付永彬, 孫海琳

(南京師范大學數(shù)學科學學院，南京 210023)

1 引言

經(jīng)典報童問題即單周期庫存問題(Single-Period Problem, SPP)，其研究對象為生命周期短、易腐蝕、訂貨機會只有一次的產(chǎn)品，主要研究其訂貨問題和庫存決策問題，是供應(yīng)鏈管理中最重要的模型之一．隨著生產(chǎn)和銷售的復雜化，學者們將經(jīng)典的報童模型擴展為多產(chǎn)品報童模型(Multi-Product Newsvendor Problem, MPNP)，通過在各種產(chǎn)品之間合理分配有限的資源，使報童總的期望利潤最大或損失最?。?/p>

Whitin[1]首次建立了受價格影響的報童模型；Khouja[2]對報童問題的擴展模型做了分類說明；Mitra[3]以單產(chǎn)品報童問題為背景，將產(chǎn)品的殘值、清倉價格均視為決策變量，分別就季節(jié)性需求和季末需求是否外生和隨機建立了三個模型．Kyparisis 和Koulamas[4]分析了非負線性可加需求對單產(chǎn)品報童問題訂價敏感度的影響．Wu 等[5]研究了單產(chǎn)品的報童博弈問題，提出了兩種數(shù)量競爭的需求分割規(guī)則，包括需求分配比例規(guī)則和需求再分配規(guī)則．Wang 等[6]考慮單產(chǎn)品報童模型，分別對風險中性和風險厭惡下隨機供應(yīng)對最優(yōu)訂貨量的影響進行了研究．Mohammad 和Shokri[7]考慮風險厭惡條件下，以CVaR 為風險度量的多產(chǎn)品選擇問題．Farahat 和Leeb[8]考慮在一般選擇規(guī)范下，即包含替代、互補、多單位訂購、缺貨、庫存等情形，建立了客戶的對產(chǎn)品選擇模型．Shi 等[9]討論了供應(yīng)商數(shù)量折扣合同下，多產(chǎn)品多約束的聯(lián)合訂價及最優(yōu)訂購量問題；Murray 等[10]主要研究在資源能力有限條件下，報童的多產(chǎn)品訂價問題；周繼祥[11]分別討論了訂貨無約束下、供應(yīng)商隨機生產(chǎn)約束下、資金約束下報童模型的顯式解；陳杰等[12]對具有多元馬氏需求特征的多產(chǎn)品庫存報童模型的優(yōu)化問題進行了探討；Ma 等[13]針對需求可替代的多產(chǎn)品報童問題研究了其最優(yōu)產(chǎn)品組合及最優(yōu)訂貨量的聯(lián)合決策問題．

在現(xiàn)實中大多數(shù)零售商是風險厭惡的，針對需求的不確定性所帶來的風險，許多學者采用不同的模型進行研究．張艷霞等[14]對定常風險下具有不同風險偏好組合決策者的報童問題進行了風險分析；簡惠云和許民利[15]針對風險規(guī)避和風險偏愛兩種情況，分別建立不同訂購量和風險水平下的條件風險值模型，考慮缺貨成本，在一定條件下，得到任意風險水平下的VaR 解析表達式；周艷菊等[16]運用前景理論，針對需求不確定條件下的兩產(chǎn)品訂貨問題進行了分析；Zhang 等[17]分別采用VaR 和CVaR 對單周期和多周期報童問題進行建模．

隨機占優(yōu)(Stochastic Dominance, SD)是風險管理的一種理論方法，已經(jīng)廣泛用于經(jīng)濟、管理學和金融學領(lǐng)域．Hadar 和Russel[18]首次提出隨機占優(yōu)的理念；Fishburn[19]整理出隨機占優(yōu)理論，并將隨機占優(yōu)理論應(yīng)用于組合投資問題．作為一種重要的隨機占優(yōu)方法，SSD 可用來描述風險規(guī)避型投資者的行為．Dentcheva 和Ruszczyski[20]首次提出帶有SSD 約束的隨機優(yōu)化模型，他們通過引入新的變量把該問題重新構(gòu)造成一個線性約束優(yōu)化問題；Dentcheva 和Ruszczyski[21]分析了該問題的最優(yōu)性與對偶性等問題；Homem-De-Mello 和Mehrotra[22]結(jié)合了割曲面算法與樣本均值逼近(SAA)方法來求解帶SSD 約束的隨機優(yōu)化問題；Sun 等[23]用光滑的罰函數(shù)SAA 方法來求解該問題；Rudolf 和Ruszczyski[24]，F(xiàn)bin 等[25]分別采用切平面算法來求解帶SSD 約束的隨機優(yōu)化問題；Sun 等[26]進一步將切平面法改進，更適宜解決大量非線性約束的凸優(yōu)化問題；Yang 等[27]將SSD 應(yīng)用于供應(yīng)鏈系統(tǒng)，研究了多制造商多零售商之間最大化利潤的交叉訂購與定價問題；羅曉琴等[28]將二階隨機占優(yōu)理論應(yīng)用于保險資金資產(chǎn)組合優(yōu)化；吳敏等[29]考慮偏度因素，建立了SSD 約束下最大化組合收益率偏度的投資組合優(yōu)化模型；張宏偉等[30]采用SSD 理論對投資組合問題進行建模，并通過遺傳算法求解；楊柳和申飛飛[31]通過引入交易費用函數(shù)，建立帶有SSD 約束的投資組合風險控制模型．

在隨機規(guī)劃問題中，隨機變量未知．SAA 是一種經(jīng)典的、實用的估計隨機變量分布的方法．該方法利用隨機變量的經(jīng)驗分布去近似其真實分布，有著深厚的理論基礎(chǔ)、良好的可操作性和應(yīng)用價值，在學術(shù)界已被廣泛論證和使用[32]．進一步，SAA 在報童問題中也是常用的方法[17]，部分原因是報童問題的零售商可以比較方便地根據(jù)以往銷售情況獲得產(chǎn)品需求的各項信息作為SAA 問題的樣本．這樣的樣本具有真實、利用率高等優(yōu)勢．

多產(chǎn)品報童問題涉及庫存管理、風險管理、供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)等多個領(lǐng)域．隨著風險控制領(lǐng)域的不斷發(fā)展，將新的風險測度應(yīng)用于報童模型既能體現(xiàn)新的風險測度的優(yōu)越性，又能對經(jīng)典模型帶來新的思路和啟發(fā)．本文建立了帶有隨機二階占優(yōu)約束的多產(chǎn)品報童模型，主要貢獻如下：

1) 本文首次將SSD 與報童問題相結(jié)合，建立了帶有SSD 約束的多產(chǎn)品報童模型，考慮了在SSD 約束及訂購能力約束下零售商的最優(yōu)訂購策略；

2) 本文采用SAA 方法對帶有SSD 約束的多產(chǎn)品報童模型進行逼近，并對SAA 逼近問題進行收斂性分析；繼而采用切平面法[26]對SAA 問題進行求解．數(shù)值實驗的結(jié)果既驗證了SAA 問題的收斂性，同時又說明了SSD 模型的優(yōu)越性．

2 SSD約束下的報童模型

2.1 模型介紹及參數(shù)設(shè)定

鑒于零售商總是同時訂購和銷售多種產(chǎn)品，本文考慮對零售商在單周期內(nèi)對多種產(chǎn)品銷售的報童問題進行建模．現(xiàn)實中零售商往往不會把所有資金都應(yīng)用于產(chǎn)品訂購，或者出現(xiàn)零售商訂購能力有限，或資本難以周轉(zhuǎn)等其他情形，所以本文設(shè)定訂購能力約束；同時又借助SSD 來規(guī)避風險．假設(shè)各種產(chǎn)品之間互不相關(guān)，不考慮訂貨提前期且貨源充足．產(chǎn)品的零售價格由市場決定，為已知量；訂購價格和殘值由供應(yīng)商決定，為已知量；產(chǎn)品市場需求為隨機變量．零售商需要在銷售季到來之初，確定各種產(chǎn)品的訂購量，以期獲得最大利潤．

設(shè)共有M 種產(chǎn)品，對第m(m=1,2,··· ,M)種產(chǎn)品：訂購量為xm, xm∈R+；市場需求為Dm, Dm: ? → Ξm是定義在概率空間(?,F,P)上的隨機變量，分別為單位銷售價格、單位訂購價格、單位殘值，且pm>cm>vm>0．令

則在當期對于第m 種產(chǎn)品，零售商的銷售量為min(xm,Dm)；庫存量為xm?min(xm,Dm)；銷售收入為pmmin(xm,Dm)；未賣出產(chǎn)品的殘值為vm[xm?min(xm,Dm)]；訂購成本為cmxm．所以第m 種產(chǎn)品的利潤為

M 種產(chǎn)品的總利潤為

由于min(a,b)=a ?(a ?b)+，其中(a ?b)+=max(a ? b,0)，上式可化簡為

設(shè)J(x,D)=?G(x,D)表示損失函數(shù)．在訂購能力約束下最小化期望損失的報童模型為

其中α 為常數(shù)，該模型也稱作風險中性模型．

2.2 SSD約束下的報童模型

在現(xiàn)實中大部分投資者是風險厭惡的，而問題(1)未考慮風險因素對報童的影響．如前文所述SSD 可用來描述風險規(guī)避型投資者的行為，因此，本節(jié)引入SSD 約束，構(gòu)建帶有SSD 約束的風險規(guī)避型報童模型．

首先介紹SSD 的定義：設(shè)X(ω), Y(ω)分別為隨機變量ω 的兩個函數(shù)，其累積分布函數(shù)分別為FX(ω)(η)和FY(ω)(η)，即FX(ω)(η)=P(X(ω)≤ η)．令若滿足

則稱X(ω)一階隨機占優(yōu)于Y(ω)，記作X(ω)?1Y(ω)．令

若滿足

式(2)中Y(D)為基準隨機變量．由SSD 性質(zhì)(文獻[20]中的2.6,2.7 式)，可知問題(2)等價于

由于問題(3)不滿足Slater 約束規(guī)范，所以考慮其松弛問題

稱問題(4)為真問題，這里[a,b]是R 中一個有界閉區(qū)間．

3 SAA方法及其收斂性分析

本節(jié)研究真問題(4)的SAA 問題．設(shè)隨機變量D 的獨立同分布樣本為為方便起見，令Yi=Y(di)，則其SAA 問題為

接下來給出SAA 問題(5)的收斂性分析．

3.1 幾乎處處收斂

帶有SSD 約束的優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件已被Dentcheva 和Ruszczyski[20,21,33]證明．關(guān)于該問題的SAA 問題的收斂性在文獻[23,26,34]中也給了出來．這里根據(jù)報童問題的特點，利用前述文獻的結(jié)果，證明了帶有SSD 約束的多產(chǎn)品報童問題的SAA 問題的收斂性．

為簡化符號，令p(a)=max(0,a)，則有

命題1假設(shè)存在點x0∈X, η0∈[a,b]，使得

那么，我們有：

(i) 對任意的x ∈ X, η ∈ [a,b]，f(x)和h(x,η)是有定義的；J(x,D), G(x,D)關(guān)于 x 全局 Lipschitz 連續(xù)，Lipschitz 系數(shù)為

(ii) f(x)和h(x,η)關(guān)于x 是全局Lipschitz 連續(xù)的，Lipschitz 系數(shù)為k；且h(x,η)關(guān)于η 也是全局Lipschitz 連續(xù)的．

證明 對于結(jié)論(i)，由G(x,D)的顯式表達式可知，對xm, m=1,2,··· ,M，有

故而J(x,D), G(x,D)關(guān)于x 的Lipschitz 系數(shù)為

對于結(jié)論(ii)，由(i)可知，f(x)和h(x,η)關(guān)于x 是全局Lipschitz 連續(xù)的，Lipschitz系數(shù)為k．又因為H(x,η,D)關(guān)于η 是全局Lipschitz 連續(xù)的，即

表明h(x,η)關(guān)于η 也是全局Lipschitz 連續(xù)的．

假設(shè)1問題(4)滿足一致占優(yōu)條件(Slater 約束規(guī)范)，即存在x0∈X，使得

令

SAA 問題(5)，可以寫成如下形式

設(shè)問題(6)的最優(yōu)值是zN，接下來證明隨樣本量N 的增加，zN收斂于真問題(4)的最優(yōu)值，將樣本均值逼近寫成特定的概率測度

在隨機規(guī)劃中，PN被稱為經(jīng)驗概率測度．據(jù)此將(6)式改寫為

在進行收斂性分析之前定義以下幾個符號：設(shè)P(?)表示所有Borel 概率測度的集合；定義函數(shù)集

定義PN到P 的偽距離

由于H(x,η,·)和J(x,·)是連續(xù)的，且X 和[a,b]是緊集，所以PN, P ∈ PG(?)且D(PN,P)<∞．

定理1設(shè)：

(i) 假設(shè)1 成立；

(ii) 命題1 的條件成立及X 是緊集，則：

1) 對于問題(6)的最優(yōu)值函數(shù)V(PN)，當N →∞時，w.p.1 滿足

2) 若另有：

(iii) 對任意的x ∈X，當t 趨向于0 時，廣義矩函數(shù)

有界，則對任意小的正數(shù)γ，存在正整數(shù)N?和獨立于N 的正實數(shù)C(γ), β(γ)，使得當N ≥N?時，滿足

繼而由文獻[23]定理3.1 的結(jié)論(i)和文獻[34]定理2.7 的結(jié)論(iii)可知，存在正整數(shù)L?>0，使得w.p.1

又由命題1 和文獻[23]命題3.1 可知，當N →∞時，有D(PN,P)→0，所以有

對于(9)式，在命題1 及假設(shè)1 的條件下，由文獻[34]定理2.7 的結(jié)論(ii)可知Sopt(·)在P 處上半連續(xù)．結(jié)合文獻[23]命題3.1 可知

對于(10)式，在條件(iii)下，由命題1 和文獻[23]命題3.2 可知，對任意小的正數(shù)γ ≤ L???，存在正整數(shù)N?和獨立于N 的正實數(shù)C(γ), β(γ)，當N ≥ N?時

結(jié)合文獻[34]定理2.7 的結(jié)論(iii)，有

4 數(shù)值實驗

由于問題(5)是半無限問題，難以求解，所以考慮在特定條件下將其轉(zhuǎn)化為有限問題，即考慮其以下等價形式．

假設(shè)2隨機變量Y(D)的支持集Y ?[a,b]．

在假設(shè)2 下，由文獻[20]的命題3.2 可知問題(5)等價于

稱問題(5)與問題(11)均為SAA 問題．由于問題(5)與(11)的等價性，所以在以下部分以(11)為研究對象．

4.1 切平面算法

Sun 等[26]改進的切平面法適用于解決多個非線性復雜約束的隨機優(yōu)化問題，這里采用該方法求解問題(11)．

算法1

第1 步令迭代次數(shù)t=0，誤差?=10?5，令S0={x|0 ≤ cTx ≤ α}；

第2 步解決線性規(guī)劃問題

若問題(12)無可行解，則原問題無可行解；否則，設(shè)問題(12)的最優(yōu)解為xt．

第3 步找到，使得

其實質(zhì)是找到眾多約束中違反度最大的約束．構(gòu)造索引集

第 4 步若停止，是最優(yōu)解；否則，構(gòu)造切平面

轉(zhuǎn)到第2 步．

4.2 實驗及結(jié)果分析

本節(jié)考慮零售商需要在銷售季進行五種產(chǎn)品的交易，即零售商需要在期初確定五種產(chǎn)品的訂購量以期獲取最大利潤．假定五種產(chǎn)品的需求服從不同自由度的χ2分布

在此基礎(chǔ)上設(shè)置三個示例，例1 采用模型(1)為參照進行樣本內(nèi)實驗，對SSD 模型的收斂性進行驗證．例2 在模型(1)為參照下，進行樣本外累計預測．例3 以均值-方差(MV)模型為參照模型，進行樣本外累計預測．MV 模型即以最小(大)化隨機損失(利潤)的期望為目標函數(shù)，以隨機函數(shù)的方差來度量風險．對于報童問題帶有訂購能力約束的MV模型為

其中μ為常數(shù)，該模型也是風險厭惡模型．由于參照模型的最優(yōu)解也屬于緊集X，所以參照隨機變量Y(D)的支持集有界，假設(shè)2 成立，從而SAA 問題(5)與(11)等價，這里采用算法1 求解問題(11)．

例1SSD 模型收斂性分析數(shù)值實驗

設(shè)資金約束α = 3.5，樣本量取10000，求得模型(1)的最優(yōu)解，作為SSD 模型的參照．然后在SSD 模型的求解中，樣本量依次設(shè)為100、1000、2000、3500、5500．每個樣本量下進行30 次實驗，其結(jié)果如圖1 所示，圖中每一個垂直區(qū)間表示在對應(yīng)樣本量下30 個最優(yōu)解的范圍．該圖顯示了SSD 模型下最優(yōu)解隨樣本量增大而逐漸收斂的特性．

圖1: 例1 隨樣本量增加SAA 問題的收斂性

例2以模型(1)為參照的SSD 模型樣本外累計預測

假設(shè)零售商在有限購買能力下訂購商品并出售，而后將利潤累計到資本，直到最優(yōu)訂購量的金額不受資本約束為止．樣本量N 取3000，初始資本設(shè)為0.7，在此條件下，本例在每輪訂購下均進行10 次抽樣，求得樣本外預測的利潤均值，以該均值作為資本累計，經(jīng)過5 輪累計之后，累計資本大于最優(yōu)訂購量下的成本，停止累計．

本例資本累計的步驟如下：

步驟1在相同初始資本下，模型(1)與SSD 模型各自以其最優(yōu)訂購策略實現(xiàn)其預期利潤；

步驟2模型(1)以其自身利潤為累計資本，求得最優(yōu)解；

步驟3模型(1)以SSD 模型利潤為累計資本，求得最優(yōu)利潤作為基準；在該基準下，SSD 模型以其自身利潤為累計資本，求得最優(yōu)解；

步驟4返回步驟2．

表1 和圖2 均說明，在同樣的樣本下，平均利潤SSD 模型優(yōu)于模型(1)．圖3 顯示了第四次樣本外累計預測10 次抽樣的結(jié)果，此時在訂購能力約束下，SSD 模型下的利潤高于模型(1)，這就使得在SSD 模型下，零售商可實現(xiàn)以更快的速度達到累計資本的目的，以擺脫訂購能力約束．圖4 顯示了第五次樣本外累計預測10 次抽樣的結(jié)果，表明當累計資本充足，即零售商不再受訂購能力約束時，SSD 模型能夠以更少的投資獲得更大的利潤．

圖2: 例2 樣本外累計預測平均利潤差

圖3: 例2 第四次預測

圖4: 例2 第五次預測

例3以MV 模型為參照的SSD 模型樣本外累計預測

采用例2 的資本累計步驟，以MV 模型為參照，設(shè)μ=0.3，所得結(jié)果如表2、圖5 至圖7 所示．

表2、圖5 至圖7 表明，樣本外累計預測下，SSD 模型的利潤優(yōu)于MV 模型，且這種占優(yōu)趨勢隨著資本累計越來越明顯．其中圖6 和圖7 分別為第四次、第五次樣本外10 次抽樣的利潤．

表2: 例3 樣本外累計預測

圖5: 例3 樣本外累計預測平均利潤差

圖6: 例3 第四次預測

圖7: 例3 第五次預測

5 總結(jié)

本文以單周期多產(chǎn)品報童問題為背景，在訂購能力約束及SSD 約束下進行建模．對SAA 問題進行收斂性分析并通過切平面法對SAA 問題進行求解．以風險中性模型(模型(1))及風險厭惡模型(MV 模型)為參照下，通過樣本外預測表明了SSD 模型的優(yōu)越性．SSD 模型具有良好的風險規(guī)避性，決策者可以該模型的訂購策略作為自身決策的評價和基準，具有重要的現(xiàn)實意義．基于本文的研究可以繼續(xù)探討多產(chǎn)品多周期的情形，以及風險厭惡條件下多級供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)等．