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        化歸思想方法在偏微分方程求解中的應(yīng)用

        2020-03-15 09:55:44
        高師理科學(xué)刊 2020年12期
        關(guān)鍵詞:波解行波定理

        (南昌大學(xué) 數(shù)學(xué)系,江西 南昌 330031)

        化歸思想方法是指將復(fù)雜難解或生疏未知的問題,通過某種轉(zhuǎn)化過程,歸結(jié)為簡(jiǎn)單容易或熟悉已知的問題,從而使得原問題得以解決的一種思想方法.偏微分方程理論是預(yù)測(cè)自然現(xiàn)象變化和解決復(fù)雜工程技術(shù)問題的有力工具,主要研究偏微分方程定解問題的適定性、解的性質(zhì)及求解方法等基本理論,成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一門重要分支.偏微分方程常見的求解方法包括特征線方法、行波變換方法、分離變量方法、球平均方法、降維方法、積分變換方法、變量變換方法、冪級(jí)數(shù)解方法、格林函數(shù)方法和數(shù)值解方法等[1-5].

        化歸思想是偏微分方程理論中的重要思想方法,特別是在求偏微分方程的孤立子中具有廣泛的應(yīng)用[6-10].本文以經(jīng)典的KdV 方程為例,利用化歸思想方法求解KdV 方程的孤立子.首先,通過行波變換,將KdV方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)可積的常微分方程,結(jié)合微分方程定性理論,直接求取KdV 方程的孤立波解;其次,通過極限轉(zhuǎn)化,將KdV 方程的周期波解轉(zhuǎn)化為孤立波解;最后,利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 模擬極限轉(zhuǎn)化過程.進(jìn)一步地,通過此方法可以獲得KdV 方程的周期爆破波解和無(wú)界波解.

        1 KdV 方程的孤立子

        利用化歸思想方法求取KdV 方程的孤立子,包括行波變換和極限轉(zhuǎn)化等方法,并且通過數(shù)值模擬驗(yàn)證極限轉(zhuǎn)化過程.

        1.1 行波變換

        考慮經(jīng)典KdV 方程

        通過行波變換

        其中:c為正常數(shù)波速,可將方程(1)轉(zhuǎn)化為常微分方程

        對(duì)式(3)兩邊同時(shí)關(guān)于變量ξ積分,可得

        其中:g為積分常數(shù).為了方便起見,不妨令g=0. 作變換φ′=y,則方程(4)可轉(zhuǎn)化為平面系統(tǒng)

        根據(jù)微分方程定性理論,平面系統(tǒng)(5)是一個(gè)具有哈密頓函數(shù)

        的哈密頓系統(tǒng).

        為得到系統(tǒng)(5)的平面相圖,令f(φ)=-3φ2+cφ,則函數(shù)f(φ)具有2個(gè)零點(diǎn),分別為φ0=0,.

        通過微分方程定性理論可知,(φ0,0),(φ1,0)分別為系統(tǒng)(5)的鞍點(diǎn)和中心.進(jìn)一步地,借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica 可得到系統(tǒng)(5)的平面相圖(見圖1).

        圖1 系統(tǒng)(5)的平面相圖

        利用系統(tǒng)(5)的平面相圖,結(jié)合動(dòng)力系統(tǒng)分支理論,可得方程(1)的孤立波解.

        定理1對(duì)于任意給定的正常數(shù)c,方程(1)具有孤立波解

        證明由圖1 可知,同宿軌Γ1過點(diǎn)(φ0,0)和(φ2,0),其表達(dá)式為

        這里φ0<φ<φ2.通過對(duì)式(9)積分運(yùn)算,結(jié)合行波變換式(2),可以得到方程(1)的孤立波解. 證畢.

        1.2 極限轉(zhuǎn)化

        由圖1 可以看出,當(dāng)φ5向右趨于φ2時(shí),軌道Γ2逼近軌道Γ1.因此可以通過極限轉(zhuǎn)化獲得方程(1)的孤立波解.

        求閉軌道Γ2對(duì)應(yīng)方程(1)的周期波解.注意到,過點(diǎn)(φ4,0),(φ5,0)的閉軌道Γ2與過點(diǎn)(φ3,0)的特殊軌道Γ3具有相同的表達(dá)式,即

        其中:φ1<φ5<φ2,且

        這里φ3<φ4≤φ<φ5,對(duì)式(12)進(jìn)行積分變換運(yùn)算,利用行波變換式(2),得到方程(1)的周期波解

        其中

        定理2當(dāng)φ5→0.5c時(shí),方程(1)的周期波解u2(x,t)趨于孤立波解u1(x,t),即

        證明由式(11)(13)(14)式可知,當(dāng)φ5→0.5c時(shí),有φ3→ 0,φ4→ 0,進(jìn)而

        1.3 數(shù)值模擬

        通過數(shù)學(xué)軟件Mathematica 模擬定理2 中的極限轉(zhuǎn)化過程(見圖2),從而驗(yàn)證了定理2 中的理論結(jié)果的正確性.

        圖2 當(dāng)c=2時(shí),周期波解 u 2(x ,t)趨于孤立波解 u1 (x, t)的極限轉(zhuǎn)化過程

        2 方法應(yīng)用

        利用化歸思想方法,同理可以解得特殊軌道Γ3,Γ4,Γ5分別對(duì)應(yīng)KdV 方程的周期爆破波解u3(x,t)、無(wú)界波解u4(x,t)和周期爆破波解u5(x,t),其表達(dá)式分別為

        進(jìn)一步地,通過極限轉(zhuǎn)化方法,可以得到周期爆破波解u3(x,t)趨于無(wú)界波解u4(x,t).證明過程類似于定理2,在此不再贅述.

        3 結(jié)語(yǔ)

        本文通過行波變換方法和極限轉(zhuǎn)化方法等化歸思想方法求解了經(jīng)典KdV 方程的孤立子,并且通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了極限轉(zhuǎn)化方法的可行性.進(jìn)一步地,應(yīng)用此方法獲得了經(jīng)典KdV 方程的其它精確行波解.化歸思想方法不僅可以求解經(jīng)典KdV 方程的孤立子,而且適用于其它波動(dòng)方程的求解問題,如mKdV 方程的孤立子和Camassa-Holm 方程的尖孤子,以及導(dǎo)出波動(dòng)方程初值問題的達(dá)朗貝爾公式等求解問題,這為偏微分方程課程的教學(xué)提供了一些參考.

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