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        復(fù)平面加權(quán)Banach空間及Bloch型空間上的Volterra型算子

        2020-03-05 07:09:34林慶澤

        林慶澤

        (廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510520)

        0 引 言

        用H(C)表示復(fù)平面C 上所有整函數(shù)(entire function)組成的函數(shù)空間,

        對(duì)于任一g∈H(C),定義Volterra 型算子Sg如下:

        與Sg相伴而生的另一個(gè)算子是:

        在復(fù)平面單位圓盤上,Pommerenke[1]首次研究Tg算子在Hardy 空間H2上的有界性,并刻畫了其與BMOA 函數(shù)的指數(shù)之間的聯(lián)系.而關(guān)于Tg算子以及Sg算子在一般的Hardy空間Hp(0<p<∞)、Bergman 空間Ap(0<p<∞)以及其它一些空間(包括加權(quán)Dirichlet空間等)上的有界性和緊性的刻畫可參考文獻(xiàn)[2-8].而在整個(gè)復(fù)平面上,Constantin 在文獻(xiàn)[9]中首次研究了Tg算子在Fock 空間上的有界性和緊性.接著,Constantin 和Pelaez在文獻(xiàn)[10]中研究Tg算子在更一般的加權(quán)Fock 空間上的有界性和緊性等問題.

        Lin 最近在文獻(xiàn)[11,18]中刻畫了Tg算子以及Sg算子在復(fù)平面單位圓盤上的加權(quán)Banach 空間以及Bloch 型空間上的有界性及緊性,推廣了Smith 等人在文獻(xiàn)[12]中的成果.Bonet 和Taskinen 在文獻(xiàn)[13]中研究了Tg算子在復(fù)平面上加權(quán)Banach 空間上的有界性和緊性問題,本文研究Sg算子在復(fù)平面上加權(quán)Banach 空間以及Bloch 型空間上的有界性和緊性問題,給出其充要性的刻畫.

        1 預(yù)備知識(shí)

        定義1如果函數(shù)v(r):[0,+∞)→(0,+∞)是單調(diào)遞減的且滿足對(duì)于任意的正整數(shù)N,都有則稱函數(shù) v(r)為權(quán)函數(shù).對(duì)于復(fù)數(shù)z,定義

        定義2權(quán)函數(shù)v 的關(guān)聯(lián)權(quán)(associated weight)的定義如下:

        其中δz表示點(diǎn)z的點(diǎn)估值泛函.

        定義3權(quán)函數(shù)v 是本性的(essential)的,如果存在C>0 使得對(duì)于任意的z∈C,都有

        一個(gè)權(quán)v 是本性的當(dāng)且僅當(dāng)存在C>0 使得對(duì)于任意的z0∈C,存在向量使得

        受文獻(xiàn)[11,15]的啟發(fā),我們將Sg算子在復(fù)平面上加權(quán)Banach 空間以及Bloch 型空間上的有界性和緊性問題轉(zhuǎn)化為乘法算子

        在對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上加權(quán)Banach 空間的有界性和緊性問題.下面兩個(gè)引理給出了乘法算子Mg在復(fù)平面上加權(quán)Banach 空間之間的有界性和緊性的刻畫.

        引理1[13]若v 和μ 都為權(quán)函數(shù),則對(duì)于給定的g∈H(C),以下條件相互等價(jià):

        引理2[13]若v 和μ 都為權(quán)函數(shù),則對(duì)于給定的g∈H(C),以下條件相互等價(jià):

        2 Volterra型算子Sg的有界性及緊性

        在這一節(jié)里,我們將刻畫Volterra 型算子Sg在復(fù)平面上加權(quán)Banach 空間以及Bloch 型空間上的有界性和緊性的充要條件.

        定理 1令 μ1和 μ2都為權(quán)函數(shù),且存在 rφj>0 使得 φj:=1/μj在[rφj,∞)上屬于 C2類,其中j=1,2.令φ'(rφj)>0 且φj'在[rφj,∞)是單調(diào)遞增的并滿足:對(duì)于任意正整數(shù)n,都有若 μ1是本性的,則對(duì)于給定的g∈H(C),以下條件相互等價(jià):

        證明記

        則μφj也是權(quán)函數(shù).由文獻(xiàn)[13]的命題3.1 及命題3.2 可知,在定理1 所給定的條件下,積 分算子以及微分算子都是有界的.同樣地,積 分 算 子以及微分算子都是有界的.由于有關(guān)系式 Sg=TzMgDz以及 Mg=DzSgTz,故是有界的當(dāng)且僅當(dāng)是有界的,同樣地,是有界的當(dāng)且僅當(dāng)是有界的.而由于μ1是本性的,根據(jù)引理1,是有界的當(dāng)且僅當(dāng)是有界的,當(dāng)且僅當(dāng)也就是當(dāng)且僅當(dāng)證畢.

        類似于定理1 的證明過程,我們可以得到下面幾個(gè)定理.

        定理 2令 μ1和 μ2都為權(quán)函數(shù),且存在 rφj>0 使得 φj:=1/μj在[rφj,∞)上屬于 C2類,其中j=1,2.令φ'(rφj)>0 且φj'在[rφj,∞)是單調(diào)遞增的并滿足:對(duì)于任意正整數(shù)n,都有若 μ1是本性的,則對(duì)于給定的g∈H(C),以下條件相互等價(jià):

        定理3若v 和μ 都為權(quán)函數(shù),則對(duì)于給定的g∈H(C),以下條件相互等價(jià):

        定理4 若v 和μ 都為權(quán)函數(shù),則對(duì)于給定的g∈H(C),以下條件相互等價(jià):

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