谷建偉，任燕龍，張以根，崔文富

(1.中國(guó)石油大學(xué)(華東)，山東 青島 266580；2.中國(guó)石化勝利油田分公司，山東 東營(yíng) 257015)

0 引 言

現(xiàn)階段，中國(guó)東部油田大多進(jìn)入特高含水期，在該含水階段油水相對(duì)滲透率比值與含水飽和度不再滿足半對(duì)數(shù)線性關(guān)系[1-2]，該問題對(duì)水驅(qū)油藏開發(fā)指標(biāo)預(yù)測(cè)有很大影響。目前，水驅(qū)特征曲線形式多樣，主要存在以下問題：基于相對(duì)滲透率比值半對(duì)數(shù)線性規(guī)律的水驅(qū)曲線[3]在高含水期與特高含水期擬合不準(zhǔn)確；對(duì)于多項(xiàng)式形式[4]和具有指數(shù)函數(shù)[5]的水驅(qū)特征曲線，當(dāng)含水飽和度趨于極值時(shí)，公式左右兩端不相等；部分學(xué)者[6-7]在乙型水驅(qū)特征曲線表達(dá)式的基礎(chǔ)上，增加了一些特殊的數(shù)學(xué)函數(shù)，如含有(1-Sw)項(xiàng)、三角函數(shù)形式[8]及無(wú)窮項(xiàng)有理多項(xiàng)式形式[9]的水驅(qū)特征曲線，雖然解決了表達(dá)式左右兩端不相等的問題，但是不能準(zhǔn)確反映特高含水期水驅(qū)特征曲線“上翹”的現(xiàn)象。

針對(duì)上述問題，在重新修改相滲曲線表征形式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)改進(jìn)了乙型水驅(qū)特征曲線，通過最小二乘法與窮舉法的綜合運(yùn)用，解決多參數(shù)擬合的問題。實(shí)例驗(yàn)證表明，改進(jìn)的乙型水驅(qū)曲線具有高擬合度的優(yōu)點(diǎn)，可以準(zhǔn)確刻畫特高含水開發(fā)階段水油比與采收率的變化特征。

1 新型相滲表征公式提出及驗(yàn)證

為表征特高含水期水驅(qū)特征曲線的“上翹”現(xiàn)象，達(dá)到適用于水驅(qū)開發(fā)全過程的目的，在前人研究的基礎(chǔ)上，對(duì)相滲關(guān)系進(jìn)行一定數(shù)學(xué)形式的改進(jìn)，簡(jiǎn)化相滲關(guān)系的表征形式，從而提出新型相滲關(guān)系式。

(1)

式中：Kro為油相相對(duì)滲透率；Krw為水相相對(duì)滲透率；Sw為含水飽和度；a、b、c、n為待定參數(shù)。

通過Sw的指數(shù)形式，增加了曲線的可調(diào)節(jié)程度，使擬合更加準(zhǔn)確，同時(shí)降低了公式的復(fù)雜性；當(dāng)含水飽和度趨于1時(shí)，Kro趨于0，ln(1-Sw)確保了等式兩邊均趨于無(wú)窮，保證式(1)表征的相滲關(guān)系可以適用于水驅(qū)開發(fā)全過程。

為了驗(yàn)證式(1)的普遍適用性與準(zhǔn)確性，利用文獻(xiàn)[7,9]，選取大慶貝爾油田某區(qū)塊、榆樹林油田東14區(qū)塊，長(zhǎng)慶西峰油田莊19井區(qū)以及羊二莊油田某區(qū)塊4條相滲曲線數(shù)據(jù)，利用式(1)進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖1所示。由圖1可知，4條曲線產(chǎn)生了明顯的下彎現(xiàn)象，且無(wú)論曲線的形態(tài)如何，油水相對(duì)滲透率比值與含水飽和度的半對(duì)數(shù)關(guān)系曲線的擬合都十分良好，相關(guān)系數(shù)分別為0.999 4、0.999 2、0.999 6、0.999 4，可以驗(yàn)證新型相滲表征公式的正確性。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證新型相滲表征公式的準(zhǔn)確性，選取其他3種形式的相滲表征公式與之對(duì)比[6],擬合文獻(xiàn)[7,9]中的相滲數(shù)據(jù)，求得最小二乘誤差及相關(guān)系數(shù)，從而確定擬合程度，擬合的結(jié)果如表1所示。

ln(Kro/Krw)=a+bSw

(2)

ln(Kro/Krw)=a+bSw+ceSw

(3)

ln(Kro/Krw)=a+blnSw+cln(1-Sw)

(4)

圖1 不同區(qū)塊新型相滲公式擬合曲線

表1 擬合曲線精度對(duì)比

由表1可知，新型表征公式(1)的擬合精度最高，其次是式(4)，最差的是式(2)。式(2)主要考慮的是相滲曲線中間直線段特征，對(duì)晚期彎曲段不適應(yīng)，因此，導(dǎo)致整體上的擬合程度偏低。

2 改進(jìn)的乙型水驅(qū)特征曲線求解

經(jīng)典的水驅(qū)特征曲線在導(dǎo)出過程中，油水相對(duì)滲透率比值采用了式(2)的直線表達(dá)形式。因此，只要將新型相滲表征公式帶入到水驅(qū)特征曲線的推導(dǎo)過程中，即可得到改進(jìn)的乙型水驅(qū)特征曲線。

在忽略毛管力和重力影響的條件下，油藏生產(chǎn)過程中地面水油比可表示為：

(5)

式中：WOR為地面水油比；Qo、Qw為油田日產(chǎn)油、日產(chǎn)水量，t/d；ρo、ρw為油、水的密度，g/cm3；Bo為原油體積系數(shù)；Bw為地層水體積系數(shù)；μo、μw為油、水的黏度，mPa·s。

將式(5)兩邊取對(duì)數(shù)并代入式(1)，得：

(6)

采出程度和油藏含水飽和度存在以下關(guān)系：

(7)

式中：R為采出程度；Swc為束縛水飽和度；Boi為原油原始體積系數(shù)。

將式(7)變形，可得：

(8)

將式(8)代入式(6)，得：

(9)

式(9)可簡(jiǎn)化為：

lnWOR=A+B(CR+D)n+Eln(1-CR-D)

(10)

(11)

B=b

(12)

(13)

D=1-C

(14)

E=c

(15)

式(10)即為改進(jìn)的乙型水驅(qū)特征曲線，考慮到含水率與水油比、采出程度與累計(jì)產(chǎn)油量之間的關(guān)系，式(10)也可以改寫為：

(16)

式中：fw為含水率；Np為累計(jì)產(chǎn)油量，104t；N為石油地質(zhì)儲(chǔ)量，104t。

新型水驅(qū)特征曲線中含有A、B、C、D、E、n共6個(gè)系數(shù)，目前無(wú)法直接確定這6個(gè)系數(shù)的具體數(shù)值，因此，通過窮舉法來計(jì)算C、D、n的數(shù)值，通過最小二乘法計(jì)算A、B、E的數(shù)值。

因此，構(gòu)建最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)T,由此可以得到擬合誤差為：

(17)

式中：m為含水率與采收率的序列長(zhǎng)度，即油田生產(chǎn)總月數(shù)；Yi為每個(gè)月水油比的對(duì)數(shù)值；Ri為不同時(shí)刻采收率。

求解參數(shù)問題變?yōu)榍蠼饽繕?biāo)函數(shù)的最小值問題，觀察式(17)可知，可以將CRi+D看成一個(gè)整體，記為Xi。但是由于C存在于對(duì)數(shù)項(xiàng)中，n存在于指數(shù)項(xiàng)上，應(yīng)用最小二乘法無(wú)法直接求解，因此，采用窮舉法對(duì)C、n進(jìn)行排列組合，計(jì)算出每一種情況下的解，通過目標(biāo)函數(shù)T比較誤差大小，從而求出最優(yōu)解。具體計(jì)算流程如下。

(1)導(dǎo)入含水率fw及采收率R的數(shù)據(jù)，fw和R均為m×1的矩陣。

(2)計(jì)算矩陣Y，Y=ln[fw/(1-fw)]。

(3)擬合過程需要構(gòu)建雙層循環(huán)對(duì)C、n進(jìn)行排列組合，在第1層循環(huán)時(shí)給定C，計(jì)算矩陣X，X=CR+D，第2層循環(huán)開始時(shí)給定n，按式(18)計(jì)算系數(shù)矩陣K。

(18)

(4)構(gòu)建矩陣方程Y=K·Z，利用最小二乘法求解矩陣方程，則Z=(KTK)-1·(KTY)，其中Z是由系數(shù)A、B、E組成的單列矩陣。

(5)利用式(17)計(jì)算此時(shí)的誤差，如果此時(shí)的誤差小于目前所得的最小誤差，則將此時(shí)的A、B、C、D、E、n保存，否則不進(jìn)行更新，直到跳出雙重循環(huán)結(jié)束計(jì)算。

3 實(shí)例應(yīng)用

3.1 生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合

以勝坨油田公開的生產(chǎn)資料為例，該油田從1966年投入開發(fā)，截止目前已開發(fā)53 a。該油田開發(fā)過程中層系、井網(wǎng)相對(duì)穩(wěn)定，數(shù)據(jù)記錄比較完整，采用1974年1月至2018年12月共540個(gè)月的月度生產(chǎn)數(shù)據(jù)。該油田的含水率變化有明顯的階段性特征：1974年至1990年油田含水率低于90%，處于中高含水階段；1991年至2018年的含水率高于90%，處于高含水與特高含水階段。利用經(jīng)典乙型水驅(qū)曲線、文獻(xiàn)[6-7]中的崔-水驅(qū)曲線與王-水驅(qū)曲線和新型水驅(qū)曲線對(duì)2個(gè)含水階段進(jìn)行擬合。第1階段以1974年至1989年的192個(gè)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行擬合，以1990年的12個(gè)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)驗(yàn)證(表2)；第2階段以1991年至2017年的324個(gè)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行擬合，以2018年的12個(gè)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)驗(yàn)證(表3)。

表2 中高含水階段水驅(qū)曲線關(guān)系式對(duì)比

表3 高含水與特高含水階段水驅(qū)曲線關(guān)系式對(duì)比

將以上4種水驅(qū)曲線與實(shí)際水驅(qū)曲線進(jìn)行對(duì)比(圖2)。

圖2 水驅(qū)曲線擬合對(duì)比

計(jì)算4種水驅(qū)曲線擬合的最小二乘誤差和相關(guān)系數(shù)(表4)。

表4 水驅(qū)曲線擬合精度對(duì)比

3.2 生產(chǎn)預(yù)測(cè)

利用圖2中曲線，對(duì)比所得4種擬合公式在1990年和2018年的水油比預(yù)測(cè)情況(圖3)。

圖3 不同擬合方式水油比預(yù)測(cè)情況

計(jì)算4條水驅(qū)曲線預(yù)測(cè)的殘差平方和與平均相對(duì)誤差(表5)。

表5 水驅(qū)曲線預(yù)測(cè)誤差對(duì)比

由圖3、表5可知：在中高含水階段，乙型水驅(qū)曲線與王-水驅(qū)曲線的預(yù)測(cè)水油比偏小，誤差較大，平均相對(duì)誤差均大于11%，且變化趨勢(shì)大致相同；崔-水驅(qū)曲線與新型水驅(qū)曲線的預(yù)測(cè)水油比相近，新型水驅(qū)曲線的相對(duì)誤差更小，平均相對(duì)誤差僅為2.27%。在特高含水階段，乙型水驅(qū)曲線與王-水驅(qū)曲線的預(yù)測(cè)水油比偏小，崔-水驅(qū)曲線的預(yù)測(cè)水油比偏大，誤差均較大，而新型水驅(qū)曲線的預(yù)測(cè)誤差很小。從水驅(qū)開發(fā)全過程來看，新型水驅(qū)曲線的擬合精度與預(yù)測(cè)均較好，對(duì)于油田的生產(chǎn)開發(fā)調(diào)整具有一定的指導(dǎo)意義。

當(dāng)預(yù)測(cè)采出程度達(dá)到45%，傳統(tǒng)乙型水驅(qū)曲線與新型水驅(qū)曲線的預(yù)測(cè)情況如圖4所示。由圖4可知，雖然實(shí)際的水驅(qū)曲線由于某些因素導(dǎo)致局部含水率降低，但油田總體的含水率變化趨勢(shì)是上升的。當(dāng)采出程度達(dá)到45%時(shí)，傳統(tǒng)乙型水驅(qū)曲線的預(yù)測(cè)水油比為4.15，含水率為98.45%，新型水驅(qū)曲線的預(yù)測(cè)水油比為4.65，含水率為99.05%。綜合圖3、圖4可知，新型水驅(qū)曲線在不同的生產(chǎn)時(shí)期和含水階段均具有很好的適用性，擬合與預(yù)測(cè)效果良好，并且能夠很好地?cái)M合特高含水期曲線的“上翹”階段。

圖4 采出程度為50%的水油比預(yù)測(cè)

4 結(jié)論與建議

(1)在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了一種新型相滲關(guān)系表達(dá)式。巖心驅(qū)替實(shí)驗(yàn)表明，與其他幾種表達(dá)式相比，新型相滲關(guān)系式的適用情況良好，擬合精度較高。

(2)基于新型相滲關(guān)系所推導(dǎo)的水驅(qū)特征曲線與經(jīng)典乙型水驅(qū)特征曲線相比，在以下方面有所改進(jìn)：通過Swn指數(shù)形式，不僅避免了水驅(qū)曲線復(fù)雜冗長(zhǎng)的缺點(diǎn)，同時(shí)能夠?qū)λ?qū)油田開發(fā)全階段進(jìn)行擬合；該水驅(qū)特征曲線可以通過改變C、n的值提高擬合精度；在保證高擬合精度的同時(shí)，還可以對(duì)油田后續(xù)開發(fā)進(jìn)行一定的預(yù)測(cè)。新型水驅(qū)特征曲線可以較好地反映特高含水期水驅(qū)特征曲線“上翹”現(xiàn)象，應(yīng)用效果良好。

(3)實(shí)際應(yīng)用中，可以利用擬合得到新型水驅(qū)特征曲線進(jìn)行生產(chǎn)開發(fā)預(yù)測(cè)，判斷油田的含水率變化，對(duì)于油田的生產(chǎn)開發(fā)具有一定的指導(dǎo)意義。生產(chǎn)數(shù)據(jù)更新后，可以重新進(jìn)行水驅(qū)曲線的擬合，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)，從而提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

(4)在新型水驅(qū)特征擬合曲線上有時(shí)會(huì)出現(xiàn)尖點(diǎn)，這是由于新型水驅(qū)特征曲線表達(dá)式的右側(cè)存在ln(1-CR-D)，當(dāng)(1-CR-D)趨近于0時(shí)，會(huì)造成預(yù)測(cè)曲線局部的迅速變化，在實(shí)際應(yīng)用中并不會(huì)影響曲線的預(yù)測(cè)趨勢(shì)，可以通過高階插值的方法消除尖點(diǎn)。