楊 陽 沈艷冰 李 竹

(山西師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院 山西 臨汾 041004)

0 引 言

腦部圖像分割是基于MRI和一定標(biāo)準(zhǔn)下的相似性，將腦部MRI中相似度大的像素劃分為相同的組織類，反之劃分成不同的組織類。由于MRI成像過程的特殊性，MRI常存在不同程度的噪聲、灰度不均勻和邊緣模糊的現(xiàn)象[1]。因此，基于模糊理論的FCM算法在MRI分割上得到了廣泛應(yīng)用，已獲得眾多研究人員對FCM算法進(jìn)行研究與改進(jìn)[2,15]。然而，傳統(tǒng)模糊聚類的圖像分割算法因未考慮空間特性從而導(dǎo)致分割效果受噪聲、異常值、成像偽影等影響較大，魯棒性差。

為解決上述缺陷，部分學(xué)者引入空間特性到模糊聚類分割算法的目標(biāo)函數(shù)中并應(yīng)用于腦部MRI分割，取得了較好的分割效果。其中，Ahmed等[8]將局部空間限制項(xiàng)引入到FCM的目標(biāo)函數(shù)中，提出FCM-S算法。該算法利用像素與其鄰域像素在特征值上的連續(xù)性，克服噪聲對圖像分割的影響，但每次迭代都要計算一次鄰域?qū)е掠嬎懔看?。此后?Chen等[9]利用鄰域內(nèi)的像素均值或中值取代FCM-S算法中的鄰域信息，提出快速FCM-S(FCM-S1，F(xiàn)CM-S2)算法。該算法應(yīng)用于噪聲輕度污染的腦部MRI時效果較好，當(dāng)噪聲過度時，此算法效果不佳。為了克服這個缺陷，Zhao等[10]基于非局部空間信息提出了一種FCM-NLS算法。該算法使腦部MRI無論處于何種程度噪聲污染下都能獲得較優(yōu)的結(jié)果。但該算法仍有三個缺陷：一是采用隨機(jī)處理方式初始化分割類中心、分割類別數(shù)，導(dǎo)致可能收斂到局部極值，尤其對于分割相似度較小的類別時，同一幅腦部MRI的數(shù)次運(yùn)行結(jié)果可能差異較大，穩(wěn)定性差；二是引入空間信息在一定程度上令算法復(fù)雜性提高，運(yùn)算效率下降；三是算法適用于凸數(shù)據(jù)集圖像的聚類分割，而MRI中部分細(xì)節(jié)不屬于凸數(shù)據(jù)集，使得算法不能較好地處理MRI部分細(xì)節(jié)。對于非凸數(shù)據(jù)集圖像的聚類分割，一些學(xué)者引入核函數(shù)來進(jìn)一步計算像素間相似度及空間信息相似性[11,13]，改進(jìn)的算法適用于不同數(shù)據(jù)類型的聚類分割，提高了算法性能。

針對應(yīng)用于MRI分割的FCM改進(jìn)算法出現(xiàn)的缺陷，本文提出一種FKFCM-NLS分割算法。算法引入直方圖、K-means法，對分割類別數(shù)、初始分割類中心進(jìn)行最優(yōu)選取，避免收斂不到全局最優(yōu)值；在目標(biāo)函數(shù)中引入核函數(shù)和基于積分圖的非局部空間信息以降低計算的復(fù)雜性，提高算法抗噪性，算法性能更優(yōu)。

1 基本原理

1.1 Mercer核

假設(shè)輸入空間的樣本xk∈Rl，k=1，2，…，N，Rl表示低維空間的樣本實(shí)數(shù)集。當(dāng)樣本X經(jīng)過某一非線性變換映射到某一特征空間H時獲得Φ(x1),Φ(x2),…,Φ(xN)，映射前后的樣本數(shù)據(jù)分布圖如圖1所示。

圖1 輸入空間到特征空間的映射

輸入樣本在H空間就可以用Mercer核[11,13]來表示：

K(xi,xj)=Φ(xi)·Φ(xj)

(1)

目前，常用的核函數(shù)有：

(1) 多項(xiàng)式核函數(shù)K(x,y)=(x·y+1)d，其中，d是自定義的整數(shù)。樣本的邊緣點(diǎn)對d的取值影響較大。在實(shí)際的使用中，階數(shù)d?？刂圃谝粋€較小的范圍內(nèi)，且不易確定。

(3) 兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)sigmoidal核函數(shù)K(x,y)=tanh(-b(x·y)-c)，其中,b、c是自定義參數(shù)。該函數(shù)的參數(shù)值選擇比較復(fù)雜和困難，只有b和c取特定值可用，且當(dāng)b取值較小時性能與高斯核函數(shù)σ取較小值時相同，使用起來沒有優(yōu)勢。

綜合以上分析，本文采用高斯核函數(shù)作為映射函數(shù)。

1.2 非局部空間信息

在待測試的圖像中X={x1，x2，…，xp，…，xn}，對應(yīng)像素j的非局部空間信息ηj[11-12]為：

(2)

(3)

(4)

2 算法設(shè)計

針對腦部MRI分割結(jié)果受分割類別數(shù)、分割類中心初始值、噪聲影響和運(yùn)算量大的問題，本文提出一種基于積分圖的非局部空間信息的快速模糊C-均值核聚類圖像分割算法。

2.1 分割類別數(shù)選取

基于直方圖可以直觀地觀察同一類型數(shù)據(jù)的遍布情況，本文采用直方圖來確定分割類別數(shù)。

圖2為無噪聲的腦部MRI及其直方圖。圖中出現(xiàn)峰值表明該峰值相對應(yīng)的灰度值出現(xiàn)的概率較大，相似度較高，分割時可劃分為一類，該直方圖約有4個峰值，故腦部MRI可粗略地劃分為4類。結(jié)合生物學(xué)特性來看腦部MRI本身，其主要包含腦白質(zhì)、腦灰質(zhì)、腦脊液和背景區(qū)域4部分。因此，分割類別數(shù)選4比較合適。

圖2 腦部MRI及其直方圖

2.2 初始分割中心選取

文獻(xiàn)[14]對比了幾種優(yōu)化FCM聚類中心的方法，其中K-means法運(yùn)行速度最快。本文選擇基于K-means法來優(yōu)化FKFCM-NLS的聚類中心，避免分割結(jié)果收斂到局部極值。

K-means法目標(biāo)函數(shù)迭代式為:

(5)

式中：K是聚類個數(shù)；xj是聚類樣本第j個像素灰度值；ci是第i類的聚類中心。

根據(jù)lagrange multiplier法，聚類中心分別為對應(yīng)類中各數(shù)據(jù)點(diǎn)的均值。其迭代式為：

(6)

2.3 基于積分圖的非局部空間信息

針對Zhao等提出的FCM-NLS算法復(fù)雜性高，運(yùn)行速度慢的問題，本文在目標(biāo)函數(shù)中引入基于積分圖的非局部空間信息，利用積分圖對其中兩兩矩形鄰域間相似度運(yùn)算進(jìn)行加速，以提高算法的運(yùn)行速度。

基于積分圖的非局部空間信息函數(shù)式與式(2)一致，其中兩兩矩形鄰域間相似度運(yùn)算采用積分圖進(jìn)行加速。

矩形搜索塊大小設(shè)為D×D(D=2Ds+1)，鄰域塊大小設(shè)為d×d(2ds+1)。矩形鄰域塊與當(dāng)前塊距離如下所示：

St(z)=‖x(Nj)-x(Nz+t)‖2

(7)

式中：t=p-z∈[|-Ds+Ds|]2是一個平移矢量。

構(gòu)造一個關(guān)于像素差值的積分圖像：

(8)

式中:j=(j1,j2)。

積分圖遞歸計算式如下：

?j=(j1,j2)j1≥1，j2≥1St(j)=St(j)+St(j1-1,j2)+St(j1,j2-1)-St(j1-1,j2-1)

(9)

歐式距離計算公式如下：

(10)

2.4 目標(biāo)函數(shù)、隸屬度及分割類中心

基于以上理論知識，通過引入核函數(shù)和基于積分圖的非局部信息將本文目標(biāo)函數(shù)修改為：

(11)

式中:uij為樣本像素灰度值xj對第i個分割類中心的隸屬度；m為模糊因子，其值大于1，通常在1．5～2．5之間取值；1-K(xj,vi)為樣本像素灰度值xj到第i個聚類中心的距離；參數(shù)β控制了非局部空間限制項(xiàng)的懲罰作用；像素j的空間非局部信息由式(2)計算。

(12)

依據(jù)式(12)，分別求uij、νi和λj的偏導(dǎo)數(shù)，令其偏導(dǎo)均為0，求得隸屬度及聚類中心函數(shù)：

(13)

(14)

2.5 算法步驟

FKFCM-NLS算法步驟如下：

1) 依據(jù)直方圖設(shè)置聚類類別數(shù)C。

2) 設(shè)置最大迭代次數(shù)lmax、迭代前提條件ε>0、加權(quán)指數(shù)m，基于積分圖的非局部空間信息限制項(xiàng)的懲罰因子β，非局部濾波參數(shù)h，搜索塊大小D×D，相似塊大小d×d。

3) 依據(jù)K-means法確定分割類中心ν，隨機(jī)初始化隸屬度矩陣U=[ui j]n×c。

4) 利用式(2)計算圖像像素的非局部空間信息ηj。

5) 選擇高斯核函數(shù)并計算出核矩陣K。

6) 依據(jù)式(13)對U進(jìn)行迭帶更新，依據(jù)式(14)對ν進(jìn)行迭帶更新。

7) 每次迭代更新后，都計算此次更新后的迭代值J，并與迭帶前的迭代值J′相比較。若|J′-J|≤ε，則退出循環(huán)，否則執(zhí)行步驟6。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)通過對含噪不同的腦部MRI進(jìn)行分割測試驗(yàn)證本算法的性能，利用FCM-S1、FCM-NLS以及本文所提KFCM-NLS算法分別對腦部MRI進(jìn)行測試與比較[19-20]。所有實(shí)驗(yàn)均使用MATLAB 8.3，在聯(lián)想 Intel(R) Core(TM) i3-2120 CPU，內(nèi)存4.00 GB的PC機(jī)上運(yùn)行。參數(shù)設(shè)置：m=2，lmax=300，ε=10-3，β=6，d=7，D=21，h=10。

實(shí)驗(yàn)所采用的腦部MRI測試圖均為Simulated Brain Database數(shù)據(jù)庫中T1模態(tài)、icmb協(xié)議下，切片厚度為1 mm，灰度不均勻水平為0的正常腦部MRI。圖3為噪聲水平為0的腦部MRI。

圖3 MRI無噪聲圖

實(shí)驗(yàn)采用不同分割算法對噪聲水平為3%與9%的腦部MRI進(jìn)行測試。腦部MRI含噪圖及測試結(jié)果圖如圖4所示。

(a) 含3%噪聲 (b) 含9%噪聲圖4 腦部MRI含噪圖及三種算法結(jié)果圖

對于噪聲水平為3%的正常腦部MRI，三種算法的去噪性能相似，測試結(jié)果圖分割較完整，能將腦白質(zhì)、腦灰質(zhì)、腦脊液從背景中抽離出來。結(jié)合表1的客觀評價數(shù)據(jù)對比得出，三種算法均能夠獲得良好的分割結(jié)果，其中，F(xiàn)CM-S1算法運(yùn)行速度最快，其次是KFCM-NLS算法，最后是FCM-NLS算法。對于噪聲水平為9%的正常腦部MRI，F(xiàn)CM-S1算法的測試結(jié)果圖顯示出明顯的分割不足的現(xiàn)象，局部分割結(jié)果受噪聲影響大，不能較好地區(qū)分含噪9%圖中的部分區(qū)域，分割性能變差。但本文所提FKFCM-NLS算法和FCM-NLS1算法對含噪9%腦部MRI的分割結(jié)果均同3%含噪測試結(jié)果圖差距微小，即對于不同水平的噪聲，F(xiàn)CM-NLS算法和本文FKFCM-NLS算法都能將目標(biāo)準(zhǔn)確分割出來。結(jié)合表1的客觀數(shù)據(jù)可以看出，F(xiàn)CM-NLS算法耗時最長，而在保證分割質(zhì)量良好的情況下，F(xiàn)KFCM-NLS算法耗時較短，性能更優(yōu)。綜合以上分析，對于含噪不同的腦部MRI，F(xiàn)KFCM-NLS算法均具有良好抗噪性和較高的運(yùn)算效率。

表1 算法運(yùn)行時間 s

為了評價以上三種算法的優(yōu)點(diǎn)及不足，本文引入錯分率(MCR)來進(jìn)行判斷，MCR∈[0，1]，其定義為：

MCR越小表示分割效果越好。表2給出了測試中三種算法在腦部MRI含噪3%以及9%的情況下的錯分率。從表2客觀數(shù)據(jù)可以得出，對于含噪3%腦部MRI，三種算法的錯分率差別微小，性能良好。對于含噪9%腦部MRI，由于含噪水平較大，像素的鄰域像素也可能含有噪聲。而FCM-S1算法在分割時只考慮了鄰域間相似性，致使算法錯分率較大，性能差。FCM-LNS算法引入像素的非局部信息進(jìn)行分割運(yùn)算，令算法錯分率減小，性能良好，但算法復(fù)雜度高。FKFCM-NLS算法引入核函數(shù)和基于積分圖的非局部空間信息，進(jìn)一步減小了算法錯分率，提高了算法運(yùn)算效率。因此，在同等含噪情況下，本文算法性能最優(yōu)。

表2 算法錯分率 %

4 結(jié) 語

針對FCM-NLS算法分割腦部MRI時，可能收斂到局部極值及魯棒性差的問題，本文提出一種FKFCM-NLS 算法。采用K-means算法確定分割類中心初始值，利用直方圖獲得分割類別數(shù)，解決了分割結(jié)果不穩(wěn)定的問題；運(yùn)用核函數(shù)計算樣本間相似性，引入一個基于積分圖的非局部空間信息限制項(xiàng)，降低運(yùn)算復(fù)雜度，提高算法抗噪性能。客觀評價數(shù)據(jù)及分割結(jié)果圖表明，對于噪聲污染過度的腦部MRI，本文所提FKFCM-NLS算法有較好的分割結(jié)果及較高的運(yùn)算效率。