郜輝, 汪志昊

(華北水利水電大學 土木與交通學院,河南 鄭州 450045)

大跨度斜拉橋的斜拉索極易在外界環(huán)境激勵下產(chǎn)生多種有害振動,持續(xù)、大幅的斜拉索振動不僅會引起拉索的疲勞損傷,而且會破壞斜拉索的防腐系統(tǒng),進而降低斜拉索的服役壽命,并增加整個橋梁結(jié)構(gòu)的維護成本。因此,有必要研究有效的斜拉索振動控制技術(shù)來降低斜拉索振動帶來的危害。安裝外置黏滯阻尼器(Viscous Damper,VD)是一種應用最為廣泛的斜拉索減振措施,但其減振效果受到安裝高度的制約[1-4],對超長斜拉索提供的附加阻尼有限。

為提升VD對斜拉索的減振效果,基于磁流變(Magnetorheological,MR)阻尼器的智能、半主動控制措施被逐漸提出[5-8]。研究結(jié)果表明[9-12]:負剛度阻尼器可以顯著提升斜拉索的減振效果。近幾年，具有負剛度效應的慣質(zhì)阻尼器得到了較多關(guān)注:LU Lei等[13]、SHI Xiang等[14]開展了黏滯慣質(zhì)阻尼器(Viscous inertial Mass Damper,VMD)對斜拉索減振控制的仿真分析和參數(shù)優(yōu)化研究;汪志昊等[15]采用電磁式慣質(zhì)阻尼器試驗驗證了VMD對斜拉索的減振提升效果,并指出VMD的減振性能提升主要歸功于慣容單元有助于放大阻尼單元的位移,從而實現(xiàn)了VMD整體耗能能力的提升。

為進一步提升斜拉索的減振效果,本文基于“阻尼-慣容-彈簧”三元被動減振理論[16],開展了調(diào)諧慣容阻尼器(Tuned Inerter Damper,TID)對斜拉索減振性能的提升研究?；趶湍B(tài)理論,分析了TID慣容比、阻尼比、頻率比對斜拉索模態(tài)阻尼比的影響,獲得了TID的最優(yōu)調(diào)諧參數(shù)與斜拉索的最大附加模態(tài)阻尼比。通過對比TID、VMD和VD對斜拉索的減振效果,闡明了TID對斜拉索減振控制的優(yōu)越性。最后，基于耗能效率揭示了TID對斜拉索的減振增效機理。

1 斜拉索-TID系統(tǒng)狀態(tài)空間方程

忽略斜拉索垂度和抗彎剛度的影響,斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的分析模型如圖1所示,其中TID由阻尼單元并聯(lián)彈簧單元后再串聯(lián)慣容單元構(gòu)成。參照文獻[4],斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的振動微分方程可表示為:

(1)

式中:m為斜拉索單位長度的質(zhì)量;u(x,t)為斜拉索在t時刻x位置處的橫向位移;T為斜拉索的張力；xd為TID的安裝位置距離斜拉索左側(cè)錨固端的距離;δ(·)為Dirac Delta函數(shù);FTID為TID作用于斜拉索的橫向力。FTID可表示為:

(2)

圖1 斜拉索-TID耦合系統(tǒng)分析模型

采用有限差分法,考慮斜拉索兩端的邊界條件:

(3)

式中l(wèi)為斜拉索的長度。斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的運動微分方程可表示為:

(4)

M=maIn,C=0n，

(5)

(6)

式中:M、C、K分別為斜拉索的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；In為n階單位矩陣;n為離散斜拉索的內(nèi)節(jié)點個數(shù);a=l/N,為斜拉索單元長度;N為斜拉索的單元個數(shù),N=n+1;u和f分別為斜拉索的位移向量和外荷載向量;γ為TID的作用位置向量；ui和fi分別為斜拉索第i個節(jié)點的位移和外荷載;γi由TID的安裝位置決定。當TID安裝在斜拉索第k個節(jié)點時,有

(7)

當在x=xd位置安裝VMD或VD時,斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)的運動微分方程可表示為:

(8)

式中:Md=M+γbdγT、Cd=C+γcdγT，分別為斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣；bd和cd分別為VMD的慣容系數(shù)和阻尼系數(shù),且bd=0時VMD將退化為VD。

為形成斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的運動微分方程,將式(2)中的FTID重寫為:

(9)

綜合式(4)和式(9),斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的運動方程可表示為:

(10)

(11)

方程(8)和(11)的狀態(tài)空間方程可表示為:

(12)

對于VMD和VD有:

(13)

對于TID有:

(14)

2 斜拉索-TID耦合系統(tǒng)復模態(tài)分析

2.1 耦合系統(tǒng)模態(tài)阻尼比

設(shè)斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)自由振動時狀態(tài)向量可表示為:

z=Zexp(pt)。

(15)

式中：Z為狀態(tài)向量z的幅值；p為矩陣A的特征值。將式(15)代入式(12)并移去外荷載,可得斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)的特征方程如下：

AZ=pZ，

(16)

(17)

式中：ωk和ζk分別表示斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)第k階模態(tài)的振動圓頻率和阻尼比。

根據(jù)式(17),斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)的第k階模態(tài)的振動圓頻率和模態(tài)阻尼比可分別表示為:

(18)

式中Re(p)和Im(p)分別為p的實部和虛部。

對于VD和VMD,斜拉索第k階模態(tài)的附加模態(tài)阻尼比可直接由式(18)計算。對于斜拉索-TID系統(tǒng),TID的調(diào)諧作用將使斜拉索的某一階模態(tài)轉(zhuǎn)化為斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的2個相近模態(tài),為有效抑制斜拉索振動,應取2個相近模態(tài)的附加模態(tài)阻尼比的較小值作為TID提供的斜拉索附加模態(tài)阻尼比。

2.2 參數(shù)分析

TID的阻尼系數(shù)、彈簧剛度和慣容系數(shù)均會影響斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的模態(tài)阻尼比,為使分析更具普適性,引入下列無量綱參數(shù):

(19)

式中:μ為TID的無量綱慣容比；ωd為TID自身的振動圓頻率；f為TID的無量綱頻率比；ξd為TID的無量綱阻尼比。

圖2為斜拉索附加模態(tài)阻尼比隨TID阻尼比和頻率比的變化曲線。由圖2可知:斜拉索附加模態(tài)阻尼比隨TID阻尼比和頻率比的變化呈先增大后減小的變化趨勢,存在最優(yōu)的阻尼比和頻率比;隨著TID阻尼比的變化,TID最優(yōu)頻率比基本保持不變。

圖2 斜拉索附加模態(tài)阻尼比隨TID阻尼比和 頻率比的變化關(guān)系(μ=0.5,xd/l=0.02)

在此基礎(chǔ)上,圖3給出了TID最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比以及斜拉索獲得的最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比隨TID慣容比的變化關(guān)系。

圖3 TID最優(yōu)頻率比、阻尼比以及斜拉索最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比隨TID慣容比的變化關(guān)系(xd/l=0.02)

圖3(a)表明,TID各階模態(tài)最優(yōu)頻率比隨慣容比的增大而變化的情況分為3個階段:第1階段,TID的最優(yōu)頻率比隨著慣容比的增大而緩慢增大至最大值;第2階段,TID的最優(yōu)頻率比隨著慣容比的增大從最大值迅速下降至0;第3階段,TID的最優(yōu)頻率比始終保持為0,此時TID將退化為一種新阻尼器,即由阻尼單元串聯(lián)慣容單元構(gòu)成的SVMD。為了闡述方便,將TID最優(yōu)頻率等于0時對應的慣容比稱為臨界慣容比。

圖3(b)表明:當TID慣容比小于臨界值時,TID最優(yōu)阻尼比隨著慣容比的增大而增大;當TID慣容比大于臨界值時,TID最優(yōu)阻尼比隨著慣容比的增大而減小。TID的最優(yōu)阻尼比在臨界慣容比位置不可導,這主要是由于TID退化為SVMD后,兩種阻尼器為斜拉索提供的附加模態(tài)阻尼比隨阻尼器阻尼系數(shù)的變化規(guī)律不同。

圖3(c)表明:當慣容比小于最優(yōu)值時,TID的附加最優(yōu)模態(tài)阻尼比隨著慣容比的增大而增大；當TID退化為SVMD后,斜拉索的最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比隨著慣容比的增大而減小,最終穩(wěn)定至VD為斜拉索提供的最大附加模態(tài)阻尼比。當慣容比接近臨界值時,對斜拉索的附加最優(yōu)模態(tài)阻尼比最大,即TID的最優(yōu)慣容比接近其臨界值。由圖3可知:斜拉索前4階模態(tài)獲得的最大附加模態(tài)阻尼比基本相同,TID最優(yōu)慣容比隨著模態(tài)階次的增大而減小,TID的最優(yōu)頻率比和阻尼比隨著模態(tài)階次的增大而增大。

3 TID對斜拉索減振控制的仿真分析

3.1 復模態(tài)分析結(jié)果驗證

為驗證復模態(tài)分析結(jié)果的適用性,以昂船洲大橋的某根斜拉索(參數(shù)見表1)為例開展了TID、VMD和VD對斜拉索減振控制的數(shù)值仿真分析。首先進行斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)目標模態(tài)的穩(wěn)態(tài)激勵,待斜拉索振動響應達到一定值后,去除外激勵,然后計算此時斜拉索的自由衰減振動響應。假定激勵荷載為:

(20)

式中:k為斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)的模態(tài)階次；ωk為斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)的第k階模態(tài)的振動圓頻率；ti為激勵持續(xù)時間；H(ti-t)為單位階躍函數(shù)，

(21)

表1 斜拉索主要參數(shù)值

基于MATLAB/Simulink工具箱,仿真時將斜拉索離散為200個均勻單元,且所有阻尼器安裝位置距離斜拉索錨固端2%的斜拉索長度。

圖4為TID慣容比μ等于0.5、阻尼比和頻率比取為最優(yōu)值時斜拉索第1階模態(tài)穩(wěn)態(tài)激振的跨中位移時程響應。采用指數(shù)函數(shù)擬合斜拉索自由衰減區(qū)段的位移峰值,識別得到的斜拉索附加模態(tài)阻尼比為2.67%,與復模態(tài)分析結(jié)果的2.678%吻合良好。

圖4 斜拉索第1階模態(tài)穩(wěn)態(tài)激振跨中時程曲線(μ=0.5)

在此基礎(chǔ)上,圖5對比了斜拉索前兩階最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比的仿真和復模態(tài)分析結(jié)果發(fā)現(xiàn),二者吻合良好。因此,可采用復模態(tài)分析進行TID對斜拉索附加模態(tài)阻尼比的計算。

圖5 斜拉索最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比的復模態(tài)分析與仿真分析結(jié)果對比(xd/l=0.02)

3.2 TID、VMD和VD減振效果對比分析

圖6對比了TID、VMD和VD控制時斜拉索第1階模態(tài)的最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比,其中VMD的慣容系數(shù)的取值與TID的相同。

圖6 TID、VMD和VD最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比對比

由圖6可知:TID為斜拉索提供的附加模態(tài)阻尼比遠大于相同慣容系數(shù)的VMD和最優(yōu)控制的VD所提供的。此外,隨著慣容比的增大,TID為斜拉索提供的附加模態(tài)阻尼比始終大于VD所提供的,而VMD慣容系數(shù)較大時可能會引起斜拉索減振效果的下降。綜上,TID可以為斜拉索提供更高的附加模態(tài)阻尼比,且較大的慣容系數(shù)也不會引起斜拉索減振效果的嚴重下降。

圖7為TID、VMD和VD為斜拉索第1階模態(tài)提供的附加模態(tài)阻尼比隨阻尼器阻尼系數(shù)變化的關(guān)系曲線,其中，TID的慣容比取為0.5,頻率比取其最優(yōu)值,VMD的慣容系數(shù)與TID的相同。

由圖7可知:TID的阻尼系數(shù)遠小于VMD和VD的,但其為斜拉索第1階模態(tài)提供的附加模態(tài)阻尼比遠大于VMD和VD的,表明在一定程度上采用TID減振是一種更加經(jīng)濟有效的斜拉索減振措施。

圖7 TID、VMD和VD提供的斜拉索第1階附加模態(tài)阻尼比隨阻尼系數(shù)的變化關(guān)系

圖8和圖9分別為TID、VMD和VD最優(yōu)控制對應的斜拉索第1階模態(tài)穩(wěn)態(tài)激振的跨中位移時程曲線和振動總能量。其中斜拉索的振動總能量由下式計算:

(22)

圖8 斜拉索第1階模態(tài)跨中時程對比

圖9 斜拉索第1階模態(tài)振動能量對比

結(jié)合圖8和圖9可知:在相同荷載激勵下,與VD和VMD相比,TID能進一步降低斜拉索的穩(wěn)態(tài)振動位移幅值和振動能量。

4 TID斜拉索減振控制增效機理

由于慣容單元和彈簧單元均不耗散能量,TID完全依賴于其阻尼元件耗能。TID阻尼單元在一個完整周期T內(nèi)的耗能為：

(23)

式(23)表明:TID耗散的振動能量與阻尼元件的阻尼系數(shù)和運動速度均相關(guān)。為了同時考慮阻尼系數(shù)和阻尼元件運動速度對阻尼器耗能效率的貢獻,引入?yún)?shù)φc表示阻尼器的耗能效率，

(24)

為探討TID調(diào)諧作用對其耗能效率的影響,圖10對比了TID阻尼系數(shù)相同時頻率調(diào)諧和非調(diào)諧2種狀態(tài)下TID的耗能效率時程曲線。由圖10可見，頻率調(diào)諧的TID的耗能效率幅值遠大于相應失諧狀態(tài)的。因此,TID卓越的減振性能主要在于內(nèi)部調(diào)諧作用放大了阻尼單元的位移,提升了TID的整體耗能能力。

圖10 TID頻率失諧和調(diào)諧狀態(tài)對應的耗能效率時程對比(μ=0.5)

5 結(jié)論

1)TID為斜拉索各階模態(tài)提供的最大附加模態(tài)阻尼比基本相同,TID最優(yōu)慣容比隨著模態(tài)階次的增大而減小,TID的最優(yōu)頻率比和阻尼比隨著模態(tài)階次的增大而增大。

2)與VMD和VD相比,TID可為斜拉索提供更高的附加模態(tài)阻尼比,并顯著降低了斜拉索在相同荷載激勵下的振動位移幅值和振動能量。

3)TID卓越的減振性能歸功于調(diào)諧作用對內(nèi)部阻尼元件位移的放大效應。