韓 林

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222）

準(zhǔn)確計(jì)算時(shí)變嚙合剛度是對(duì)齒輪副進(jìn)行設(shè)計(jì)或分析的關(guān)鍵一步，其重要性不言而喻。目前，計(jì)算齒輪嚙合剛度的方法有4 種：有限元法[1-3]、解析有限元法[4-5]、解析法[6-9]和試驗(yàn)法[10-11]。其中，基于材料力學(xué)的勢(shì)能解析法[6]由于其計(jì)算效率高，被廣泛采用，特別適用于對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性分析。勢(shì)能法將輪齒視為變截面懸臂梁，計(jì)算嚙合力作用到齒面時(shí)的赫茲接觸勢(shì)能、剪切勢(shì)能、壓縮勢(shì)能及彎曲勢(shì)能等。眾所周知，除在節(jié)線附近，主從動(dòng)輪嚙合點(diǎn)在其他嚙合位置均存在相對(duì)滑動(dòng)，產(chǎn)生摩擦力。在利用勢(shì)能法計(jì)算齒輪副嚙合剛度時(shí)，應(yīng)考慮摩擦力。為此，Saxena 等[12-14]以勢(shì)能法為基礎(chǔ)，研究了直齒圓柱齒輪副中的摩擦力對(duì)嚙合剛度的影響；Han 等[15]雖討論了摩擦力對(duì)斜齒圓柱齒輪嚙合剛度的影響，但當(dāng)采用不同摩擦系數(shù)模型時(shí)，工況參數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響是否有所區(qū)別，其研究工作并未給出相關(guān)結(jié)論。此外，摩擦力對(duì)嚙合剛度的影響程度，是否與斜齒輪副的螺旋角、模數(shù)等參數(shù)有關(guān)[16-17]，也未發(fā)現(xiàn)相關(guān)報(bào)道。針對(duì)上述問題，本研究以勢(shì)能法為基礎(chǔ)，計(jì)及齒面摩擦力的影響，通過采取不同摩擦系數(shù)模型，揭示工況參數(shù)對(duì)斜齒圓柱齒輪副時(shí)變嚙合剛度的影響，探討所述影響與斜齒輪副螺旋角、模數(shù)等參數(shù)之間的關(guān)系。

1 時(shí)變嚙合剛度計(jì)算模型

1.1 勢(shì)能法

嚙合剛度計(jì)算模型如圖1 所示。作用于該輪齒上的嚙合力為F，可分解為徑向、切向2 個(gè)方向上的分力Fa、Fb。

圖1 嚙合剛度計(jì)算模型

根據(jù)力學(xué)相關(guān)理論，存儲(chǔ)于該齒內(nèi)的勢(shì)能包括赫茲接觸勢(shì)能Uh，壓縮勢(shì)能Ua，彎曲勢(shì)能Ub及剪切勢(shì)能Us，各項(xiàng)可表示為如下形式

式中：kh、kb、ka、ks分別為赫茲接觸剛度、彎曲剛度、壓縮剛度和剪切剛度；G、E、b 分別為齒輪材料剪切模量、楊氏模量和齒寬；Ix、Ax為距離齒根距離為x 處的截面慣性矩及截面面積；hx為對(duì)應(yīng)于到基圓徑向距離為x、垂直于齒中心線的距離；d 為嚙合力的作用點(diǎn)到基圓的徑向距離。

Yang 等[18]的研究結(jié)果表明，式（1）中的接觸剛度值kh實(shí)際上沿著整條作用線是一常數(shù)，與接觸位置及穿入程度無關(guān)，可表示為

式中：v 為材料的泊松比。

除此表達(dá)式外，還需考慮載荷影響的經(jīng)驗(yàn)公式[19]，為簡(jiǎn)化起見，此處采用式（6）。將式（5）代入式（2）-（4）中，得

計(jì)算過渡圓角變形的幾何參數(shù)如圖2 所示。

考慮齒根基體變形[20]，相應(yīng)的齒根基體剛度為

式中：uf、Sf如圖2所示。

式中：Xi*為系數(shù) L*、M*、P*、Q*，參數(shù) Ai、Bi、Ci、Di、Ei和 Fi所涉及的參數(shù)值如表1 所示。hfi=rf/rint，rint如圖2 所示。

圖2 計(jì)算過渡圓角變形的幾何參數(shù)

表1 公式（11）所涉及的參數(shù)值

根據(jù)上式，單齒對(duì)嚙合剛度可表示為

式中：下標(biāo)1、2 分別為主、從動(dòng)輪。若一對(duì)齒輪副重合度為ε，則當(dāng)有n=ceil（ε）對(duì)輪齒同時(shí)嚙合時(shí)，其嚙合剛度為

函數(shù)ceil（x）的含義是取比x 大的最小整數(shù)。

1.2 斜齒圓柱齒輪嚙合剛度

與直齒輪不同，斜齒圓柱齒輪輪齒在嚙合時(shí)，接觸線與軸線不平行，且其長(zhǎng)度是逐漸增大又逐漸減小。通常斜齒輪重合度 2 ＜ ε（ε = εα +εβ，εα 為端面重合度，εβ 為軸向重合度）＜3，斜齒圓柱齒輪嚙合的作用面且對(duì)應(yīng)于 εα ＞ εβ，如圖3所示。

圖3 斜齒圓柱齒輪嚙合的作用面

從圖3 可以看出，三齒對(duì)嚙合的初始時(shí)刻，則單齒對(duì)接觸線長(zhǎng)度從進(jìn)入嚙合至退出嚙合，可由下式計(jì)算獲得

同理，對(duì)于每一對(duì)嚙合輪齒，在一個(gè)嚙合周期T內(nèi)，其接觸線長(zhǎng)度可表示為

上述計(jì)算直齒輪嚙合剛度的方法不能直接用于計(jì)算斜齒輪嚙合剛度。為此，若將斜齒輪沿其軸線方向劃分成諸多寬度為dy 的“切片”，則每一片即可視為一直齒輪。由此，可利用上述勢(shì)能法計(jì)算每片直齒的嚙合剛度，整齒嚙合剛度可通過沿整齒齒寬的積分獲得。切片法模型如圖4 所示。

圖4 切片法模型

作用于切片上的力如圖5 所示。除嚙合力F 外，與F 垂直方向上作用有摩擦力Ff，該摩擦力也可分解為 Ffa、Ffb，大小可由下式獲取

式中：μ 為摩擦系數(shù)。

圖5 作用于切片上的力

當(dāng)接觸線位于節(jié)線下方時(shí)，根據(jù)前述勢(shì)能法原理，存儲(chǔ)于每一切片的彎曲勢(shì)能為

式中：dIx=（2hx）3dy/12，表示切片的截面慣性矩。

式中：參數(shù)α1（y）、d（y）、h（y）及x 如圖1 所示。

將式（22）、（23）代入式（21），經(jīng)整理，得

則有效接觸線長(zhǎng)度為l 的齒對(duì)彎曲剛度為

將x 和hx的表達(dá)式代入上式，同時(shí)由于上式求積分困難，故利用離散求和代替上式直接積分，可得

同理，當(dāng)接觸線位于節(jié)線上方時(shí)，有

為簡(jiǎn)便起見，令

同理，可推導(dǎo)出剪切剛度的表達(dá)式

壓縮剛度的表達(dá)式為

當(dāng)某嚙合齒對(duì)接觸線部分位于節(jié)線之上，而另一部分位于節(jié)線之下時(shí)，該齒對(duì)彎曲剛度為

式中：N+為對(duì)應(yīng)于接觸線位于節(jié)線上部的切片數(shù)；N-為對(duì)應(yīng)于接觸線位于節(jié)線下部的切片數(shù)。

針對(duì) 2 ＜ ε ＜ 3 且 εα＞ εβ的情況，在整個(gè)嚙合周期內(nèi)，3 對(duì)嚙合齒對(duì)的彎曲剛度分別為

式中：N1=lc，1（t）cos βb/Δy；N2=（lc，1（t）-（vt-lBP）/sin βb）cos βb/Δy；N3=lc，1（t）cos βb/Δy-N2；N4=（lBP+（εβ-1）pbtvt）/（Δy·tan βb）；N5=b/Δy-N4；N6=lc，2（t）cos βb/Δy；N7=lc，3（t）cos βb/Δy。

同理可得三齒對(duì)嚙合的其他剛度項(xiàng)如ks，ka等，篇幅所限，此處不再列出。

1.3 摩擦系數(shù)模型

上述剛度表達(dá)式中的摩擦系數(shù)與工況及接觸表面質(zhì)量有關(guān)。本研究選用2 個(gè)摩擦系數(shù)模型，探討工況參數(shù)和表面粗糙度對(duì)嚙合剛度的影響規(guī)律及不同摩擦系數(shù)模型對(duì)嚙合剛度影響的差異性。

BK 摩擦系數(shù)公式[21-22]

式中：η 為潤(rùn)滑油粘度，單位為cP；S 為用均方根值表示的齒面粗糙度，單位為μin；w 單位長(zhǎng)度上的載荷，單位為lbf/in；us、ur分別為嚙合點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度及卷吸速度，單位為in/s。該式中非標(biāo)準(zhǔn)單位在程序執(zhí)行前，均通過與標(biāo)準(zhǔn)單位的關(guān)系轉(zhuǎn)換。

Xu[23]根據(jù)非牛頓流體熱彈流潤(rùn)滑理論提出了在節(jié)點(diǎn)處摩擦系數(shù)為零的摩擦系數(shù)公式為

式中：v0為在油入口溫度下的絕對(duì)黏度（動(dòng)力黏度），單位cPs；S 為表面粗糙度均方根值，單位μm；bi（i=1，2，…，9）為常系數(shù)，取決于潤(rùn)滑油類型，若為 75W90 齒輪油，則有 v0=10 cPs，bi=-8.92，1.03，1.04，-0.35，2.81，-0.10，0.75，-0.39 ，0.62 ；R 為有效曲率半徑，單位 m，取決于齒輪幾何特征及嚙合位置；卷吸速度為Ve，跟齒輪轉(zhuǎn)速有關(guān)；最大壓力Ph取決于傳遞的載荷，由文獻(xiàn)[24]所述方法獲取，本文開發(fā)程序的有效性已在文獻(xiàn)[25]中證實(shí)。

2 仿真結(jié)果與討論

斜齒圓柱齒輪參數(shù)如表2 所示。

表2 斜齒圓柱齒輪參數(shù)

接觸線長(zhǎng)度和嚙合剛度如圖6 所示。從圖6（a）可知，起始時(shí)間為輪齒剛進(jìn)入嚙合時(shí)刻，隨著主動(dòng)輪不斷轉(zhuǎn)動(dòng)，接觸線長(zhǎng)度逐漸增大，然后保持一定值不變，又逐漸減小，直至退出嚙合，接觸線長(zhǎng)度變?yōu)?。

摩擦系數(shù)公式不同，在相同工況條件下，所得摩擦系數(shù)分布情況不同。摩擦系數(shù)分布如圖7 所示。

在負(fù)載扭矩T=600 N·m、表面粗糙度S=1.6 μm、主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速n1=500 r/min 的工況條件下，2 種模型所獲得的摩擦系數(shù)沿一對(duì)輪齒接觸線方向上的分布情況。

從圖7 中不難發(fā)現(xiàn)，BK 模型在整個(gè)嚙合過程，摩擦系數(shù)差異性不明顯，節(jié)線附近摩擦系數(shù)達(dá)到峰值；而Xu 模型所得摩擦系數(shù)在整個(gè)嚙合過程分布差異較大，在節(jié)線附近達(dá)到最小值。

圖6 接觸線長(zhǎng)度和嚙合剛度

圖7 摩擦系數(shù)分布

表面粗糙度對(duì)嚙合剛度的影響如圖8 所示。研究負(fù)載扭矩T=600 N·m，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速n1=500 r/min 的工況下，輪齒表面粗糙度對(duì)嚙合剛度的影響規(guī)律。此處忽略了粗糙表面對(duì)赫茲接觸剛度的影響。

圖8 表面粗糙度對(duì)嚙合剛度的影響

從圖8 可以看出，摩擦因素確實(shí)對(duì)齒輪副嚙合剛度具有一定影響，且影響規(guī)律在整個(gè)嚙合周期內(nèi)并不一致，即部分時(shí)間段內(nèi)是增大嚙合剛度，而余下時(shí)間內(nèi)則是減小嚙合剛度，這主要是因嚙合齒對(duì)在越過節(jié)線附近時(shí)，摩擦力換向所致；此外，從圖8（b）可知，Xu的摩擦系數(shù)模型隨著齒面粗糙度取值不同，其影響也隨之表現(xiàn)出明顯差異；而從圖8（a）可知，BK 摩擦系數(shù)公式對(duì)齒面粗糙度不靈敏，摩擦系數(shù)變化不大，故對(duì)嚙合剛度的影響趨于相同。

在S=1.6 μm、主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速n1=500 r/min 的工況下，不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)嚙合剛度的影響如圖9 所示。此處需要說明的是，本文所采用的剛度計(jì)算模型忽略了載荷對(duì)赫茲接觸剛度的影響，故負(fù)載不同，摩擦系數(shù)不同，進(jìn)而影響嚙合剛度。從圖9（a）和（b）可以看出，在不考慮對(duì)赫茲接觸剛度影響的前提下，負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)嚙合剛度的影響不顯著。

在之前的文獻(xiàn)中，計(jì)算齒輪副嚙合剛度時(shí)，未包括齒輪轉(zhuǎn)速因素，即認(rèn)為轉(zhuǎn)速僅對(duì)嚙合頻率產(chǎn)生影響，對(duì)嚙合剛度不會(huì)產(chǎn)生任何影響。而在本研究中，當(dāng)計(jì)及摩擦因素對(duì)嚙合剛度有影響時(shí)，由于轉(zhuǎn)速會(huì)影響到摩擦系數(shù)，則勢(shì)必會(huì)間接地對(duì)嚙合剛度產(chǎn)生影響。主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速對(duì)嚙合剛度的影響如圖10 所示。

圖9 不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)嚙合剛度的影響

圖10 主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速對(duì)嚙合剛度的影響

由摩擦學(xué)理論可知，轉(zhuǎn)速越低，接觸表面間越不容易形成潤(rùn)滑油膜，摩擦系數(shù)越大，故圖中當(dāng)n1=100 r/min時(shí)，對(duì)應(yīng)的摩擦系數(shù)值最大，其對(duì)嚙合剛度的影響愈明顯。然而，從圖10 中可以看出，不同轉(zhuǎn)速對(duì)嚙合剛度的影響差異性不大。

以Xu 所提出的摩擦系數(shù)公式為例，探討齒面摩擦對(duì)不同螺旋角、模數(shù)的齒輪副嚙合剛度的影響特征，嚙合剛度波動(dòng)與齒輪基本參數(shù)之間的關(guān)系如圖11 所示。

圖11 嚙合剛度波動(dòng)與齒輪基本參數(shù)之間的關(guān)系

圖中縱軸代表嚙合剛度的波動(dòng)量（定義為在1個(gè)嚙合周期內(nèi)，剛度最大值與最小值之差）。從圖11（a）可知，螺旋角分別為 10°、12°、14°時(shí)，考慮摩擦及不考慮摩擦?xí)r的齒輪副嚙合剛度的情況。不難看出，隨著齒輪副螺旋角的增大，考慮摩擦因素的剛度值與未考慮摩擦因素的剛度值之差逐漸減小，即摩擦因素對(duì)嚙合剛度的影響逐漸減小。從圖11（b）可知，齒輪法面模數(shù)分別為2.5 mm、3 mm、4 mm 時(shí)，摩擦對(duì)嚙合剛度波動(dòng)量的影響規(guī)律與螺旋角情況不同，摩擦對(duì)齒輪副嚙合剛度的影響隨著模數(shù)增加變化不大。

3 結(jié) 論

本研究考慮斜齒圓柱齒輪副嚙合時(shí)的齒面摩擦力，在勢(shì)能法的基礎(chǔ)上，改進(jìn)了嚙合剛度計(jì)算模型。同時(shí)，以2 種摩擦系數(shù)公式為例，探討了摩擦對(duì)嚙合剛度的影響及不同摩擦系數(shù)模型之間的差異性。研究結(jié)論如下。

（1）摩擦因素對(duì)嚙合剛度有一定的影響，在計(jì)算嚙合剛度時(shí)，應(yīng)予以考慮。

（2）在1 個(gè)嚙合周期內(nèi)，摩擦對(duì)嚙合剛度的影響不一致。

（3）摩擦系數(shù)模型不同，工況參數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響規(guī)律也不盡相同。

（4）摩擦對(duì)嚙合剛度的影響隨著螺旋角的增大而減小，而隨著模數(shù)的增加，影響不明顯。

基于上述工作，探討摩擦對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響有待進(jìn)一步深入研究。