(江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

0 引言

近年來(lái)，隨著世界貿(mào)易的飛速發(fā)展與集裝箱貨物運(yùn)輸方式的逐步優(yōu)化，在眾多的物流作業(yè)中，橋架起重機(jī)發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。與此同時(shí)，橋架起重機(jī)防晃技術(shù)也越來(lái)越受到人們的重視，它直接決定了集裝箱的裝卸速度[1]。橋架起重機(jī)在吊運(yùn)過(guò)程中貨物不可避免地要出現(xiàn)“擺動(dòng)”現(xiàn)象，這種現(xiàn)象可能會(huì)帶來(lái)?yè)p壞貨物、傷害地面工作人員等危害。針對(duì)橋架起重機(jī)系統(tǒng)的這一特征，其建模和控制問(wèn)題受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。

縱觀國(guó)內(nèi)外，并沒(méi)有對(duì)完整的橋架起重機(jī)防晃控制系統(tǒng)(包含電機(jī))進(jìn)行建模和研究的文獻(xiàn)。文獻(xiàn)[2-4]建立了2D 橋架起重機(jī)的數(shù)學(xué)模型，利用李亞普諾夫穩(wěn)定理論和模糊邏輯來(lái)達(dá)到橋架起重機(jī)在減小擺動(dòng)角度和位置精度方面的要求。文獻(xiàn)[5-7]建立了2D 橋架起重機(jī)的數(shù)學(xué)模型，研究了不同的非線性防晃定位控制方法。文獻(xiàn)[8]研究并建立了橋架起重機(jī)的線性化數(shù)學(xué)模型，并提出了相應(yīng)的控制器。文獻(xiàn)[9-10]采用拉格朗日方程方法建立了橋架起重機(jī)的非線性模型，文獻(xiàn)[10]還考慮了摩擦力和空氣阻力對(duì)橋架起重機(jī)的影響。文獻(xiàn)[11]提出了基于多模型參考切換雙閉環(huán)防搖控制方法，建立了橋架起重機(jī)防搖系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)[12]采用拉格朗日方程方法建立了雙起升雙吊具橋架起重機(jī)的2D 動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)該雙起升雙吊具橋架起重機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化。

但是上述工作建立的模型僅僅是針對(duì)吊車或者吊車與控制器，并沒(méi)有涉及包含電機(jī)部分的完整的橋架起重機(jī)防晃控制系統(tǒng)模型，而電機(jī)是橋架起重機(jī)防晃控制系統(tǒng)的重要組成部分，電機(jī)的特性對(duì)橋架起重機(jī)的位置精度和吊具及負(fù)載的擺動(dòng)擺角大小以及防晃控制有很大的影響。所以上述文獻(xiàn)的成果在一定程度上給研究橋架起重機(jī)系統(tǒng)以及防晃控制算法帶來(lái)了較大的不準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[13]搭建了一個(gè)包含電機(jī)的三維橋式吊車實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)能夠一定程度上反映實(shí)際橋架起重機(jī)非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，但是涉及的理論建模研究較少。文獻(xiàn)[14]構(gòu)建了一個(gè)橋吊多電機(jī)實(shí)時(shí)仿真控制平臺(tái)，提出了一種實(shí)時(shí)內(nèi)核的混合仿真實(shí)驗(yàn)構(gòu)架，但是基本沒(méi)有涉及理論建模。文獻(xiàn)[13-14]涉及理論研究較少，從而無(wú)法為橋架起重機(jī)防晃控制算法研究提供系統(tǒng)的理論參考。

本文經(jīng)過(guò)理論推導(dǎo)建立了包含電機(jī)部分的完整的橋架起重機(jī)防晃控制非線性系統(tǒng)的物理模型和數(shù)學(xué)模型，該模型完整的描述了橋架起重機(jī)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。最后，本文分別對(duì)電機(jī)部分、吊具及負(fù)載部分、橋架起重機(jī)開環(huán)非線性系統(tǒng)以及用PID控制算法控制的橋架起重機(jī)閉環(huán)控制非線性系統(tǒng)進(jìn)行Matlab仿真研究，得到的仿真波形與實(shí)際認(rèn)知現(xiàn)象和文獻(xiàn)理論現(xiàn)象相符，證明了模型的正確性和有效性。

1 橋架起重機(jī)防晃控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1.1 橋架起重機(jī)系統(tǒng)整體模型

橋架起重機(jī)系統(tǒng)主要由電機(jī)、運(yùn)行車(下文中簡(jiǎn)稱小車)、吊具及負(fù)載組成。本文基于橋架起重機(jī)的二維運(yùn)動(dòng)，建立橋架起重機(jī)控制非線性系統(tǒng)的完整的物理和數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行仿真研究。

橋架起重機(jī)系統(tǒng)整體模型如圖1所示。

圖1 橋架起重機(jī)系統(tǒng)整體模型

1.2 橋架起重機(jī)結(jié)構(gòu)介紹

橋架起重機(jī)是集裝箱船與碼頭前沿之間裝卸集裝箱的主要設(shè)備,它由前后兩片門框和拉桿構(gòu)成的門架和支承在門架上的橋架組成,起重機(jī)的運(yùn)行車輪裝在支腿的下端,大車在地面的軌道上運(yùn)行,跨越裝卸場(chǎng)地的上空,為裝卸場(chǎng)地裝卸貨物[15]。

圖2 橋架起重機(jī)結(jié)構(gòu)

1.3 電機(jī)部分

直流電動(dòng)機(jī)是將直流電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能的電動(dòng)機(jī)。因其良好的調(diào)速性能而在電力拖動(dòng)系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。

直流電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)平衡方程：

(1)

(2)

式中,Ua(t)為施加在電機(jī)上的電壓；Ra為電樞回路內(nèi)部總電阻；ia(t)為電動(dòng)機(jī)電樞電流；eb(t)為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；La為電樞回路電感；kb為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)常數(shù)；θm為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角。

直流電機(jī)的轉(zhuǎn)矩平衡方程(忽略空載轉(zhuǎn)矩)：

(3)

τ(t)=kaia(t)

(4)

式中,τ(t)為電機(jī)轉(zhuǎn)軸輸出力矩；Jeff為折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ka為電動(dòng)機(jī)電流-力矩比例常數(shù)；feff為折合到電機(jī)軸上的總的等效摩擦系數(shù)。

對(duì)式(1)～(4)進(jìn)行Laplace變換得到：

Ua(s)=RaIa(s)+Eb(s)+sLaIa(s)

(5)

Eb(s)=skbΘm(s)

(6)

T(s)=s2JeffΘm(s)+sfeffΘm(s)

(7)

T(s)=kaIa(s)

(8)

由式(5)～(8)化簡(jiǎn)可得：

(9)

電動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩和拉力的關(guān)系為：

τ(t)=nrF(t)

(10)

式中,n為電動(dòng)機(jī)的減速比；r為電機(jī)輸出軸的半徑，F(xiàn)(t)為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的拉力。

對(duì)式(10)進(jìn)行Laplace變換得到：

T(s)=nrF(s)

(11)

1.4 吊具及負(fù)載部分

實(shí)際工程中的橋架起重機(jī)的吊具與負(fù)載部分結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，為了分析和建模方便，本文中將吊具與負(fù)載等效看作一個(gè)長(zhǎng)度為2L的勻質(zhì)擺桿，質(zhì)心在L處。忽略擺體轉(zhuǎn)軸間的摩擦和擺桿在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的空氣阻力，且假設(shè)擺桿初始時(shí)刻靜止。

簡(jiǎn)化后可得擺桿的物理模型和受力如圖3所示。

圖3 吊具與負(fù)載等效成的擺桿的物理模型和受力

圖3中，M為小車的質(zhì)量，m為吊具與負(fù)載等效成的擺桿的質(zhì)量。

以地面為參考，將擺體的運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分，質(zhì)心加速度等于質(zhì)心平動(dòng)加速度和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)加速度之和。質(zhì)心加速度的水平分量為：

(12)

式中,rx為桿質(zhì)心的水平位移分量；rC為小車的位移；θ為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。

質(zhì)心加速度的垂直分量為：

(13)

式中,ry為桿質(zhì)心的豎直位移分量。

擺體運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(平動(dòng)部分)為：

(14)

(15)

式中,FC->Px為小車對(duì)吊具與負(fù)載等效成的擺桿的水平方向的作用力；FC->Py為小車對(duì)吊具與負(fù)載等效成的擺桿的豎直方向的作用力；g為重力加速度。

由式(13)和式(15)可得：

(16)

擺體運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(轉(zhuǎn)動(dòng)部分)為：

(17)

式中,Jc為吊具與負(fù)載等效成的擺桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

將式(14)和式(16)代入式(17)得：

(18)

勻質(zhì)桿繞一端轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

J=Jc+mL2

(19)

由式(18)和式(19)可得：

(20)

1.5 小車部分

忽略小車運(yùn)動(dòng)時(shí)與軌道的摩擦，且假設(shè)空氣阻力與車的速度成正比且摩擦系數(shù)為μ?？傻眯≤嚥糠趾?jiǎn)化的物理模型如圖4所示。

圖4 二維橋架起重機(jī)小車的物理模型

圖4中，F(xiàn)為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的對(duì)小車的拉力；f為小車運(yùn)動(dòng)時(shí)與空氣的摩擦力；FP->Cx為吊具與負(fù)載等效成的擺桿對(duì)小車的水平作用力。

考慮到小車只有水平方向的運(yùn)動(dòng)，可寫出小車的運(yùn)動(dòng)方程：

(21)

(22)

FP->Cx=FC->Px

(23)

將式(14)、(22)代入式(21)得：

(24)

1.6 PID控制器

當(dāng)今的閉環(huán)自動(dòng)控制技術(shù)都是基于反饋的概念來(lái)減少不確定性。反饋理論的要素包括：測(cè)量、比較和執(zhí)行。具體實(shí)現(xiàn)方法是被控變量的實(shí)際值與期望值比較得到偏差值，用這個(gè)偏差值來(lái)糾正系統(tǒng)的響應(yīng)，執(zhí)行調(diào)節(jié)控制。在實(shí)際工程中，應(yīng)用最廣泛的調(diào)節(jié)器控制規(guī)律為比例、積分、微分控制，簡(jiǎn)稱PID控制。

(25)

式中，u(t)是控制器輸出信號(hào)；e(t)是給定輸入信號(hào)與系統(tǒng)被控量的偏差，定義為e(t)=r(t)-c(t)；r(t)是給定的輸入信號(hào)；c(t)是系統(tǒng)的被控量；KP、KI、KD為比例、積分、微分參數(shù)。

PID控制器的結(jié)構(gòu)原理如圖5所示。

圖5 PID控制器結(jié)構(gòu)原理圖

隨著控制理論的發(fā)展，PID算法也得到優(yōu)化和改進(jìn)，本文采用經(jīng)典的增量式PID控制算法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。

2 基于Matlab的橋架起重機(jī)防晃控制系統(tǒng)模型

由式(8)、(9)、(11)可以得到電機(jī)部分的傳遞函數(shù)模型如圖6所示。

圖6 電機(jī)部分傳遞函數(shù)模型

小車與吊具及負(fù)載部分的數(shù)學(xué)模型由式(20)、(24)可以得到如下非線性差分方程組：

-J[θ(k)-2θ(k-1)+θ(k-2)]=

Lm[r(k)-2r(k-1)+r(k-2)]cosθ(k)-mgLsinθ(k)

(26)

(M+m)[r(k)-2r(k-1)+r(k-2)]+

μ[r(k)-r(k-1)]=F-mL[θ(k)-θ(k-1)]2sinθ(k)-

半夏原植物性狀、功效、禁忌、毒性以及炮制工藝考證…………………………………………………… 靳曉琪等（23）：3289

mL[θ(k)-2θ(k-1)+θ(k-2)]cosθ(k)

(27)

控制算法采用經(jīng)典的增量式PID控制算法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。該系統(tǒng)為雙閉環(huán)控制非線性系統(tǒng)。

綜上，采用增量式PID控制算法建立的非線性橋架起重機(jī)防晃控制系統(tǒng)模型如圖7所示。

圖7 橋架起重機(jī)防晃控制非線性系統(tǒng)模型框圖

3 仿真結(jié)果和分析

將建立的橋架起重機(jī)防晃控制非線性系統(tǒng)模型用Matlab進(jìn)行仿真。

3.1 電機(jī)部分Matlab仿真及結(jié)果

忽略電機(jī)的啟動(dòng)方式對(duì)模型的影響，直接給電機(jī)加300V電壓，取feff=0.318，ka=1.33，Jeff=1.9，Ra=0.2，La=0.05，kb=1.4，n=1/30，r=0.1(以上數(shù)據(jù)單位均為國(guó)際單位制)可得到如圖8所示的電動(dòng)機(jī)電樞電流的仿真波形，由于剛啟動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)速n=0,電樞回路內(nèi)部總電阻Ra很小，電機(jī)電樞電流在直接加電壓的一瞬間突增至780 A左右，經(jīng)短暫時(shí)間后，電流穩(wěn)定在49 A左右，符合電機(jī)特性。

圖8 電機(jī)電樞電流仿真波形

3.2 小車連擺部分的Matlab仿真及結(jié)果

由式(26)、(27)可在Matlab中建立小車連擺部分的非線性數(shù)學(xué)模型，直接給小車連擺部分加300 N的拉力，取L=16，M=500，m=10 000，μ=0.2，g=9.8，J=3.413*105(以上數(shù)值單位均為國(guó)際單位制)；觀察擺角擺動(dòng)的仿真波形和小車運(yùn)動(dòng)位置的仿真波形如圖9、10所示。

由圖9可以看出，吊具與負(fù)載等效成的擺桿的擺角擺動(dòng)到一定角度后收斂于該角度(非平衡位置)，符合實(shí)際物理現(xiàn)象。

圖9 擺角擺動(dòng)的仿真波形

由圖10可以看出，在恒力的作用下，小車位移一直呈非線性增大，符合實(shí)際物理現(xiàn)象。

圖10 小車運(yùn)動(dòng)位置的仿真波形

3.3 橋架起重機(jī)系統(tǒng)開環(huán)Matlab仿真及結(jié)果

由電機(jī)部分和小車連擺部分的模型可建立起橋架起重機(jī)系統(tǒng)開環(huán)模型，給電機(jī)加300V電壓，其余參數(shù)與上文一致，其Matlab仿真結(jié)果如圖11、12所示。

圖11為橋架起重機(jī)系統(tǒng)開環(huán)狀態(tài)下角度的仿真波形，可以看出角度在電機(jī)啟動(dòng)的一瞬間迅速增至57°(約1rad)左右，振蕩后角度逐漸減小，符合實(shí)際物理現(xiàn)象。

圖11 橋架起重機(jī)系統(tǒng)開環(huán)仿真角度波形

圖12為橋架起重機(jī)系統(tǒng)開環(huán)狀態(tài)下小車運(yùn)動(dòng)位移的仿真波形，可以看出小車在啟動(dòng)一定時(shí)間后開始勻速運(yùn)動(dòng)，符合實(shí)際的物理現(xiàn)象。

圖12 橋架起重機(jī)系統(tǒng)開環(huán)仿真位移波形

3.4 橋架起重機(jī)防晃控制系統(tǒng)Matlab仿真及結(jié)果

圖13 橋架起重機(jī)防晃控制系統(tǒng)仿真波形

橋架起重機(jī)防晃控制非線性系統(tǒng)仿真模型框圖如上文中圖7所示，對(duì)其進(jìn)行Matlab仿真。取PID position的P=4,I=0,D=80;PID angle的P=320,I=710.8,D=2000;expected position(位置期望)=10，expected angle(角度期望)=0(平衡位置)(以上數(shù)值單位均為國(guó)際單位制)；得到如圖13所示的仿真波形：上方圖形為吊具與負(fù)載等效成的擺桿擺角的擺動(dòng)曲線，可見(jiàn)擺角在較小(小于5度)的范圍內(nèi)短暫振蕩后收斂于平衡位置；下方圖形為小車的位置曲線，可見(jiàn)小車位置逐漸趨于期望位置。符合預(yù)期要求。

4 結(jié)論

本文考慮了電機(jī)對(duì)橋架起重機(jī)非線性系統(tǒng)的影響，建立了完整的橋架起重機(jī)防晃控制非線性系統(tǒng)的物理模型和數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)Matlab仿真驗(yàn)證了模型的正確性。該模型全面系統(tǒng)地描述了橋架起重機(jī)系統(tǒng)的特性，也具體描述了組成系統(tǒng)的主要部分的特性，具有一般性和實(shí)用性，為橋架起重機(jī)系統(tǒng)的進(jìn)一步研究提供了重要的參考，也為非線性系統(tǒng)控制算法的研究奠定了基礎(chǔ)。