徐思華，彭小強(qiáng)，鐵貴鵬，陳善勇，熊玉朋

（1.國防科技大學(xué) 裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙 410073；2.國防科技大學(xué) 智能科學(xué)學(xué)院機(jī)電工程研究所兼國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙 410073；3.超精密加工湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙 410073）

引言

隨著光學(xué)儀器應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)展，溫度適應(yīng)性成為衡量其性能的重要指標(biāo)。機(jī)械被動(dòng)式、機(jī)械主動(dòng)式以及光學(xué)被動(dòng)式消熱差方法常被用于光學(xué)系統(tǒng)無熱化設(shè)計(jì)[1-2]，但穩(wěn)定性、結(jié)構(gòu)復(fù)雜性、準(zhǔn)確性等問題限制了前兩種方法的應(yīng)用，光學(xué)被動(dòng)式消熱差方法在解決光學(xué)系統(tǒng)熱問題上有著明顯優(yōu)勢(shì)[3]。溫度變化對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的影響主要體現(xiàn)在光學(xué)元件幾何參數(shù)、鏡組間距和透鏡折射率的變化上[4-5]，而反射系統(tǒng)的溫度特性只表現(xiàn)為前兩項(xiàng)。因反射系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)較少，溫度特性較為簡(jiǎn)單，采用同質(zhì)材料（光學(xué)元件、支撐結(jié)構(gòu)和鏡筒等均為同一材料）的反射系統(tǒng)具有無熱差特性[6]。國內(nèi)外研究重點(diǎn)始終聚焦于透射系統(tǒng)的無熱化[7-11]，對(duì)純反射系統(tǒng)的溫度特性鮮有報(bào)道，已有的研究也僅限于卡塞格林系統(tǒng)[12]，以及反射系統(tǒng)的材料選擇與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[13-15]，而在光學(xué)原理上缺乏相應(yīng)完整的熱性質(zhì)模型。同時(shí)，熱變形對(duì)于從本質(zhì)理解反射系統(tǒng)溫度特性具有十分重要的意義。因此，本文將熱變形的特征及其具體計(jì)算方法與反射系統(tǒng)熱差特性相結(jié)合，以期更好地表征后者的性質(zhì)。

1 熱變形的特征及計(jì)算方法

反射鏡的溫度效應(yīng)表現(xiàn)為幾何參數(shù)的改變，同時(shí)熱變形也是光學(xué)系統(tǒng)熱分析的基礎(chǔ)，因此，有必要對(duì)熱變形問題進(jìn)行相應(yīng)介紹。線性熱膨脹系數(shù)：

式中： ΔL為材料形變量；L為材料原始長度； ΔT為溫度變化量，表征了特定材料在特定溫度下由單位溫度變化引起的單位長度量值的變化。

現(xiàn)考察任意形狀物體的熱變形情況。如圖1所示，以曲線右端點(diǎn)(x1,y1)為對(duì)象，從“投影”視角可知，當(dāng)該物體經(jīng)歷 ΔT的均勻溫度變化后，有：

同理，從“分割”視角可知，有：

式中：dLxi=Lcosθ/n；dLyi=Lsinθ/n；n表示分割份數(shù)。該曲線上任意一點(diǎn)熱變形后的坐標(biāo)值均可由以上兩種方法進(jìn)行計(jì)算，且結(jié)果相同。若取坐標(biāo)系2 為參考系，則同一點(diǎn)的新坐標(biāo)變?yōu)?x1+b,y1+c)，熱變形后的坐標(biāo)變?yōu)?x1+x1αΔT+b+bαΔT,y1+y1αΔT+c+cαΔT)?？梢钥闯?，在不同坐標(biāo)系下曲線上同一點(diǎn)受熱變形的區(qū)別僅是坐標(biāo)系不同帶來的平移，曲線所處坐標(biāo)系的不同與反射鏡背部結(jié)構(gòu)的不同是等價(jià)的。又因同質(zhì)材料的反射鏡在熱變形中處于自由狀態(tài)，所以反射鏡光學(xué)面的熱變形與反射鏡背部結(jié)構(gòu)無關(guān)，當(dāng)反射鏡的材料和初始面形確定，面形自身受熱改變的情況就已確定。

圖1 熱變形計(jì)算示意圖Fig.1 Schematic diagram of thermal deformationcalculation

由上述分析可知，對(duì)于反射鏡光學(xué)面上任意一點(diǎn)(x,y) ，其熱變形后的坐標(biāo)為(x+xαΔT,y+yαΔT)，通過變量替換法將x=x′/(1+αΔT)，y=y′/(1+αΔT)代入原面形方程便可得到該反射鏡熱變形后的面形方程。

至此，我們對(duì)熱變形進(jìn)行了描述，給出了求解線性熱膨脹理論且無約束條件下的熱變形方法，并得到以下結(jié)論：

1）熱變形的特征可用“投影”和“分割”兩種視角理解，且“分割”就是微觀的“投影”；

2）可對(duì)物體上任意一點(diǎn)熱變形后的坐標(biāo)值進(jìn)行正交分解，分解結(jié)果只與該點(diǎn)與參考點(diǎn)在x和y向的投影或分割長度有關(guān)，所以反射鏡光學(xué)面熱變形只與其初始光學(xué)面形狀、溫差和材料熱膨脹系數(shù)有關(guān)，而背部結(jié)構(gòu)只是對(duì)該光學(xué)面產(chǎn)生平移效果；

3）反射鏡面形由方程式表征后，熱變形對(duì)應(yīng)方程的改變可用變量替換法計(jì)算，且建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系有利于簡(jiǎn)化計(jì)算。

2 反射系統(tǒng)的焦點(diǎn)溫度特性

通過上述分析，以熱變形的特征及其計(jì)算方法為基礎(chǔ)，開展對(duì)反射系統(tǒng)溫度特性的研究。焦點(diǎn)的偏移是光學(xué)系統(tǒng)熱特性的重要體現(xiàn)，當(dāng)焦平面與實(shí)際像面偏移量超過系統(tǒng)焦深時(shí)，成像質(zhì)量便急劇惡化，因此，熱離焦成為研究反射系統(tǒng)溫度特性的關(guān)鍵問題?，F(xiàn)以焦點(diǎn)為研究對(duì)象，從單反射鏡的焦點(diǎn)溫度特性出發(fā)，依次考察共軸反射系統(tǒng)、離軸反射系統(tǒng)的焦點(diǎn)溫度特性，從而得出針對(duì)反射系統(tǒng)熱特性的一般結(jié)論。

2.1 單反射鏡的焦點(diǎn)溫度特性

如圖2 所示，由光學(xué)原理可知，該反射鏡焦距f′=r/2 ，焦點(diǎn)為F′，假設(shè)其熱膨脹系數(shù)為 α，當(dāng)經(jīng)歷ΔT的均勻溫度變化后，發(fā)生如圖2 所示的熱變形。以焦距f′等 于后焦距l(xiāng)F′，因此有：

圖2 單反射鏡焦點(diǎn)溫度特性Fig.2 Focus temperature characteristics of single mirror

因反射鏡的主平面始終與反射鏡頂點(diǎn)重合，所

圓熱變形后依然是圓（可通過變量替換法證明），其熱變形只體現(xiàn)在半徑值的線性改變上，于是從“幾何”角度可知，反射鏡熱變形后的焦距即是其新半徑值的一半，即：

又因r本身就是溫度的函數(shù)，蘊(yùn)含了焦點(diǎn)的溫度特性信息，則從“解析”角度，將（3）式對(duì)溫度T求（ α為反射鏡熱膨脹系數(shù)）得：導(dǎo)并代入

式（4）與式（5）便是單反射鏡的焦點(diǎn)溫度特性?？梢园l(fā)現(xiàn)“幾何”和“解析”兩種角度的計(jì)算結(jié)果一致，但后者更適合處理復(fù)雜反射系統(tǒng)。

若不考慮像差，實(shí)際像面應(yīng)與焦平面重合，則對(duì)單反系統(tǒng)而言，有l(wèi)BF=f′=lF′，lBF表示后截距。若結(jié)構(gòu)件與反射鏡熱膨脹系數(shù)均為 α，則以反射鏡光學(xué)面頂點(diǎn)為參考，像面的位移量ΔlBF=lBFαΔT，故熱平衡后的后截距有如下關(guān)系：

式（6）表明因反射鏡熱變形引起的焦點(diǎn)位移量與原焦距對(duì)應(yīng)鏡筒的熱膨脹量完全一致，即鏡筒的熱變形恰好對(duì)焦距的改變進(jìn)行了補(bǔ)償，所以焦平面在溫度變化過程中將始終與實(shí)際像面重合，對(duì)于同質(zhì)材料單反射系統(tǒng)而言不存在熱差。

2.2 共軸反射系統(tǒng)的焦點(diǎn)溫度特性

對(duì)于如圖3 所示的共軸雙反系統(tǒng)，給出其等效高斯光學(xué)系統(tǒng)圖，如圖4 所示。

圖3 共軸雙反系統(tǒng)Fig.3 Coaxial double-reflector system

圖4 雙反射系統(tǒng)等效高斯示意圖Fig.4 Equivalent Gaussian diagram of dual reflective system

圖4 中H表示主平面，S表示反射鏡頂點(diǎn)間距。對(duì)于以上系統(tǒng)有：

式中： φ1、φ2分別表示反射鏡1 和反射鏡2 的光焦度； φ表示系統(tǒng)總光焦度。合并上述兩式并寫成焦距形式得：

同理，將（7）式對(duì)溫度T求導(dǎo)可得：

式中： αq表示結(jié)構(gòu)件熱膨脹系數(shù)； α表示兩反射鏡的熱膨脹系數(shù)。故在經(jīng)歷 ΔT的均勻溫度變化后，該系統(tǒng)后焦距的改變量為

后截距的改變量為

聯(lián)立（8）式和（9）式可解得該系統(tǒng)由均勻溫度變化引起的熱離焦：

從（10）式可以看出，當(dāng)α=αq時(shí) ，TG=0，即同質(zhì)材料共軸雙反系統(tǒng)是無熱差的。

因?yàn)楣草S雙反系統(tǒng)后截距l(xiāng)BF隨溫度的變化是線性的，即ΔlBF是線性的，而后焦距l(xiāng)F′隨溫度的變化與后截距保持一致，這說明可以用一個(gè)曲率半徑為r0=2lBF=2lF′的反射鏡（編號(hào)為0）代替圖4 所示的雙反系統(tǒng)，則它們?cè)诮裹c(diǎn)的溫度特性上是完全等價(jià)的，等效過程如圖5 所示。

圖5 單、雙反射系統(tǒng)等效示意圖Fig.5 Equivalent diagram of single and dual reflectivesystem

同理，對(duì)于如圖6 所示的共軸三反系統(tǒng)，按照?qǐng)D5 所示過程將前2 個(gè)反射鏡等效為一個(gè)反射鏡（編號(hào)為0）后再與第3 個(gè)反射鏡組合為等效的共軸雙反系統(tǒng)，其后焦距l(xiāng)F′的計(jì)算方法與雙反系統(tǒng)的完全一致，于是可以得到同樣的無熱差結(jié)論。采用類比的方法，用單反射鏡代替多反射鏡系統(tǒng)，再與新加入的反射鏡組成針對(duì)后焦距而言的“共軸雙反系統(tǒng)”，可得到同樣的無熱差結(jié)論，如果分組組合結(jié)果也相同。至此，我們便得到了同質(zhì)材料共軸反射系統(tǒng)在均勻溫度變化條件下無熱差的結(jié)論。

圖6 三、雙反射系統(tǒng)等效示意圖Fig.6 Equivalent diagram of three and dual reflective system

2.3 離軸反射系統(tǒng)的焦點(diǎn)溫度特性

對(duì)于離軸的純反射系統(tǒng)，依然從單反射鏡開始分析。如圖7 所示，半徑為r的單反射鏡與光軸夾角為θ。

圖7 單反離軸系統(tǒng)焦點(diǎn)溫度特性Fig.7 Focus temperature characteristics of single reflective off-axis system

定義反射鏡幾何焦點(diǎn)為FJ′，F(xiàn)J′到反射鏡頂點(diǎn)O的 距離稱為幾何焦距或幾何后焦距，用符號(hào)lFJ′表示，則垂直于反射鏡軸線并過反射鏡幾何焦點(diǎn)FJ′的平面定義為幾何焦平面，用符號(hào)HJ′表示。根據(jù)光學(xué)原理可知，過反射鏡頂點(diǎn)O的平行入射光線與幾何焦平面HJ′的 交點(diǎn)即為像方焦點(diǎn)F′，故對(duì)圖7 所示的單反系統(tǒng)有：

因 θ在熱變形中不會(huì)改變，將后焦距即（11）式對(duì)溫度求導(dǎo)，有：

后截距l(xiāng)BF=lF′，所以離軸的單反系統(tǒng)依然是無熱差的。對(duì)于離軸多反系統(tǒng)，將其幾何焦點(diǎn)的性質(zhì)投影到光軸上來，并采用類似共軸多反系統(tǒng)的證明方法即可證明其具有無熱差特性。

通過上述推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)，均勻溫度變化過程中反射系統(tǒng)焦點(diǎn)的位移或后焦距的改變只與反射系統(tǒng)材料的熱膨脹系數(shù)有關(guān)，所以在無約束的理想狀態(tài)下“同質(zhì)材料”可理解為相同熱膨脹系數(shù)的材料。但在實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)中，常見的“同質(zhì)材料”還是同種材料，最常用的便是鋁合金。在溫度變化不大的情況下，熱膨脹系數(shù)相近的不同材料也近似滿足“同質(zhì)材料”條件，比如熔融石英和殷鋼兩種材料的組合。

3 驗(yàn)證實(shí)例與討論

現(xiàn)以如圖8 所示的紅外離軸三反系統(tǒng)驗(yàn)證上述結(jié)論，該系統(tǒng)材料均為AL6061，故其熱膨脹系數(shù)α=23×10-6/°C。該離軸三反系統(tǒng)在設(shè)計(jì)時(shí)并未進(jìn)行過熱優(yōu)化。

圖8 離軸三反系統(tǒng)原理圖Fig.8 Schematic diagram of off-axis three-reflector system

由于反射鏡在Zemax 軟件中沒有材料屬性，故利用“跟隨”命令和添加虛擬面的方法為反射鏡賦予材料屬性。在完成鏡組空氣間隔熱膨脹系數(shù)設(shè)置后，建立-60 ℃、20 ℃、100 ℃ 3 個(gè)溫度組態(tài)進(jìn)行熱分析，查看其在各個(gè)溫度組態(tài)下的彌散斑大小和傳遞函數(shù)，結(jié)果如圖9 和圖10 所示。

圖9 離軸三反系統(tǒng)彌散斑Fig.9 Dispersion spot of off-axis three-reflector system

從圖9 可以看出系統(tǒng)彌散斑在各個(gè)視場(chǎng)和溫度下基本都在艾里斑內(nèi)（艾里斑半徑9.754 μm），圖10 表明各溫度下系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在70 lp/mm截止頻率處均大于0.2，且在各個(gè)溫度下傳遞函數(shù)基本保持一致。綜上所述，該離軸三反系統(tǒng)擁有良好的溫度適應(yīng)性。

圖10 離軸三反系統(tǒng)傳遞函數(shù)Fig.10 Transfer functions of off-axis three-reflector system

現(xiàn)分析該離軸三反系統(tǒng)后焦距隨溫度的變化情況，結(jié)果如圖11 所示。其中-60℃溫度條件下該系統(tǒng)后焦距為749.434 2 mm，而100 ℃時(shí)為752.197 2 mm，從圖11 可以看出，其呈現(xiàn)明顯的線性性質(zhì)，圖中直線的斜率同20 ℃時(shí)系統(tǒng)初始后焦距（750.815 7 mm）的比值與反射系統(tǒng)材料熱膨脹系數(shù)一致，表明在設(shè)計(jì)溫度20 ℃下，若像面與焦平面重合，則在整個(gè)溫度區(qū)間焦平面將與像面始終保持重合，驗(yàn)證了同質(zhì)材料反射系統(tǒng)無熱差的結(jié)論。

圖11 離軸三反系統(tǒng)后焦距變化Fig.11 Change in back focal length of off-axis threereflector system

因同質(zhì)材料結(jié)構(gòu)在均勻溫度變化過程中不存在約束應(yīng)力，可以得到同質(zhì)材料反射系統(tǒng)在光學(xué)原理和機(jī)械結(jié)構(gòu)上都具有無熱化特性的結(jié)論。因此，同質(zhì)材料反射系統(tǒng)在溫度適應(yīng)性上具有明顯優(yōu)勢(shì)。同時(shí)，反射系統(tǒng)還具有無色差和能量衰減率低的特點(diǎn)，適用于遠(yuǎn)距離目標(biāo)搜索[16]。

4 結(jié)論

本文探討了同質(zhì)材料反射系統(tǒng)熱特性問題，表明用“投影”和“分割”兩種視角可以很好地幫助光學(xué)設(shè)計(jì)人員理解無約束狀態(tài)下鏡面變形與反射鏡背部結(jié)構(gòu)無關(guān)的結(jié)論，變量替換法能夠快速計(jì)算出反射鏡在經(jīng)歷均勻溫度變化后的面形。驗(yàn)證實(shí)例表明，當(dāng)反射鏡與鏡筒等結(jié)構(gòu)件采用同一材料時(shí)，機(jī)械結(jié)構(gòu)可對(duì)反射系統(tǒng)因后焦距改變而產(chǎn)生的熱離焦進(jìn)行補(bǔ)償，使得同質(zhì)材料反射系統(tǒng)不存在熱像差，保證了其在較大溫差范圍內(nèi)具有良好的成像質(zhì)量。