陳東乾 張長(zhǎng)飛 林端琳

(中國(guó)電建集團(tuán)福建省電力勘測(cè)設(shè)計(jì)院有限公司 福建福州 350003)

0 引言

自從Mandelbrot引進(jìn)分形幾何理論后，分形幾何被認(rèn)為在各個(gè)學(xué)科研究領(lǐng)域(如化學(xué)、物理、材料科學(xué)、地球科學(xué)、土壤科學(xué)、地下水研究等)是一個(gè)十分強(qiáng)大的方法。當(dāng)前，分形理論已被廣泛用來(lái)研究巖土微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)與巖土物理力學(xué)參數(shù)之間的關(guān)系，該方向?yàn)榉中卫碚摰囊淮笱芯繜狳c(diǎn)[1-2]。

趙安平等[3]研究了季節(jié)性凍土區(qū)路基土粒分形參數(shù)與液限含水率、塑限含水率、塑性指數(shù)、粘聚力和摩擦角之間的關(guān)系，并得出分形參數(shù)與液限含水率、塑限含水率、塑性指數(shù)的回歸方程。

梁維等[4]研究了散體云母片巖粒度分形特征與抗剪強(qiáng)度參數(shù)(粘聚力和內(nèi)摩擦角)的關(guān)系，分析了分形參數(shù)與不均勻系數(shù)和曲率系數(shù)之間的定量關(guān)系，并建立了內(nèi)摩擦角和分形參數(shù)的回歸方程。

張靜等[5]研究了吉林省西部分散性土的分形特征與土的分散性，發(fā)現(xiàn)土的顆粒越粗分形維數(shù)越小，土的分散性越大，當(dāng)土的顆粒越細(xì)分形維數(shù)越大，分散性越小。

向貴府等[6]分析了昔格達(dá)地層巖土顆粒組成分形參數(shù)與不均勻系數(shù)、曲率系數(shù)、含水量、干密度之間的關(guān)系，并得到了分形參數(shù)與不均勻系數(shù)、曲率系數(shù)、含水量之間的函數(shù)關(guān)系。

韓琳[7]分析了細(xì)粒土分形參數(shù)與不均勻系數(shù)、滲透率、液限含水率、塑限含水率、塑性指數(shù)的相關(guān)曲線，并進(jìn)行曲線關(guān)系分析。

以上研究成果開展了部分土的物理力學(xué)參數(shù)與粒度分形維數(shù)之間的關(guān)系研究，存在一定局限性。從以上研究可發(fā)現(xiàn)，土粒度分形維數(shù)與土的物理力學(xué)參數(shù)存在一定的回歸關(guān)系,粒度分形維數(shù)在一定程度上表征土的工程地質(zhì)特征，其分形維數(shù)的物理意義顯示了土粒度成分的復(fù)雜性特點(diǎn)及非線性作用的特征,對(duì)認(rèn)識(shí)不同區(qū)域的工程地質(zhì)特征有重要作用。

基于此，本文較為系統(tǒng)地研究了土粒度分形維數(shù)與多物理力學(xué)參數(shù)(含水率、土粒比重、濕密度、干密度、飽和度、孔隙比、孔隙率、液限含水率、塑限含水率、塑性指數(shù)、液性指數(shù)、壓縮系數(shù)、壓縮模量、粘聚力和內(nèi)摩擦角)之間的關(guān)系，得到了土顆粒粒度分形參數(shù)與各物理力學(xué)參數(shù)之間的回歸方程，并分析了它們之間的關(guān)系，期為該地區(qū)的巖土工程實(shí)踐能提供一定的幫助。

1 分形理論

大量研究表明，土壤中不僅存在孔隙大小分形特征，而且存在土壤粒度自相似分形特征，即土顆粒粒徑大于或等于R的累積土顆?？傎|(zhì)量和土顆粒粒徑大小滿足分形標(biāo)度關(guān)系式(1)[8]。粒度分形維數(shù)可以用來(lái)描述土顆粒分布情況，可用來(lái)定性或定量研究土的巖土工程性質(zhì)，為工程實(shí)踐提供一定的理論依據(jù)。

根據(jù)分形理論[9]可知：

(1)

其中，M(r≥R)為顆粒直徑大某粒徑R的固體顆粒質(zhì)量(量綱：g)；

GS為土顆粒比重(無(wú)量綱)；

Cn，λi為顆粒形狀和計(jì)算標(biāo)度有關(guān)的常量；

D為粒度分形維數(shù)(無(wú)量綱，0

當(dāng)R=0時(shí)，可得：

(2)

其中,M為開展粒度分析的土顆?？傎|(zhì)量(量綱：g)。將式(1)除以式(2)可得：

(3)

當(dāng)土顆粒粒徑達(dá)到最大的顆粒粒徑(RM)時(shí)，即R=RM，可得：

M(r≥R)=0

(4)

將式(4)代入式(1)可得：

λi=RM

(5)

式(5)代入式(3)可得：

(6)

當(dāng)顆粒粒徑小于R時(shí)，即r≤R，可得:

(7)

將式(7)兩邊取對(duì)數(shù)，可得：

(8)

在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上，以粒徑為橫坐標(biāo)，以小于某一粒徑的累計(jì)質(zhì)量含量為縱坐標(biāo)，通過(guò)擬合曲線，獲得斜率B，通過(guò)式(8)進(jìn)行對(duì)比3-D=B，可求的顆粒大小分形維數(shù)：

D=3-B

(9)

2 海滄某區(qū)域變電站花崗巖殘積土粒度分形特征

試樣為2019年1月在廈門市海滄區(qū)海滄街道古樓村附近取樣，取樣地點(diǎn)為兩個(gè)110kV變電站(A，B)，距離較近(直線距離約1650 m)。該區(qū)域基巖都為花崗巖，地層類似，殘積土都為花崗巖殘積土；該土層為主要地基持力層，總共取樣12件進(jìn)行室內(nèi)土工試驗(yàn)[10-11]。按照《土工試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T 50123-2019)進(jìn)行顆分實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中添加分散劑六偏磷酸鈉，土樣顆分曲線如圖1所示。

圖1 土樣顆粒分析曲線

從顆粒分析曲線可以看出，B變電站不同花崗巖殘積土土樣顆分曲線大部分比較集中，粗顆粒含量較多，細(xì)顆粒含量較少，只有土樣B-5，主要以細(xì)顆粒為主，含少量粗顆粒。A變電站不同花崗巖殘積土土樣顆分曲線較為集中，相比較于B變電站，粗顆粒含量略少，細(xì)顆粒含量略多。

通過(guò)擬合不同土樣顆分?jǐn)?shù)據(jù)曲線，獲得每個(gè)土樣的粒度分形維數(shù)(見(jiàn)圖2～圖3，詳細(xì)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1)，計(jì)算出來(lái)的花崗巖殘積土粒度分形維數(shù)范圍在2.616-2.900，相關(guān)系數(shù)范圍在0.851-0.996，擬合效果較好，線性相關(guān)較好。

表1 土樣粒度成分[10-11]和粒度分形維數(shù)計(jì)算結(jié)果

從圖2～圖3可以看出，不同土樣擬合直線的相關(guān)系數(shù)較好，A變電站的粒度分形維數(shù)略大于B變電站的分形維數(shù)，可見(jiàn)粒度分形維數(shù)越小顆粒粒徑越大，粒度分形維數(shù)越大顆粒粒徑越小，與相關(guān)研究結(jié)論一致。

因此，可以通過(guò)粒度分形維數(shù)的大小來(lái)評(píng)價(jià)顆粒大小的分布情況。當(dāng)粒度分形維數(shù)越小，粗顆粒含量越多；當(dāng)粒度分形較大，細(xì)顆粒含量越多，該粒度分形維數(shù)也和土的物理參數(shù)有一定關(guān)系(具體分析見(jiàn)第4部分)。

(a)土樣A-2

(b)土樣A-6

圖2 海滄區(qū)A變電站不同土樣粒度分形特征

(a)土樣B-1

(b)土樣B-4

3 粒度分形特征與物理力學(xué)參數(shù)關(guān)系分析

將12個(gè)土樣開展相關(guān)土工試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)過(guò)程嚴(yán)格按照規(guī)范要求進(jìn)行，以獲得較為可靠的物理力學(xué)參數(shù)(表2)。

通過(guò)將粒度分形維數(shù)設(shè)置為橫坐標(biāo)，相關(guān)物理力學(xué)參數(shù)為縱坐標(biāo)進(jìn)行數(shù)據(jù)點(diǎn)直線擬合，并分析粒度分形特征與土的物理力學(xué)參數(shù)之間的關(guān)系。

表2 土樣粒度分形維數(shù)與物理力學(xué)參數(shù)[10-11]

土的含水率為土中水的質(zhì)量與土粒質(zhì)量之比。從圖 4可以看出，花崗巖殘積土的含水率與分形維數(shù)成正相關(guān)。當(dāng)粒度分形維數(shù)越大，含水量越高，此時(shí)細(xì)粒土越多，整體土樣的含水率就越大，其回歸方程為：W=97.425D-237.673；相關(guān)系數(shù)為r=0.859，兩者有強(qiáng)的相關(guān)性。

圖4 含水率與分形維數(shù)的關(guān)系曲線圖

土粒比重為土粒質(zhì)量與同體積的4℃時(shí)純水的質(zhì)量之比。從圖5可以看出土粒比重與分形維數(shù)相關(guān)系數(shù)為r=0.135，相關(guān)系數(shù)小于0.3，可認(rèn)為無(wú)相關(guān)性。

圖5 土粒比重與分形維數(shù)的關(guān)系曲線

濕密度為單位體積濕土(取樣土)的質(zhì)量。從圖6可以看出，濕密度與分形維數(shù)成負(fù)相關(guān)。當(dāng)粒度分形維數(shù)越大時(shí)，土的濕密度越小，其回歸方程為：ρ0=-0.445D+3.124；相關(guān)系數(shù)為r=-0.612，相關(guān)性弱。

圖6 濕密度與分形維數(shù)的關(guān)系曲線

干密度為單位體積中固體顆粒部分的質(zhì)量。從圖7可以看出，干密度與分形維數(shù)成負(fù)相關(guān)。當(dāng)粒度分形維數(shù)越大時(shí)，土的干密度越小，其回歸方程為：ρd=-1.347D+5.169；相關(guān)系數(shù)為r=-0.811，相關(guān)性強(qiáng)。

圖7 干密度與分形維數(shù)的關(guān)系曲線

圖8 飽和度與分形維數(shù)的關(guān)系曲線

飽和度為土中孔隙水的體積與孔隙總體積之比。從圖8可以看出，飽和度與分形維數(shù)成正相關(guān)。當(dāng)粒度分形維數(shù)越大時(shí)，土的飽和度越大，其回歸方程為：Sr=67.703D-91.678；相關(guān)系數(shù)為r=0.833，相關(guān)性強(qiáng)。

孔隙比為土中孔隙體積與土粒體積之比。從圖9可以看出，孔隙比與分形維數(shù)成正相關(guān)。當(dāng)粒度分形維數(shù)越大時(shí)，土的孔隙比越大，其回歸方程為：e=1.964D-4.550，相關(guān)系數(shù)為r=0.760，相關(guān)性弱。

圖9 孔隙比與分形維數(shù)的關(guān)系曲線圖

孔隙率為土中孔隙體積與總體積之比。從圖10可以看出，孔隙率與分形維數(shù)成正相關(guān)。當(dāng)粒度分形維數(shù)越大時(shí)，土的孔隙率越大，其回歸方程為：n=52.843D-99.734；相關(guān)系數(shù)為r=0.754，相關(guān)性弱。

圖10 孔隙率與分形維數(shù)的關(guān)系曲線

液限和塑限可以通過(guò)液塑限聯(lián)合測(cè)定儀來(lái)測(cè)定。液限為儀器錐尖下沉深度為17mm所對(duì)應(yīng)的含水量。從圖11可以看出，液限與分形維數(shù)成正相關(guān)。當(dāng)粒度分形維數(shù)越大時(shí)，土的液限越大，其回歸方程為：Wl=106.494D-256.275；相關(guān)系數(shù)為r=0.802，相關(guān)性強(qiáng)。

圖11 液限與分形維數(shù)的關(guān)系曲線

塑限為儀器錐尖下沉深度為2mm處所對(duì)應(yīng)的含水量。從圖12可以看出，塑限與分形維數(shù)成正相關(guān)。當(dāng)粒度分形維數(shù)越大時(shí)，土的塑限越大，其回歸方程為：Wp=66.775D-157.997；相關(guān)系數(shù)為r=0.741，相關(guān)性弱。

圖12 塑限與分形維數(shù)的關(guān)系曲線

塑性指數(shù)為液限和塑限的差值(省去%)，即土處在可塑狀態(tài)的含水量變化范圍。從圖13可以看出，塑性指數(shù)與分形維數(shù)成正相關(guān)。當(dāng)粒度分形維數(shù)越大時(shí)，土的塑性指數(shù)越大，其回歸方程為：IP=39.719D-98.279；相關(guān)系數(shù)為r=0.813，相關(guān)性強(qiáng)。

圖13 塑性指數(shù)與分形維數(shù)的關(guān)系曲線

液性指數(shù)為土的天然含水量和塑限的差值與塑性指數(shù)之比。從圖14可以看出，液性指數(shù)與分形維數(shù)成正相關(guān)。當(dāng)粒度分形維數(shù)越大時(shí)，土的液性指數(shù)越大，其回歸方程為：IL=2.032D-5.193；相關(guān)系數(shù)為r=0.416，相關(guān)性弱。

圖14 液性指數(shù)與分形維數(shù)的關(guān)系曲線

壓縮系數(shù)為土體在無(wú)側(cè)向膨脹條件下，孔隙比減少量與垂直壓應(yīng)力增量的比值。從圖15可以看出，壓縮系數(shù)與分形維數(shù)成正相關(guān)。當(dāng)粒度分形維數(shù)越大時(shí)，土的壓縮系數(shù)越大，壓縮性越高，其回歸方程為：av=1.121D-2.594；相關(guān)系數(shù)為r=0.504，相關(guān)性弱。

圖15 壓縮系數(shù)與分形維數(shù)的關(guān)系曲線

壓縮模量為土在無(wú)側(cè)向膨脹條件下，壓縮時(shí)垂直壓應(yīng)力與垂直總應(yīng)變的比值。從圖16可以看出，壓縮模量與分形維數(shù)成負(fù)相關(guān)。當(dāng)粒度分形維數(shù)越大時(shí)，土的壓縮模量越小，壓縮性越高，其回歸方程為：Es=-7.507D+24.784；相關(guān)系數(shù)為r=-0.552，相關(guān)性弱。

圖16 壓縮模量與分形維數(shù)的關(guān)系曲線

以上情況也和一般研究成果相同，土的壓縮系數(shù)越大，壓縮模量越小，土的壓縮性越高[12-13]。

土的粘聚力和內(nèi)摩擦角為土的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)，表示土體的抗剪強(qiáng)度，一般情況下，粘聚力、內(nèi)摩擦角越大，土的抗剪強(qiáng)度越大[12-13]。通過(guò)直接快剪試驗(yàn)獲得內(nèi)摩擦角和粘聚力，通過(guò)數(shù)據(jù)擬合。從圖17可以發(fā)現(xiàn)，內(nèi)摩擦角與分形維數(shù)成負(fù)相關(guān)，其回歸方程為：φ=-16.831D+71.182；相關(guān)系數(shù)為r=-0.261。從曲線和數(shù)據(jù)分布點(diǎn)可以看出，內(nèi)摩擦角隨著粒度分形維數(shù)的增大而減少，表明土顆粒越細(xì)，內(nèi)摩擦角越小，這與已有研究成果相同。

圖17 內(nèi)摩擦角與分形維數(shù)的關(guān)系曲線

通過(guò)數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合，發(fā)現(xiàn)內(nèi)粘聚力與分形維數(shù)擬合的相關(guān)系數(shù)為r=-0.152，無(wú)相關(guān)性。從圖18可以看出，數(shù)據(jù)點(diǎn)關(guān)系較為分散，擬合出的關(guān)系曲線存在一定誤差，主要是因?yàn)樵诩羟性囼?yàn)中，局部需要克服顆粒間的咬合，造成粘聚力不同大小程度的分布；另外，由于試驗(yàn)過(guò)程不同剪切面和花崗巖殘積土中的原巖結(jié)構(gòu)面的夾角不同，造成得出的粘聚力數(shù)據(jù)較為分散。后期可以進(jìn)一步開展相關(guān)區(qū)域土樣數(shù)據(jù)采集，進(jìn)行更為詳細(xì)的研究。

圖18 粘聚力與分形維數(shù)的關(guān)系曲線

4 結(jié)論

(1)花崗巖殘積土粒度分形維數(shù)的大小可以定性評(píng)價(jià)土顆粒大小的分布情況，粒度分形維數(shù)與所含粗顆粒的含量負(fù)相關(guān)，即粒度分形維數(shù)越小，粗顆粒含量越多，粒度分形越大，細(xì)顆粒含量越多。

(2)該區(qū)域花崗巖殘積土粒度分形維數(shù)與該土層多物理力學(xué)參數(shù)存在較為明顯的線性相關(guān)性。本次分析可以發(fā)現(xiàn)，花崗巖殘積土粒度分形維數(shù)與含水率、飽和度、孔隙比、孔隙率、液限含水率、塑限含水率、塑性指數(shù)、液性指數(shù)、壓縮系數(shù)正相關(guān)；與濕密度、干密度、壓縮模量、內(nèi)摩擦角負(fù)相關(guān)，其中粒度分形維數(shù)與含水率、干密度、飽和度、液限、塑性指數(shù)相關(guān)性強(qiáng)。

在實(shí)際應(yīng)用中，巖土工程師可根據(jù)粒度分形維數(shù)預(yù)估巖土體的狀態(tài)及力學(xué)指標(biāo)等，快速掌握?qǐng)龅貛r土條件，對(duì)實(shí)際生產(chǎn)具有一定的參考意義。