馬婕

【摘 要】整體思維是數(shù)學(xué)思維的重要形式。本文就整體思維在小學(xué)數(shù)學(xué)中的一系列表現(xiàn)，如：整體代入、整體聯(lián)想、整體替換等。突出在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中整體思維的重要性，并對(duì)其進(jìn)行了簡(jiǎn)單的探討。

【關(guān)鍵詞】整體思維;整體聯(lián)想;整體構(gòu)造

在整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)進(jìn)行很多的思維活動(dòng)，如：數(shù)形結(jié)合、發(fā)散思維、推理能力等，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的眼光解決問題，而整體思維就是其中不可或缺的一種。通過對(duì)整體思維的學(xué)習(xí)，孩子不僅可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題方法的多樣，也可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美;在平常生活中，整體思維好的孩子，也能從整體、從大局著手處理問題，不是只看問題的局部或個(gè)體。因此，研究整體思維在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，顯得極其重要。

一、整體思維的定義

整體思維在辯證法中，又叫做系統(tǒng)思維，它認(rèn)為事物是由各個(gè)局部按照一定的秩序組織起來的整體，在解決問題時(shí)人們應(yīng)該持有整體或者全面的觀點(diǎn)，不能以偏概全。

在數(shù)學(xué)中，整體思維又被稱為整體思想，就是要求我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)該從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，善于用整體、全面的眼光，把握各方面的關(guān)聯(lián)，將問題作為一個(gè)整體去思考，尤其突出對(duì)問題整體結(jié)構(gòu)的分析，從而抓住問題的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的探索，從而找到解決問題的途徑。

整體思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中一直存在，從我們小學(xué)學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)與求值，到初中學(xué)習(xí)的解方程組，再到高中學(xué)習(xí)的等差等比數(shù)列，從代數(shù)到幾何……可以說，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，整體思維是學(xué)生應(yīng)該具備的一種最基本的思維。

二、整體思維的主要表現(xiàn)形式

整體思維在小學(xué)的主要表現(xiàn)形式有：整體代入、整體替換、整體配對(duì)、整體聯(lián)想等。

（一）整體代入，簡(jiǎn)化計(jì)算

整體代入法：在解決問題時(shí)，將題目中的已知條件或者一些式子重新組合看做一個(gè)“整體”，并把這個(gè)“整體”直接代入其他式子，從而方便解題，簡(jiǎn)化計(jì)算，避免運(yùn)算的繁瑣和困難。

【例1】□+△=9，□+△+△+△=17，那么□=（? ），△=（? ? ）。

分析：仔細(xì)觀察這兩個(gè)式子，若要從已知條件直接求出□和△的值，雖然可以，從1+8=9、2+7=9、3+6=9、4+5=9，把這些數(shù)一一對(duì)應(yīng)，直到算出結(jié)果，可以算出但會(huì)有點(diǎn)煩，而細(xì)心的同學(xué)可以發(fā)現(xiàn)，如果把□+△=9看作一個(gè)整體，再整體代入后一個(gè)式子，得到9+△+△=17，得出兩個(gè)三角形的和是8，一個(gè)三角形就是4，再次帶回第一個(gè)式子，可以得出正方形是5，從而得出答案。

（二）整體替換，轉(zhuǎn)換思維

整體替換法：在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們可以將題目中某個(gè)式子或者部分，用其他形式來表示，替換掉原來的式子或部分，轉(zhuǎn)換思維，更方便解決問題。

【例2】學(xué)校買來5個(gè)足球和10個(gè)籃球，共計(jì)550元。每個(gè)足球比籃球便宜10元，每個(gè)足球多少元？籃球呢？

分析：這是一道很簡(jiǎn)單但也很典型的整體替換。由已知條件，我們可以把籃球全部替換成足球，或者把足球全部替換成籃球。假設(shè)買的全部是籃球，一共買了15個(gè)籃球，5個(gè)足球替換成5個(gè)籃球，需要補(bǔ)50元，那么15個(gè)籃球一共550+50=600（元），那么每個(gè)籃球價(jià)格：600÷15=40（元），每個(gè)足球價(jià)格：40-10=30（元）。足球與籃球的互相替換，成功解決了問題，將難題簡(jiǎn)單化。

【例3】一個(gè)籠子可以容納18只同樣大小的鵝和9只同樣大小的鴨，或者容納14只同樣大小的鵝和15只同樣大小的鴨。如果這個(gè)籠子專門用來裝鵝，最多可以裝幾只鵝？

分析：此題如果直接去求解，因?yàn)闆]有給出鵝和鴨的關(guān)系，會(huì)不知道怎么去求解。但如果我們能把兩個(gè)條件中鵝和鴨的關(guān)系看成一個(gè)整體，即：18只鵝的體重+9只鴨的體重=14只鵝的體重+15只鴨的體重，兩邊減去同樣的14只鵝的體重和9只鴨的體重，那就可以求出4只鵝的體重=6只鴨的體重，兩邊同時(shí)減半，2只鵝的體重=3只鴨的體重，這時(shí)候問題就明了了，將鴨轉(zhuǎn)換為鵝，9里面有3個(gè)3，而3只鴨等于2只鵝，所以9只鴨的體重等于6只鵝的體重，整體替換回到第一個(gè)條件，18+6=24（只），所以最多可以裝24只鵝。整體替換，將鴨與鵝互相轉(zhuǎn)換，使題目簡(jiǎn)單明了。

（三）整體配對(duì)，尋找規(guī)律

整體配對(duì)法：在解決一些排列有規(guī)律的式子時(shí)，我們可以首尾配對(duì)，或者交叉配對(duì)等，構(gòu)成一個(gè)新的整體，尋找并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，簡(jiǎn)便題目的運(yùn)算，從而求出結(jié)果。

【例4】1+2+3+4+……+100

分析：這是著名的數(shù)學(xué)家高斯，7歲時(shí)解決的題目。剛看題目，不知道如何下手，但仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)題目的首尾是很有規(guī)律，且首尾項(xiàng)的和均為101，1+100=101，2+99=101……50+51=101。進(jìn)而我們可以嘗試整體配對(duì)的方法，通過找出首尾項(xiàng)的規(guī)律，從而首尾配對(duì)求和，從1加到100有50組這樣的數(shù)，所以50×101=5050。

【例5】1+2-3+4+5-6+……+58+59-60+61+62

分析：看到這個(gè)題目時(shí)，我們首先從整體著眼，可以發(fā)現(xiàn)所求式子很有規(guī)律，兩個(gè)“+”，一個(gè)“-”，那我們可以3個(gè)數(shù)配對(duì)，也就是

1+2-3+4+5-6+……+58+59-60+61+62

=（1+2-3）+（4+5-6）+（7+8-9）+……+（58+59-60）+61+62

=0+3+6+……+57+61+62

=（0+57）×20÷2+61+62

=570+61+62

=693

（四）整體聯(lián)想，猜測(cè)論證

整體聯(lián)想法，在解題時(shí)尋求不同知識(shí)體系的內(nèi)在聯(lián)系，從分析問題的整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，大膽的猜想，進(jìn)而論證猜測(cè)，從而使問題的解決變得有據(jù)可循。

【例6】3×3的方格中，分別寫有0-8的數(shù)字，豎著讀時(shí)看做是由這三個(gè)數(shù)字組成的整數(shù)，橫著讀時(shí)，也看做是由這三個(gè)數(shù)字組成的整數(shù)，如下圖：豎著讀時(shí)，3個(gè)數(shù)分別是：36、147、258

橫著讀時(shí)，3個(gè)數(shù)分別是：12、345、678

現(xiàn)在，請(qǐng)?jiān)谧筮叺姆礁裰袑懭?-8這9個(gè)數(shù)字，其中0、2、6已經(jīng)填入方格中，使豎著讀和橫著讀時(shí)的三個(gè)數(shù)的和相等。

分析：依據(jù)常規(guī)，學(xué)生拿到題目肯定會(huì)覺得不知道怎么做，需要學(xué)生先理解、再思考，一個(gè)個(gè)試肯定不可以，這時(shí)候?qū)W生應(yīng)該學(xué)會(huì)觀察思考，整體聯(lián)想，去猜測(cè)。為了方便，先在右圖中用字母表示空格。

這時(shí)候橫著讀為：AB0、C2D、6EF;豎著讀為：AC6、B2E、DF。其中A和F分別在百位和個(gè)位，不影響和的大小，可以不分析。整體聯(lián)想AB0+C2D+6EF=AC6+B2E+DF，只看百位A+C+6=A+B，合理猜測(cè)（1）C+6=B（2）C+6比B多1（3）C+6比B小1，有了合理的猜想，接下來一一驗(yàn)證就可以。

第一種情況只有C=1，B=7，此時(shí)表格如右圖，看十位7+2+E得數(shù)肯定大于10，相應(yīng)的1+2+D也要大于10，D只能為8，而E=2與已知矛盾。

第二種情況C+6比B多1，則C=3，B=8，如左圖。此時(shí)十位上8+2+E=3+2+D，由于8+2=10，與假設(shè)的不進(jìn)位矛盾，所以不成立。

第三種情況C+6比B小1。C=1，B=8。此時(shí)觀察十位，只能D=3，E=7。

這時(shí)只有4、5，任意帶入發(fā)現(xiàn)都可以。480+123+675=416

+827+35=1278

580+123+674=516+827+34=1377

在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們必須注重對(duì)學(xué)生整體思維的培養(yǎng)，這樣不僅可以幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)題目，更能夠培養(yǎng)學(xué)生在生活中，樹立整體的思維，用全面的辯證的眼光去看待和解決問題。因此，整體思維的培養(yǎng)，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂是極其重要的。

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