二乘法（又稱最小平方法），它通過(guò)最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)（本文中指上述誤差函數(shù)數(shù)學(xué)模型）匹配，找出最優(yōu)解。文章中指球心坐標(biāo)（a，b，c），半徑r的確切值。

3.3 計(jì)算方法

在這里，需要使用固定點(diǎn)迭代法，迭代法是通過(guò)一個(gè)初始估計(jì)出發(fā)，尋找一系列近似解來(lái)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)過(guò)程。和直接法不同，用迭代法求解問(wèn)題時(shí)，其步驟沒(méi)有固定的次數(shù)，而且只能求得問(wèn)題的近似解，所找到的一系列近似解會(huì)收斂到問(wèn)題的精確解。

3.4 固定點(diǎn)迭代算法程序

①輸入25個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)。

②計(jì)算平均值，作為初始迭代的點(diǎn)。

③賦值i=0，精確度e=10-6，將初始迭代點(diǎn)（x，y，z）分別賦值給（ai，bi，ci）。

④分別代入（ai，bi，ci）到表達(dá)式上中計(jì)算得到新的（ai+1，bi+1，ci+1）。

⑤計(jì)算迭代前后的差值ai+1-ai，bi+1-bi，ci+1-ci（確保收斂），分別與精確度e比較，循環(huán)執(zhí)行第4步，直到三個(gè)差值都比e要小結(jié)束循環(huán)。

⑥輸出最后一次迭代計(jì)算的結(jié)果（ai+1，bi+1，ci+1）。

4? 使用Excel驗(yàn)證此探測(cè)誤差計(jì)算方法正確性

使用Excel軟件，輸入根據(jù)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)采集到的25個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用絕對(duì)引入和相對(duì)引用的功能，只需要編輯一行計(jì)算公式，就可以通過(guò)拖拽單元格的方式實(shí)現(xiàn)迭代計(jì)算，通過(guò)Excel的計(jì)算，在第78次迭代計(jì)算時(shí)，三個(gè)差值都小于10-5mm，在第100次迭代計(jì)算時(shí)，三個(gè)差值都小于10-6mm。圖1為差值收斂的曲線。

這樣就得到了最小二乘擬合球的球心和半徑，再通過(guò)Excel就能很容易求出每一個(gè)測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)與擬合球球心坐標(biāo)之間的距離，并找出最大值和最小值，從而求出三維探測(cè)誤差P。

5? 總結(jié)

以上列出的只是求三維探測(cè)誤差P及最小二乘擬合球的一種計(jì)算原理、算法及驗(yàn)證方法。還有其他的算法，在追求最優(yōu)解的路上還有很多途徑，選擇何種算法，取決于更深層的計(jì)算機(jī)硬件，來(lái)達(dá)到程序最優(yōu)，效率最高，值得更多人去探討。

參考文獻(xiàn)：

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