劉培德，滕 飛

（1.中國民航大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，天津 300300；2.山東財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，山東 濟南 250014）

1 引言

隨著大數(shù)據(jù)、云計算等科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，越來越多的決策者參與到現(xiàn)實重大決策問題中。以北京市公共交通價格調(diào)整事件為例，北京市發(fā)展改革委和交通委就價格改革向社會公眾征求意見，全市市民通過多種方式積極參與此次決策問題，此類包含眾多決策者參與的決策問題被稱為大群體決策問題?，F(xiàn)實生活中還存在著大量的大群體決策問題，例如突發(fā)事件應(yīng)急決策管理、城市地鐵選址和路線規(guī)劃、政府政策調(diào)整等。這促使大群體決策問題成為當(dāng)今的研究熱點。

由于決策對象的復(fù)雜性以及決策者思維的模糊性，決策者的真實體會難以用實數(shù)進(jìn)行刻畫。其尤是針對決策者的定性偏好信息，語言變量作為一種定性信息描述工具能夠恰當(dāng)?shù)孛枋鰶Q策者的偏好信息。大群體決策中，決策者依據(jù)各自的利益可以被分為多個子群體，子群體中決策者給出的信息量巨大，如何將各個子群體中決策者給出的信息進(jìn)行完整的呈現(xiàn)是一個值得探討的問題。基于此，Wang Hai將多個決策者給出的語言變量信息進(jìn)行匯總?cè)诤希?］，提出了擴展猶豫模糊語言集的概念。Zhang Guiqing等考慮了每個語言變量在所有給出的語言變量中的支持度，從而定義了包含語言變量和相關(guān)支持度的分布語言評價集［2］。Chen Zhensong等提出了比例猶豫模糊語言詞集的概念，它對每個語言變量提供了比例分量信息，其數(shù)學(xué)表達(dá)形式和分布語言評估信息相同，但潛在含義不同，可以看作是執(zhí)行分布語言評估信息的特殊方法［3］。在收集決策者給出評價信息的過程中存在部分決策者未給出評價信息的情況，基于此，Pang Qi等提出了概率語言詞集的概念用于描述評價信息過程中存在部分信息缺失的情況，其要求收集到的語言變量的概率和小于等于1［4］。然而，現(xiàn)實情況還存在一個決策者給出多個語言變量的情況，這會導(dǎo)致所有語言變量的概率和大于1。然而，上述語言信息表示模型都不能描述此類情況，因此本文探尋了一種新的信息表示模型，對語言變量的概率放寬限制，提出了擴展概率語言詞集，其能夠表示概率和大于1、小于1和等于1的情況?；诖耍鄬傩源笕后w決策問題轉(zhuǎn)化為擴展概率語言環(huán)境下的多屬性群決策問題。

擴展概率語言詞集通過概率的調(diào)整，能夠退化為上述語言信息表示模型，因此可以被視為一種更廣義的語言信息表示模型。如何對擴展概率語言詞集進(jìn)行有效處理是一個值得研究的問題。證據(jù)理論作為一種處理不確定性的理論，被廣泛應(yīng)用于決策領(lǐng)域，其主要思路是將大問題分解成小問題，大證據(jù)分解成小證據(jù)，然后利用證據(jù)理論組合規(guī)則對相關(guān)證據(jù)的信度進(jìn)行融合，從而獲得決策問題的最佳方案［5-7］。證據(jù)推理是由多屬性決策和證據(jù)理論發(fā)展而來的不確定決策方法，已經(jīng)形成完整、系統(tǒng)的決策過程和體系。與其他方法不同，證據(jù)推理以統(tǒng)一的信任函數(shù)結(jié)構(gòu)描述評價信息，信息的集結(jié)通過基于合成規(guī)則的證據(jù)推理算法實現(xiàn)。證據(jù)推理能夠合理高效地處理定性或定量的信息，并且能夠?qū)Σ痪_、不確定、不完全甚至是沖突的信息進(jìn)行組合［8］。因此，本文利用證據(jù)推理去融合擴展概率語言詞集，擴展概率語言環(huán)境下的多屬性群決策問題可以退化為擴展概率語言環(huán)境下的多屬性決策問題。

為了處理多屬性決策問題，許多經(jīng)典的決策方法被相繼提出。TODIM 方法相較于其他方法，避免因參考點選擇不合理造成的決策偏差，并且考慮了決策者的心理行為［9］。雖然現(xiàn)有的TODIM 方法能夠處理直覺語言數(shù)、猶豫模糊語言變量、概率語言詞集等模糊信息，但是不能處理擴展概率語言環(huán)境下的決策問題，因此本文對TODIM 方法進(jìn)行了改進(jìn)，將其拓展到概率語言環(huán)境下。

在現(xiàn)實決策中，無論是專家間還是屬性間都存在各種交互關(guān)系（互補關(guān)系、冗余關(guān)系、獨立關(guān)系）。模糊測度和廣義Shapley值都是描述交互關(guān)系的有效工具，廣義Shapley值相較于模糊測度能夠更加全面的反映專家間或者屬性間的交互作用［10-11］。本文將廣義Shapley值和證據(jù)推理相結(jié)合用于融合各個子群體給出的評價信息，將廣義Shapley值與TODIM 方法相結(jié)合用于方案的排序。針對多屬性群決策問題專家權(quán)重或?qū)傩詸?quán)重為部分未知的情形，本文給出了基于灰色關(guān)聯(lián)法的專家／屬性權(quán)重確定模型用于確定專家集的廣義Shapley值和屬性集廣義Shapley值。同時，為了驗證本文提出方法的合理性和有效性，利用綠色供應(yīng)商選擇的算例進(jìn)行分析，并通過與其他方法的比較說明本文提出方法的優(yōu)越性。

2 基本理論

2.1 擴展概率語言詞集相關(guān)理論

定義1 設(shè)X為一給定論域且?x j∈X，L為一給定語言術(shù)語集，且?l i≥L，則X上形如（p）稱為擴展概率語言詞集的集合，其中為語言術(shù)語l i及其概率分配。方便起見（p）被稱為擴展概率語言詞集。

在擴展概率語言詞集中，概率分布的和可能大于1，這是因為部分評價者給出猶豫模糊語言詞集。例如，3位評價者利用 ｛l1：很低，l2：低，l3：適中，l4：高，l5：很高 對汽車的油耗進(jìn)行描述，1 位評價者認(rèn)為油耗適中，1位在油耗適中和高之間猶豫，1位認(rèn)為油耗是高的?？傻妹總€語言變量的概率分布，即“適中”2／3，“高”2／3。這種矛盾現(xiàn)象在現(xiàn)實生活中是常見的，因此需要采取一種標(biāo)準(zhǔn)化方法對此類情況進(jìn)行處理。

上述距離測度滿足以下條件：

證明：

條件（2）和（3）容易證明，此處省略，條件（1）的證明如下：

證明完畢，條件（1）成立。

2.2 模糊測度和廣義Shapley值

定義7［10］設(shè)P（X）為X=｛x1，x2，…，x n｝的冪集，定義在X上的模糊測度μ：P（X）→ ［0，1］滿足如下條件：

（1）μ（?）=0，μ（X）=1；

（2）若 ?A，B∈P（X）且A?B，則μ（A）≤μ（B）。

模糊測度可被視為單調(diào)集函數(shù)，在X上的模糊測度具有如下特點：

（1）可加性：對于 ?A，B∈P（X），μ（A∪B）=μ（A）+μ（B）。

（2）次可加性：對于 ?A，B∈P（X），μ（A∪B）≤μ（A）+μ（B）。

（3）超可加性：對于 ?A，B∈P（X），μ（A∪B）≥μ（A）+μ（B）。

在多屬性決策框架中，μ（A）可視為屬性子集A∈P（X）的重要程度，模糊測度的單調(diào)性意味著當(dāng)新的屬性被加入屬性子集時，屬性子集的重要程度不會減少［12］。非可加性是模糊測度的主要特征，能夠更加靈活地表示決策屬性之間從冗余（消極互動）到互補（積極互動）的各種關(guān)聯(lián)關(guān)系［13，14］。

定義8［11］設(shè)P（X）為X=｛x1，x2，…，x n｝的冪集，μ為定義在X上的模糊測度，則 ?S∈P（X），廣義Shapley值表示如下：

其中，n，t和s分別表示子集X，T和S中元素的個數(shù)。

從上述公式可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)S中只有一個元素時，公式（4）可約簡為Shapley值：

從公式（5）可知，Shapley 值（μ，X）可被視為單個屬性x j的邊際貢獻(xiàn)加權(quán)平均值。?x j∈X，X）｝x j∈X是屬性x j的權(quán)重向量，稱為Shapley權(quán)重向量。若模糊測度μ是可加性測度，μ（x j），則x j和T?X＼x j是相互獨立的，Shapley向量退化為屬性權(quán)重向量。若μ是次可加性測度，即存在冗余關(guān)系。若μ是超可加性測度，即，則x j和T?X＼x j存在互補關(guān)系。因此，Shapley值不僅反映屬性自身的重要性，而且反映與其他屬性之間的交互特征。

2.3 證據(jù)理論和證據(jù)推理概述

定義9［6］令Θ= ｛H1，H2，…，H N｝為相互獨立且包含所有可能結(jié)果的集合，被稱為識別框架?；靖怕史峙洌˙PA）為一個函數(shù)m：2Θ→ ［0，1］，也被稱為mass函數(shù)，滿足：

其中，?為一個空集，A是 Θ 的子集，且2Θ是Θ的冪集包含 Θ 的所有子集，即2Θ= ｛?，｛H1｝，…，｛H N｝，｛H1∪H2｝，…，｛H1∪H N｝，…，Θ｝?；靖怕史峙鋗（A）測定的是精確分配給A的信度，表示證據(jù)直接支持A為真的強度。所有命題基本概率分配的總和為1，空集不產(chǎn)生任何信度，分配給Θ 的概率，即m（Θ），被稱為未知度。任意子集A?Θ，若m（A）＞0，則A被稱為m的焦元。所有焦元的集合稱為核。所有相關(guān)的焦點元素統(tǒng)稱為證據(jù)主體。

定義10［6］設(shè)有兩個完全獨立的證據(jù)，它們在同一識別框架上的mass函數(shù)分別為m1和m2，D-S組合規(guī)則被定義為：

其中，A和B為焦元，［m1⊕m2］（C）是基本概率分配被稱作歸一化因子，被稱為沖突度，用來測 量 一 對 證 據(jù) 沖 突 的 程 度。 顯 然，當(dāng)∑A∩B=?m1（A）m2（B）=1，完全沖突的證據(jù)合成不 適 用 此 公 式，即 ［m1⊕m2］（C）不 存 在；當(dāng)，對高度沖突的證據(jù)合成 可 能 得 到 不 合 理 的 結(jié) 果； 當(dāng)∑A∩B=?m1（A）m2（B）＜1，不完全沖突的兩個證據(jù)通過上面的組合規(guī)則能夠產(chǎn)生新的基本置信指派函數(shù)m（·）構(gòu)成新的證據(jù)體。

證據(jù)推理于20世紀(jì)90年代初被首次應(yīng)用到不確定環(huán)境下的決策問題，其通過設(shè)計一種新的信度決策矩陣對決策問題進(jìn)行建模，并基于D-S理論的組合規(guī)則建立獨特的屬性聚合過程［15-17］。假設(shè)一個多屬性決策問題有m個方案A（ =1，2，…，m），高層次的屬性被稱為總屬性，n個低層屬性Cτ（τ=1，2，…，n）被稱為基本屬性。方案A在基本屬性Cτ（τ=1，2，…，n）下被評價為等級H l，并且具有βl，τ（A）的信任度，可以表示為S（Cτ（A））=｛（H l，βl，τ（A）），l=1，2，…，N｝，其中βl，τ（A）≥0并且則為完全評價，如果，則為不完全評價，這些評價信息構(gòu)成了信任決策矩陣D=［S（Cτ（A））］m×n。

在基本屬性下備選方案的評價可被視為證據(jù)，總屬性的評價等級被視作假設(shè)［15-17］。由于需要處理證據(jù)沖突，依據(jù)屬性集成的基本規(guī)則對合成規(guī)則進(jìn)行修正是有必要的。該過程簡要描述如下：

首先，將信任度乘以屬性權(quán)重可以將方案A在屬性Cτ下評價等級為H n的信任度轉(zhuǎn)化為BPA：

其次，依據(jù)上述獲得的BPA 按照證據(jù)合成規(guī)則獲得評價等級H l的綜合概率分配函數(shù)。

其中，nl，1（A）=ml，1（A），n H，1（A）=m H，1（A），l= 1，2，…，N， = 1，2，…，m，τ= 2，3，…，n.n l，τ（A）表示方案A前τ個屬性下關(guān)于等級H l的綜合BPA，n H，τ（A）表示剩余的綜合BPA。

然后，計算A關(guān)于等級H l的信任度βl（A）。

其中，βH（A）是未知信息產(chǎn)生的信任度，即βH（A）= 1-并且1≤l≤N。

3 基于證據(jù)推理和廣義Shapley值的擴展概率語言多屬性群決策方法

在一個多屬性群決策問題中，存在m個備選方案，即 ｛A1，A2，…，Am｝，d個 子 群 組 ｛G1，G2，…，Gd｝，依據(jù)n個屬性 ｛C1，C2，…，Cn｝對備選方案進(jìn)行評價。每一個子群組中包含很多參與者，參與者在屬性下對備選方案A進(jìn)行評價，評價信息為子群組Ge中的個參與者給出的評價信息可以轉(zhuǎn)化為擴展概率語言詞集（p）。值得注意的是當(dāng)子群組中參與者的信息經(jīng)過匯總后，子群組Ge為一個整體可以視為一個專家Ge，因此，可視為專家Ge（e=1，2，…，d）給出擴展概率語言詞集（p）。此后，將擴展概率語言詞集（p）轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)擴展概率語言詞集）。

3.1 基于灰色關(guān)聯(lián)法的權(quán)重確定模型

在多數(shù)情況下，無論是專家權(quán)重還是屬性權(quán)重都是部分未知或者完全未知的，這就需要建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠磉M(jìn)一步明確權(quán)重。由于灰色關(guān)聯(lián)法是獲得權(quán)重信息的有效工具，因此，本節(jié)基于灰色關(guān)聯(lián)法分別給出計算專家權(quán)重（廣義Shapley值）和屬性權(quán)重（廣義Shapley值）的方法。

（1）利用灰色關(guān)聯(lián)法獲得專家的廣義Shapley值

其中，γ=0.5為分辨系數(shù)。根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)法，建立一個非線性規(guī)劃模型，從而獲得相對于每一個屬性下各個專家的Shapley值。

其中，φGe（μτ，G）是專家關(guān)于模糊測度μτ的Shapley值，W Ge是關(guān)于各個專家權(quán)重的范圍。如果專家權(quán)重是完全未知的，則μτ（Ge）∈W Ge可以被省略。

（2）基于灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)獲得屬性廣義Shapley值

其中，γ=0.5為分辨系數(shù)。根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)法，建立非線性規(guī)劃模型，從而獲得屬性的Shapley值。

其中，φCτ（μ，C）為屬性Cτ關(guān)于模糊測度μ的Shapley值，W Cτ為屬性Cτ的權(quán)重范圍。如果屬性的權(quán)重是完全未知的，則限制條件μ（Cτ）∈，τ=1，2，…，n可省略。

3.2 多屬性群決策方法具體步驟

為了解決上述多屬性群決策問題，本節(jié)結(jié)合證據(jù)推理提出一種新的多屬性群決策方法，具體步驟描述如下：

步驟一：由于實際決策中的屬性存在成本型和效益型兩種，為了消除不同量綱的影響，需將不同類型的屬性轉(zhuǎn)化為同一類型，即將成本型轉(zhuǎn)換成效益型。簡便起見，轉(zhuǎn)換后的群決策矩陣仍表示為Y e=

步驟二：依據(jù)廣義Shapley值確定方法，確定各個專家子集的廣義Shapley值。

步驟三：利用證據(jù)推理算法獲得各個方案Aζ在每一個屬性Cτ下的綜合證據(jù)

其中，i=1，2，…，t；=1，2，…，m；τ=1，2，…，n；e=1，2，…，d。

（2）依據(jù)上述獲得的BPA 按照證據(jù)合成規(guī)則獲得綜合概率分配函數(shù)。

（3）計算ε個專家組針對方案Aζ在屬性Cτ下關(guān)于評價等級l i的信任度

步驟四：依據(jù)廣義Shapley值確定方法，確定各個屬性子集的廣義Shapley值。

步驟五：計算每一個方案A關(guān)于其他方案在屬性Cτ（τ=1，2，…，n）下的收益-損失矩陣Dτ=。

將屬性Cτ下方案Aζ相對于方案A k的收益-損失值按照從小到大的順序進(jìn)行排序，從而得到2，…，m）按照從小到大順序排在第τ個位置上的收益或損失值，其對應(yīng)的屬性為C（τ）。

步驟六：計算所有屬性下方案A相較于方案Ak的優(yōu)勢度。

若方案A相較于方案Ak在屬性C（1），C（2），…，C（q）下是損失的，則方案A相較于方案A k在屬性C（1），C（2），…，C（q）下為 負(fù) 感 知 優(yōu) 勢 度，表 示 為。反之，如果方案A相較于方案A k在屬性C（q+1），C（q+2），…，C（n）下是收益的，則方案A相較于方案A k在屬性C（q+1），C（q+2），…，C（n）下為正感知優(yōu)勢度，表示為。具體公式如下所示：

其中，θ為損失衰減系數(shù)，θ越小決策者的損失規(guī)避程度越 大。其中為屬性關(guān)于模糊測度μ的廣義Shapley值。

基于此，計算方案A相較于方案A k在所有屬性下的個體感知優(yōu)勢度…，m。

步驟七：計算方案A的總體感知優(yōu)勢度，具體公式如下所示：

步驟八：計算方案A的標(biāo)準(zhǔn)化總體感知優(yōu)勢度，具體公式如下所示：

步驟九：依據(jù)前景值δ的大小對A（=1，2，…，m）進(jìn)行排序，δ的值越大，相應(yīng)的方案Aζ就越好。

4 算例分析

知名家居集團(tuán)A 為了挑選最為適宜的產(chǎn)品供應(yīng)商，貿(mào)易代表處的工作人員根據(jù)公司的采購理念評估供應(yīng)商。其采購理念及對供應(yīng)商的評估主要包括4個方面：持續(xù)的價格改進(jìn)（C1）；嚴(yán)格的供貨表現(xiàn)（C2）；質(zhì)量好且健康的產(chǎn)品（C3）；環(huán)保及社會責(zé)任（C4）。根據(jù)公司的采購需求和綠色供應(yīng)商的要求，位于中國的貿(mào)易代表需要對分布在華南區(qū)、華中區(qū)和華北區(qū)的紡織品供應(yīng)商進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查。經(jīng)初步篩選有4家供應(yīng)商入選，即A1，A2，A3，A4，需要從中選擇最符合公司需求的綠色供應(yīng)商作為長期合作伙伴。貿(mào)易代表處分別從華北、華南、華中三個區(qū)域召集采購專員組成三個決策團(tuán)隊 ｛G1，G2，G3｝依據(jù)綠色供應(yīng)商評價的4項要求 ｛C1，C2，C3，C4｝對4個備選供應(yīng)商 ｛A1，A2，A3，A4｝進(jìn)行評價，各個團(tuán)隊中的采購專員從 ｛l1：很差，l2：差，l3：一般，l4：好，l5：很好｝中選擇恰當(dāng)?shù)恼Z言詞進(jìn)行描述，由于知識的局限性，可以使用猶豫模糊語言詞集（也可以不評價或者只給出一個語言詞，這兩種形式也是特殊的猶豫模糊語言詞集）表示評價信息。通過對三個決策團(tuán)隊的初步了解，可以獲知各個決策團(tuán)隊在4個評價要求下的權(quán)威性是不同的，因此分別給出三個決策團(tuán)隊在每一個評價要求下的權(quán)重，w G1= ｛［0.3，0.4］，［0.3，0.5］，［0.2，0.3］，［0.2，0.3］｝；w G2=｛［0.2，0.3］，［0.2，0.4］，［0.2，0.3］，［0.3，0.5］｝；w G3= ｛［0.2，0.4］，［0.2，0.3］，［0.3，0.4］，［0.3，0.4］｝。貿(mào)易代表處對4個評價要求的側(cè)重也是不同的，因此分別給出4個評價要求 ｛C1，C2，C3，C4｝的重要性程度（權(quán)重），即w C= ｛［0.3，0.4］，［0.2，0.3］，［0.2，0.4］，［0.3，0.5］｝。綜合各個團(tuán)隊采購專員給出的評價信息可以獲得三個擴展概率語言詞集決策矩陣，如表1-表3（見附錄），由于對信息進(jìn)行了匯總，每個決策團(tuán)隊可以視為一個整體，三個擴展概率語言詞集決策矩陣可以視為三個不同區(qū)域的專家 ｛G1，G2，G3｝給出的。為了計算方便，將擴展概率語言詞集決策矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)擴展概率語言詞集決策矩陣，如表4-表6（見附錄）。

因此，依據(jù)本文提出的多屬性群決策方法的決策步驟，可獲得如下結(jié)果：

步驟一：決策矩陣的規(guī)范化。由于此算例中4個屬性都是效益型的，因此矩陣規(guī)范化可以省略。

步驟二：依據(jù)灰色關(guān)聯(lián)分析模型計算屬性下Cτ（τ=1，2，3，4）各個專家子集的廣義Shapley值。

（2）計算Cτ（τ=1，2，3，4）下各專家子集的廣義Shapley值

步驟三：計算方案A（ =1，2，3，4）在屬性Cτ（τ=1，2，3，4）下的綜合證據(jù)。

由于這一步計算量較大，為簡便起見，以三個專家Ge（e=1，2，3）對方案A1在屬性C1的評價信息為例進(jìn)行介紹。

（2）其次，依據(jù)上述獲得的BPA 按照證據(jù)合成規(guī)則獲得綜合概率分配函數(shù)。

（3）計算方案A1在屬性C1下關(guān)于等級l i，i=1，2，3，4，5的信任度

因此，將三個專家Ge（e=1，2，3）在屬性C1對方案A1進(jìn)行評價給出的信息進(jìn)行合成，得到的結(jié)果表示為

同上所述，可以將3個專家給出的所有方案在各個屬性下的評價信息按照上述方法合成，得到的綜合評價信息如表7所示（見附件）。

步驟四：依據(jù)灰色關(guān)聯(lián)分析模型計算屬性子集的廣義Shapley值。

（1）計算灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)ψ-和ψ+

（2）計算屬性子集的廣義Shapley值

步驟五：計算方案A（=1，2，3，4）關(guān)于其他方案在屬性Cτ（τ=1，2，3，4）下的收益-損失矩陣

步驟六：計算所有屬性下方案A相較于方案A k的個體感知優(yōu)勢度矩陣φ= ［φk4×4。

步驟七：依據(jù)所得的個體感知優(yōu)勢度計算方案A的總體感知優(yōu)勢度。

φ1=0.829，φ2=-1.979，φ3=-1.001，φ4=-1.854

步驟八：計算方案A的規(guī)范化總體感知優(yōu)勢度。

δ1=1，δ2=0，δ3=0.348，δ4=0.045

步驟九：按照δ大小，對備選綠色供應(yīng)商排序。

由于δ1＞δ3＞δ4＞δ2，可知A1?A3?A4?A2。

4.1 參數(shù)敏感性分析

由于本文提出的方法是一種包含參數(shù)的決策方法，為了分析參數(shù)對決策結(jié)果的影響，即決策結(jié)果是否會隨著參數(shù)值的變化而發(fā)生變化，因此對參數(shù)（損失衰減系數(shù)）進(jìn)行敏感性分析。當(dāng)θ＜1，損失的影響增加；當(dāng)θ＞1，損失的影響減少。Kahneman和Tversky認(rèn)為θ應(yīng) 介 于1 和2.5 之 間［18］。 因 此，θ從（0，2.5］之間取值，分析決策結(jié)果的變化，變化趨勢如圖1所示。

表8 不同損失衰減系數(shù)對應(yīng)的排序結(jié)果

圖1 不同參數(shù)對應(yīng)的排序結(jié)果變化圖

從表8和圖1可以發(fā)現(xiàn)，隨著損失衰減系數(shù)由0.25變化到2.5，備選方案的排序結(jié)果是一致的，沒有發(fā)生變化。這說明備選方案的最終排序結(jié)果對參數(shù)θ的取值并不敏感。

4.2 對比分析

為了進(jìn)一步說明本文提出方法的有效性和優(yōu)越性，選取其他幾種方法與本文方法所得結(jié)果進(jìn)行對比。由于概率語言詞集是擴展概率語言詞集的特例，因此選取Liu 等提出的PL-TODIM 方法［19］（簡稱方法一），Zhang提出的方法（簡稱方法二）［20］來對本文的算例進(jìn)行分析。按照方法一和方法二的決策步驟，可以得到方案的排序，具體結(jié)果如下表所示：

表9 不同方法的排序結(jié)果

從表9可以發(fā)現(xiàn)，本文提出方法所得結(jié)果與方法一和方法二所得結(jié)果有些許差別，即由A4?A2變?yōu)锳2?A4。主要原因是在此算例中屬性間是存在關(guān)聯(lián)關(guān)系的，并且屬性間的關(guān)聯(lián)關(guān)系是不同的，可以通過模糊測度具體體現(xiàn)出來：μ（C1）+μ（C2）＞μ（C1，C2），表示屬性C1和屬性C2間存在冗余關(guān)系；μ（C2）+μ（C3）＜μ（C2，C3），表示屬性C2和屬性C3間存在互補關(guān)系；μ（C3）+μ（C4）＞μ（C3，C4），表示屬性C3和C4間存在冗余關(guān)系；μ（C1，C2）+μ（C3）＜μ（C1，C2，C3），即屬性集 ｛C1，C2｝與屬性C3間存在互補關(guān)系；μ（C1，C2，C3）+μ（C4）＞μ（C1，C2，C3，C4），即屬性集 ｛C1，C2，C3｝與屬性C4間存在冗余關(guān)系。由于方法一和方法二未考慮這種復(fù)雜屬性關(guān)系，因此，這兩種方法的排序結(jié)果與本文的方法略有不同，這也說明本文所提方法在處理此類問題的優(yōu)越性。

因為方法一和方法二能夠處理專家／屬性獨立的決策問題，為了證明本文提出的方法同樣適于處理獨立的決策問題。接下來，對上述算例進(jìn)行少許改變，假設(shè)專家間是獨立的，屬性間是不相關(guān)的，專家權(quán)重分別為ω1=1／3，ω2=1／3，ω3=1／3，屬性權(quán)重為w1=0.3，w2=0.2，w3=0.2，w4=0.3，評價信息和上述算例一致，因此采用上述三種方法分別對方案進(jìn)行排序，得到的結(jié)果如表10所示。

表10 不同方法的排序結(jié)果

從表10可知，三種方法的排序結(jié)果是一致的，即A1?A3?A2?A4。因為方法一和方法二擅長處理獨立的情況，相同排序結(jié)果間接說明本文所提方法能夠處理獨立的情況。綜合表9和表10能夠說明，本文提出的方法相較于方法一和方法二具有更廣泛的適用范圍，既能處理關(guān)聯(lián)情形下的多屬性群決策問題又能處理獨立情形下的群決策問題。此外，本文提出的方法是基于擴展概率語言詞集，擴展概率語言詞集是不確定語言變量、擴展猶豫模糊語言詞集、分布語言評估信息、概率語言詞集等信息表示模型的廣義形式，因此本文提出方法同樣適合于處理不確定語言信息、擴展猶豫模糊語言集、分布語言評估信息、概率語言詞集環(huán)境下的多屬性群決策問題。

5 結(jié)語

本文借用證據(jù)推理在融合不精確、不確定、不完全甚至沖突信息方面的優(yōu)勢，利用證據(jù)推理算法去處理擴展概率語言信息，對來自不同專家的評價信息進(jìn)行有效集成，從而將多屬性群決策問題退化為多屬性決策問題，從而利用擴展廣義Shapley-TODIM 方法對備選方案進(jìn)行排序。因此，本文首先定義了擴展概率語言詞集的定義及相關(guān)理論，奠定了本文的理論基礎(chǔ)。其次，提出一種基于證據(jù)推理的擴展概率語言多屬性群決策方法。在提出群決策方法的過程中，考慮到多數(shù)實際問題中決策團(tuán)隊間和屬性間可能分別存在交互作用，將灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)和廣義Shapley值相結(jié)合，給出了確定專家子集和屬性子集廣義Shapley值的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型。并利用專家子集廣義Shapley值的差值來替代專家權(quán)重，從而對證據(jù)推理進(jìn)行了擴充，促使證據(jù)推理能夠處理各種交互情形。此外，為了驗證本文提出方法的實用性，采用綠色供應(yīng)商選擇的算例進(jìn)行分析，并對決策方法中存在的參數(shù)進(jìn)行分析，檢驗損失衰減系數(shù)對決策結(jié)果的影響。為了進(jìn)一步說明本文提出方法的優(yōu)點，從已有決策方法中選擇幾個典型方法并與本文提出的方法進(jìn)行對比分析。

附錄：

表1 華北決策團(tuán)隊（專家G1 ）的擴展概率語言詞集決策矩陣

表2 華南決策團(tuán)隊（專家G2 ）的擴展概率語言詞集決策矩陣

表3 華中決策團(tuán)隊（專家G3 ）的擴展概率語言詞集決策矩陣

表4 專家G 1 的標(biāo)準(zhǔn)擴展概率語言詞集決策矩陣

表5 專家G 2 的標(biāo)準(zhǔn)擴展概率語言詞集決策矩陣

表6 專家G 3 的標(biāo)準(zhǔn)擴展概率語言詞集決策矩陣

表7 綜合評價信息矩陣