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        歐美理論力學(xué)教材中的運(yùn)動(dòng)學(xué)

        2020-03-02 17:06:13陳立群
        力學(xué)與實(shí)踐 2020年6期
        關(guān)鍵詞:教材

        陳立群

        (哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)理學(xué)院力學(xué)系,廣東深圳518055)

        理論力學(xué)是高校機(jī)械、土木、航空、航天等工程專業(yè)的重要基礎(chǔ)課。我國(guó)稱為理論力學(xué)的課程,在北美被稱為工程力學(xué)。該門課程在俄羅斯和部分東歐國(guó)家仍稱為理論力學(xué)或一般力學(xué),而在西歐兩種叫法都有,但工程力學(xué)的叫法越來越普遍。即使由白俄羅斯高校舉辦的國(guó)際性理論力學(xué)競(jìng)賽,也稱為國(guó)際工程力學(xué)競(jìng)賽。北美工程力學(xué)教材包括靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)兩大部分。在動(dòng)力學(xué)(dynamics)中,運(yùn)動(dòng)學(xué)(kinematics)和動(dòng)理學(xué)(kinetics)交替而非依次展開,分別對(duì)應(yīng)著國(guó)內(nèi)理論力學(xué)教材中的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)。由于國(guó)內(nèi)的絕大多數(shù)教材都把運(yùn)動(dòng)學(xué)作為相對(duì)獨(dú)立部分,本文專門討論歐美理論力學(xué)教材中對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)內(nèi)容的處理。

        教學(xué)體系的形成通常有漫長(zhǎng)的演化過程。現(xiàn)在仍大體上沿用的工程力學(xué)教學(xué)體系,是鐵摩辛柯在美國(guó)開創(chuàng),逐漸影響英國(guó)和歐洲大陸的。本文先通過簡(jiǎn)述10部法國(guó)、英國(guó)、德國(guó)、俄國(guó)、美國(guó)著名學(xué)者所寫教材的相關(guān)部分,展示工程力學(xué)傳統(tǒng)形成之前對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)的處理。然后以7部典型美國(guó)教材、2部德國(guó)教材和1部俄國(guó)教材為例,說明歐美教材中運(yùn)動(dòng)學(xué)的內(nèi)容與體系,并具體分析這些外國(guó)教材可供參考和借鑒之處。

        1 早期理論力學(xué)教材中的運(yùn)動(dòng)學(xué)

        雖然一些具體的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題早有研究,但運(yùn)動(dòng)學(xué)作為獨(dú)立學(xué)科卻創(chuàng)立得很晚。1834年,物理學(xué)家安培(Andr′e-Marie Amp`ere,1775-1836)發(fā)表科學(xué)哲學(xué)論文,討論了學(xué)科分類;他提議將“運(yùn)動(dòng)學(xué)”(法文cin′ematique)作為力學(xué)的獨(dú)立部分,只關(guān)注運(yùn)動(dòng)特性而不考慮產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的原因。1835年科里奧利(Gustave Gaspard Coriolis,1792-1843)在分析轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的附加動(dòng)力學(xué)效應(yīng)時(shí),蘊(yùn)涵著運(yùn)動(dòng)學(xué)中的加速度合成定理。至此運(yùn)動(dòng)學(xué)的理論臻于完善。運(yùn)動(dòng)學(xué)隨后的發(fā)展主要是在機(jī)器和機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用。1841年出版的威利斯(Robert Willis,1800-1875)的著作《機(jī)構(gòu)原理》(Principles of Mechanism)建立了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的的基礎(chǔ)。運(yùn)動(dòng)學(xué)在1875年出版的勒洛(Franz Reuleaux,1829-1905)的著作《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》(Theoretische Kinematik)中得到進(jìn)一步的發(fā)展。至此運(yùn)動(dòng)學(xué)基本發(fā)展成為力學(xué)的完整分支學(xué)科。

        早期的理論力學(xué)教材全貌需要力學(xué)史專家進(jìn)行發(fā)掘才有可能再現(xiàn),筆者無意在此進(jìn)行這項(xiàng)工作。本文重點(diǎn)以武際可先生列舉的力學(xué)名著[1]的作者為線索,考察出自他們之手的足以代表當(dāng)時(shí)最高水準(zhǔn)的6部理論力學(xué)教材。由于名著涉及的德國(guó)和美國(guó)作者較少,因此增加了3種德文教材和標(biāo)志美國(guó)工程力學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)形成的2部教材。這樣,法、英、俄、德、美5國(guó)的教材大致反映了早期理論力學(xué)教材的全貌。

        在安培提議之前,教材中都只有靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)兩部分。影響很大的早期教材是泊松(Simeon-Denis Poisson,1781-1840)撰寫的《力學(xué)教程》(Trait′e de M′ecanique,1811年第一版,1833年第二版)[2]。該書是100篇重要文獻(xiàn)之一,其中靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)單獨(dú)成篇,運(yùn)動(dòng)學(xué)只涉及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),是動(dòng)力學(xué)的一部分。

        目前運(yùn)動(dòng)學(xué)作為一個(gè)獨(dú)立教學(xué)部分最早的記錄,是在1836年至1839年間,彭賽列(Jean-Victor Poncelet,1788-1867)在巴黎綜合工科學(xué)校講授力學(xué)[3]。筆者所見最早的運(yùn)動(dòng)學(xué)為力學(xué)獨(dú)立部分是1888年出版的湯姆遜(Sir William Thomson,1824-1907)和臺(tái)特(Peter Guthrie Tait,1831-1901)的專著《自然哲學(xué)專論》[4]。該書是100篇重要文獻(xiàn)之一,其中第一章為運(yùn)動(dòng)學(xué),包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體運(yùn)動(dòng)。但該書是專著而不是教材,1872年兩位作者也出版了力學(xué)教材《自然哲學(xué)基礎(chǔ)》[5]。該書第一章為運(yùn)動(dòng)學(xué),只敘述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。對(duì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)引入了速度和加速度的概念,并分析了勻加速運(yùn)動(dòng);也引入了角速度和角加速度的概念,但沒有采用剛體模型,而是用動(dòng)點(diǎn)與固定點(diǎn)連線的方式;用幾何的方法討論了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及其疊加;具體討論了旋輪線等多種動(dòng)點(diǎn)軌跡;最后通過例子解釋了自由度和約束的概念。值得一提的是,該書作者認(rèn)為力學(xué)(mechanics)是誤用,應(yīng)該叫動(dòng)力學(xué)(dynamics)。按牛頓的本意,力學(xué)是關(guān)于機(jī)器的科學(xué)及其制造的藝術(shù)(the science of machines,and the art of making them)。而現(xiàn)在所稱的動(dòng)力學(xué)為動(dòng)理學(xué)(kinetics)。這種說法對(duì)英美的教材有一定影響。

        1893年開始出版阿培爾(Paul Appell,1855-1930)的多卷專著《理性力學(xué)專論》,該書對(duì)力學(xué)教學(xué)也有廣泛深遠(yuǎn)的影響[6],是100篇重要文獻(xiàn)之一,1953年為第6版[7]。通常認(rèn)為前兩卷是理論力學(xué)教材。其中運(yùn)動(dòng)學(xué)單獨(dú)列為一章,但只包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。剛體運(yùn)動(dòng)仍然穿插在動(dòng)力學(xué)相關(guān)部分之前。運(yùn)動(dòng)學(xué)部分除了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)外,用幾何方法建立了一般的速度合成定理,用解析方法建立了加速度合成定理,分別引入了牽連速度(vitesse d’entrainment,57頁(yè))和牽連加速度(acc′el′eration d’entrainment,72頁(yè))的概念,這也是目前國(guó)內(nèi)教材仍使用的牽連速度和牽連加速度下標(biāo)e的由來。該書前兩卷在1911年就有俄文譯本,劉延柱教授曾將該書1960年的俄文重譯本贈(zèng)送筆者。

        1897年,100篇重要文獻(xiàn)之一的《彈性的數(shù)學(xué)理論專論》(A Treatise on Mathematical Theory of Elasticity)作者樂甫(Augustus Edward Hough Love,1863-1940)出版了教材《理論力學(xué):有應(yīng)用和許多例子的動(dòng)力學(xué)引論》,1921年出版第3版[8]。該書開篇的運(yùn)動(dòng)學(xué)講點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),包括相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度合成。在剛體平面運(yùn)動(dòng)部分,在動(dòng)力學(xué)分析之前先講了運(yùn)動(dòng)學(xué),包括用基點(diǎn)法計(jì)算速度和加速度,也提到瞬心法。在討論剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí),簡(jiǎn)介了轉(zhuǎn)動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)合成,但只限于平面的情形。

        1912年,哈默(Georg Karl Wilhelm Hamel,1877-1954)出版了教材《力學(xué)基礎(chǔ)》,1965年重印[9]。該書內(nèi)容豐富,有660余頁(yè),分成基礎(chǔ)、靜力學(xué)和一般力學(xué)三部分。基礎(chǔ)部分第一章為運(yùn)動(dòng)學(xué),有速度和加速度等基本概念,也涉及質(zhì)量等動(dòng)力學(xué)基本概念。一般力學(xué)包括運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué),有平面運(yùn)動(dòng)的速度和加速度分析,還討論了矢量的絕對(duì)變化和相對(duì)變化。

        1912年和1914年,100篇重要文獻(xiàn)之一的《水動(dòng)力學(xué)》(Hydrodynamics)作者蘭姆(Horace Lamb,1849-1934)分別出版了教材《靜力學(xué)》[10]和《動(dòng)力學(xué)》[11]?!鹅o力學(xué)》包括剛體平面運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)知識(shí),用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)表示剛體運(yùn)動(dòng),引入瞬心概念。在靜力學(xué)部分講運(yùn)動(dòng)學(xué)內(nèi)容,是少見的安排?!秳?dòng)力學(xué)》有點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)和平面曲線運(yùn)動(dòng),平面曲線運(yùn)動(dòng)中用矢量表示了兩點(diǎn)的相對(duì)速度,還推導(dǎo)了切向和法向加速度。平面運(yùn)動(dòng)主要講動(dòng)力學(xué),運(yùn)動(dòng)學(xué)只是提到剛體平面運(yùn)動(dòng)可以分解為彼此獨(dú)立移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。

        茹科夫斯基(НиколайЕгорович Жуковcкий,1847-1921)建立二維機(jī)翼升力理論的論文是100篇重要文獻(xiàn)之一。他不僅被譽(yù)為“俄羅斯航空之父”,也是俄羅斯力學(xué)教育的開拓者。茹科夫斯基1886年至1920年在莫斯科大學(xué)講理論力學(xué)的講義被整理出版為《理論力學(xué)》,該書1952年第二版有漢譯本[12]。運(yùn)動(dòng)學(xué)獨(dú)立成篇,為全書第一篇,包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、合成運(yùn)動(dòng)、不變體系(剛體)運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)合成、解析方法在剛體運(yùn)動(dòng)中應(yīng)用。其中剛體運(yùn)動(dòng)包括平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、平面運(yùn)動(dòng)、定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和一般運(yùn)動(dòng)。這個(gè)教學(xué)體系基本上就是對(duì)中國(guó)有很大影響的蘇聯(lián)理論力學(xué)教學(xué)體系。只是茹科夫斯基更強(qiáng)調(diào)幾何方法,最后一章才是解析方法的應(yīng)用,包括一般情形的加速度合成定理的證明。需要指出的是,雖然20世紀(jì)50年代大量翻譯俄文理論力學(xué)教材并在此基礎(chǔ)上形成我國(guó)的理論力學(xué)教學(xué)傳統(tǒng),但對(duì)俄羅斯早期理論力學(xué)教材知之不多。在19世紀(jì)70年代已有俄文理論力學(xué)教材并譯成德文,第一卷為運(yùn)動(dòng)學(xué),第二卷為靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)。100篇重要文獻(xiàn)之一的《運(yùn)動(dòng)的一般穩(wěn)定性》作者李雅普諾夫(АлекcндрМихлович Ляпунв,1857-1981)在1885年至1890年期間的講稿在1982年整理出版為《理論力學(xué)講義》。

        物理學(xué)大師普朗克的理論物理導(dǎo)論系列的第一卷為《一般力學(xué)引論》[13],是非常簡(jiǎn)明的理論力學(xué)教材,只有220余頁(yè)。全書分為質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系兩部分,后者包括剛體的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué),但沒有運(yùn)動(dòng)學(xué)。運(yùn)動(dòng)學(xué)只有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),也討論了相對(duì)運(yùn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)在定系的坐標(biāo)由動(dòng)系坐標(biāo)軸的方向余弦和動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)系坐標(biāo)確定,直接計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),就得到絕對(duì)和相對(duì)速度、加速度之間關(guān)系。

        1935年,尼爾森(Jakob Nielsen)出版教材《基礎(chǔ)力學(xué)講義》,1983年重印[14]。該書分為兩部分,第一部分是靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué),第二部分是動(dòng)力學(xué)。運(yùn)動(dòng)學(xué)包括速度和加速度、剛體運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)三章。后兩章之間插入約束和虛功原理兩章,所以運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)穿插進(jìn)行。剛體運(yùn)動(dòng)包括定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平移,也有平面運(yùn)動(dòng)的特例。相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分較為深入,推導(dǎo)了不同坐標(biāo)系矢量導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。在一般情形下證明了速度合成定理和加速度合成定理。在矢量計(jì)算推導(dǎo)的基礎(chǔ)上,引入了牽連(f¨uhrungs,接近于英文transport)速度和加速度,這是德文教材中普遍采用的詞語。

        1937年,鐵摩辛柯(Stephen Prokofievitch Timoshenko,1878-1972)和楊(Donovan Harold Young,1904-1980)的《工程力學(xué):動(dòng)力學(xué)》出版,該書對(duì)美國(guó)工程力學(xué)教材體系的形成有重要影響,其最新版本是1956年的第四版[15],隨后也多次重印。該書按照直線和曲線運(yùn)動(dòng)、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)以及相對(duì)運(yùn)動(dòng)次序展開,每部分先運(yùn)動(dòng)學(xué)后動(dòng)力學(xué)。運(yùn)動(dòng)學(xué)的處理突出解析方法。平面運(yùn)動(dòng)的速度關(guān)系和加速度關(guān)系都是用坐標(biāo)關(guān)系求導(dǎo)建立,然后寫成矢量形式。速度和加速度合成定理都限于動(dòng)系平面運(yùn)動(dòng)的情形,也是由坐標(biāo)關(guān)系求導(dǎo)建立。然后把坐標(biāo)表達(dá)式寫為矢量形式,分析各個(gè)矢量的物理意義。在相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析中引入了牽連速度和加速度的概念,分別稱為基礎(chǔ)(base)速度和加速度。

        1948年,鄧哈托(Jacob Pieter Den Hartog,1901-1989)的《力學(xué)》出版,1961年再版[16]。該書或多或少體現(xiàn)了鐵摩辛柯之前美國(guó)理論力學(xué)教學(xué)的風(fēng)格,強(qiáng)調(diào)幾何分析,重視具體機(jī)構(gòu)的研究。該書點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、剛體平面運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)穿插在相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)之前。剛體平面運(yùn)動(dòng)分析基于轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)的分解,處理加速度關(guān)系時(shí)非常繁瑣。相對(duì)運(yùn)動(dòng)用矢量討論建立速度合成定理和動(dòng)系平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理,動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)只討論特例。該書把牽連速度和加速度稱為載運(yùn)(vehicle)速度和加速度。

        從上述名家教材的覽要可知,經(jīng)過百余年發(fā)展,運(yùn)動(dòng)學(xué)在理論力學(xué)或工程力學(xué)中的內(nèi)容已經(jīng)與現(xiàn)在基本一致。主要內(nèi)容是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、剛體平移、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)以及點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)。處理方式有與動(dòng)力學(xué)穿插和運(yùn)動(dòng)學(xué)獨(dú)立成篇兩種,也有比較罕見的運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)交替展開,前兩種方式分別被北美和蘇俄、中國(guó)沿用發(fā)展。

        2 當(dāng)代歐美教材運(yùn)動(dòng)學(xué)主要內(nèi)容

        作為眾多工程專業(yè)的技術(shù)基礎(chǔ)課,“工程力學(xué)”有人數(shù)眾多的學(xué)生修習(xí)。動(dòng)力學(xué)的教材不完全統(tǒng)計(jì)也有百余種之多。本文參照分析靜力學(xué)教材時(shí)的考慮[17],美國(guó)教材選擇7種。其中有3部多次重版而被廣泛采用的教材,初版于1951年的梅里亞姆(James L.Meriam,1917-2000)和克雷格(L.Glenn Kraige)的《工程力學(xué):動(dòng)力學(xué)》第8版[18],初版于1962年的比爾(Ferdinand P.Beer,1915-2003)和約翰斯頓(E Russell Johnston Jr.,1925-2010)《工程師的矢量力學(xué):動(dòng)力學(xué)》第11版[19],初版于1974年的希伯勒(Russell C.Hibbeler)《工程力學(xué):靜力學(xué)》第14版[20]。有兩部出版較晚但也有再版并在國(guó)內(nèi)有漢譯本或者影印本的教材,初版于1977年的金斯伯格(Jerry H.Ginsberg)和杰里(Joseph Genin,1921-2013)《動(dòng)力學(xué)》的第2版[21](該書由金斯伯格教授贈(zèng)送筆者),初版于1999年的皮特爾(Andrew Pytel)和基烏薩拉斯(Jaan Kiusalaas)《工程力學(xué):動(dòng)力學(xué)》第4版[22]。還有兩種特色突出的教材,初版于1999年的蘇塔斯-里特爾(Robert W.Soutas-Little)和英曼(Daniel J.Inman)《工程力學(xué):靜力學(xué)》[23],1994年首次上網(wǎng)公開的魯納(Andy Ruina)和魯?shù)吕?Rudra Pratap)《靜力學(xué)與動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論》的2015年網(wǎng)絡(luò)公開版[24]。歐洲教材選德國(guó)教材兩種,俄國(guó)教材一種。德文教材為初版于1973年的馬格努斯(Kurt Magnus,1912-2003)和馬勒-斯萊尼(Hans Heinrich M¨uller-Slany)的《工程力學(xué)基礎(chǔ)》第7版[25],以及初版于1990年格樓斯(Dietmar Gross)等的《工程力學(xué)3:動(dòng)力學(xué)》英文版[26],基本上對(duì)應(yīng)德文版第11版,德文版是廣泛被采用的教材。該書合作者的5位教授,前四位分別是德國(guó)達(dá)姆施塔特工業(yè)大學(xué)、杜伊斯堡-埃森大學(xué)教授,第五位是美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校教授,因此該書是德國(guó)美國(guó)教授合作的產(chǎn)物。俄文教材是初版于1990年的馬爾契夫(АнатолийПавловичМакив,1942-)《理論力學(xué)》第3版漢譯本[27]。這些教材,大體上可以代表當(dāng)代歐美教材。

        總體上,美國(guó)教材[18-24]包括美國(guó)教授參與的德國(guó)教材[26],運(yùn)動(dòng)學(xué)都不是單獨(dú)成篇,而是與動(dòng)力學(xué)穿插展開。這些教材的運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)內(nèi)容展開次序基本相同[18-20,22-23,26],包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、剛體(平面和空間)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng),有些運(yùn)動(dòng)學(xué)各部分在相應(yīng)的點(diǎn)、平面運(yùn)動(dòng)剛體、空間運(yùn)動(dòng)剛體和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)之前[18,20,22],其他的剛體的平面和空間運(yùn)動(dòng)在同一章[19,23,26]。也有教材[21]不講剛體空間運(yùn)動(dòng)學(xué),只是在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中稍微涉及,但講了空間運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)。個(gè)別教材把剛體的空間運(yùn)動(dòng)留給后續(xù)課程[24],在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)知識(shí)之后,先講剛體平面運(yùn)動(dòng),隨后專章闡述應(yīng)用時(shí)變基矢量的運(yùn)動(dòng)學(xué),包括極坐標(biāo)和自然軸系,旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系,平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)等。德國(guó)教材[25]和俄國(guó)教材[27]中運(yùn)動(dòng)學(xué)集中在一章或者一部分,按照點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)和復(fù)合運(yùn)動(dòng)順序展開。為便于國(guó)內(nèi)同行教學(xué)時(shí)參考,以下按照國(guó)內(nèi)教材的知識(shí)模塊總結(jié),包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),剛體平面運(yùn)動(dòng)、剛體空間運(yùn)動(dòng)和復(fù)合運(yùn)動(dòng)。

        點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)部分,所有教材[18-27]都以單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)為主,也涉及點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)。就具體內(nèi)容而言,美國(guó)教材[18-24]和德國(guó)教材[26]專門講直線運(yùn)動(dòng),側(cè)重微積分的應(yīng)用。曲線運(yùn)動(dòng)包括運(yùn)動(dòng)的矢量描述[18-27]及其在不同坐標(biāo)系中的投影,坐標(biāo)系包括直角坐標(biāo)[18-27]、極坐標(biāo)[18-27]、自然軸系[18-27]、柱坐標(biāo)[18-24,26-27]和球坐標(biāo)[18-24,27]。自然軸系主要討論平面情形[18-27],也簡(jiǎn)要介紹空間推廣[19-22,24-27],個(gè)別教材對(duì)空間情形的處理比較詳細(xì),而且系統(tǒng)地闡述了弧坐標(biāo)的應(yīng)用[23]。點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)包括相對(duì)于平動(dòng)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)而引入相對(duì)速度的概念[18-23],以及以纜繩和滑輪系統(tǒng)為例說明受約束點(diǎn)系[18-22,24],也有較為一般的自由度討論[23,25,27]。就內(nèi)容安排而言,多數(shù)先講點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng),再講曲線運(yùn)動(dòng)[18-20,24,27],個(gè)別教材還區(qū)分平面和空間的曲線運(yùn)動(dòng)[18,27];有些是直接講點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)[21];還有些是運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)高度整合,分別按照直角坐標(biāo)或曲線坐標(biāo)描述的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)[22];或者分別按照直線上或曲線上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)展開[24]。

        剛體平面運(yùn)動(dòng)是美國(guó)教材[18-24]的獨(dú)立部分,在歐洲教材[25-27]中作為剛體空間運(yùn)動(dòng)的特例。美國(guó)教材[18-24]的剛體平面運(yùn)動(dòng)包括平面平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和一般平面運(yùn)動(dòng),以后者為重點(diǎn)。平動(dòng)通常只是提及概念[18,20-22]。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有角速度和角加速度的定義和矢量表示,以及矢量和投影形式的速度和加速度分布[18,20-22]。有些教材直接研究空間的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)[19,23]。一般平面運(yùn)動(dòng)部分包括直接求導(dǎo)數(shù)的方法計(jì)算速度加速度[18-20,22-24]、基點(diǎn)法速度公式[18-24]、瞬心的概念和確定[18-24]以及瞬心的本體和空間軌跡[18,21]、基點(diǎn)法加速度公式[18-24]。直接計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法在教材中名稱不同,如絕對(duì)運(yùn)動(dòng)分析[18,20]、帶參數(shù)的平面運(yùn)動(dòng)分析[19,23]、約束方法[22]和瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)[24]。有些教材還簡(jiǎn)要介紹了剛體系的運(yùn)動(dòng)學(xué)[23],詳細(xì)地分析了滾動(dòng)和滑動(dòng)相關(guān)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題并包括非完整約束等高級(jí)課題[24]。

        作為初級(jí)力學(xué)課程,美國(guó)剛體空間運(yùn)動(dòng)講得都比較簡(jiǎn)略,但處理方式不盡相同。有些教材從空間平動(dòng)[18-19,23]和空間定軸轉(zhuǎn)動(dòng)[18-19,23]開始,然后是定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的有限轉(zhuǎn)動(dòng)[18,20]、瞬時(shí)軸及其空間錐面和本體錐面[18-20]、剛體上點(diǎn)的速度和加速度[18-20]和角速度合成[19],最后是一般空間運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的速度和加速度關(guān)系[18-20]。也有直接講剛體的一般空間運(yùn)動(dòng),從剛體上兩點(diǎn)相對(duì)速度和加速度分析入手,得到這兩點(diǎn)絕對(duì)速度的關(guān)系[22-23];簡(jiǎn)介瞬時(shí)軸及其空間和本體錐面[22];討論了空間運(yùn)動(dòng)剛體受到的約束,將剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)作為一種受約束運(yùn)動(dòng),較詳細(xì)地討論瞬時(shí)軸并應(yīng)用于解題[23]。也有作者認(rèn)為工程力學(xué)這種初等課程中不必講剛體空間運(yùn)動(dòng)[24]。德國(guó)教材[25]從剛體一般運(yùn)動(dòng)為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成為出發(fā)點(diǎn),著重討論平面運(yùn)動(dòng)和定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)兩種特殊情形,并引入歐拉角描述剛體空間運(yùn)動(dòng)。德國(guó)教材[26]直接講空間運(yùn)動(dòng),按平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和一般運(yùn)動(dòng)展開,但在講一般運(yùn)動(dòng)時(shí)先分析平面的情形也提到空間運(yùn)動(dòng),特別突出了用瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的分析方法。俄國(guó)教材[27]以高度濃縮的方式完整呈現(xiàn)剛體空間運(yùn)動(dòng)的基本內(nèi)容,把平移和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成抽象為矢量-矩陣描述,引入了歐拉角,證明了定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可以用定軸運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn),引入角速度矢量構(gòu)建了剛體上不同點(diǎn)的速度和加速度關(guān)系,討論了定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)的特例,最后說明了兩種運(yùn)動(dòng)學(xué)不變量。

        復(fù)合運(yùn)動(dòng)的內(nèi)容在美國(guó)教材中穿插在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體運(yùn)動(dòng)中,前者其實(shí)是動(dòng)系平動(dòng)的情形,后者就是動(dòng)系有轉(zhuǎn)動(dòng)的情形。動(dòng)系平動(dòng)時(shí)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度分析,多數(shù)美國(guó)教材[18-21,23]在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)部分處理,也有教材[22]在質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)部分講,還有教材[24]只限于直線運(yùn)動(dòng)的情形。動(dòng)系有轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)在所有美國(guó)教材中都有涉及。多數(shù)教材在剛體平面運(yùn)動(dòng)部分闡述,包括動(dòng)坐標(biāo)系中矢量求導(dǎo)[18-19,22]、速度合成公式和加速度合成公式[18-20,22]。有些教材[18-20]在講過剛體空間運(yùn)動(dòng)之后又重新討論速度和加速度合成公式,還補(bǔ)講轉(zhuǎn)動(dòng)系中的相對(duì)導(dǎo)數(shù)[20]。有的教材[21]把動(dòng)參考系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)列為與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體平面運(yùn)動(dòng)并列的模塊,內(nèi)容與前述類似,但可以處理空間問題。教材[23]直接在空間運(yùn)動(dòng)的參考系內(nèi)研究速度合成與加速度合成。教材[24]專門討論了旋轉(zhuǎn)參考系,導(dǎo)出一般的速度合成公式,并用這些公式研究了平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)。德國(guó)教材[25]基于相對(duì)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)出一般的速度合成和加速度合成關(guān)系式,通過分析公式中各項(xiàng)引入三種速度和四種加速度的概念。美國(guó)教材都不提牽連速度和牽連加速度的概念,也不引入牽連點(diǎn)的概念。德國(guó)教材[26]按動(dòng)系僅做平動(dòng)和同時(shí)做平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)兩種情形推導(dǎo)了速度合成公式和加速度合成公式。有轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)也沒有引入相對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念而是通過推導(dǎo)動(dòng)系基矢量導(dǎo)數(shù)得出結(jié)論。俄國(guó)教材[27]對(duì)于一般運(yùn)動(dòng)動(dòng)系證明了速度合成定理和加速度合成定理,還討論了剛體合成運(yùn)動(dòng)。

        以上歸納分析表明,盡管國(guó)外特別是美國(guó)教材與國(guó)內(nèi)教材的教學(xué)體系不同,但運(yùn)動(dòng)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)相同。有差別的只是些提高引申內(nèi)容,這些在國(guó)內(nèi)教材中也不盡相同。

        3 國(guó)外教材運(yùn)動(dòng)學(xué)部分可參考借鑒之處

        國(guó)外教材的運(yùn)動(dòng)學(xué)部分的體系、方法和一些具體的處理可以供國(guó)內(nèi)教材建設(shè)和課堂教學(xué)參考借鑒。

        教學(xué)體系方面,首先是運(yùn)動(dòng)學(xué)是否獨(dú)立成篇。德國(guó)教材[25]和俄國(guó)教材[27]與絕大多數(shù)國(guó)內(nèi)教材類似,運(yùn)動(dòng)學(xué)單獨(dú)成篇。這樣的優(yōu)點(diǎn)是知識(shí)體系完整,運(yùn)動(dòng)學(xué)內(nèi)部各知識(shí)點(diǎn)連貫性強(qiáng),便于不同運(yùn)動(dòng)分析方法間的比較。美國(guó)教材[18-24]和德國(guó)教材[26]都是把運(yùn)動(dòng)學(xué)穿插在動(dòng)力學(xué)中,這樣的主要優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)銜接密切,便于通過在動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用及時(shí)鞏固運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí);也可以把相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析等難點(diǎn)留在動(dòng)力學(xué)最后,便于學(xué)生掌握。

        教學(xué)體系還體現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)學(xué)內(nèi)部教學(xué)內(nèi)容的順序。所討論的國(guó)外教材[18-27]都是按照點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)和復(fù)合運(yùn)動(dòng)的順序展開,不同的是美國(guó)教材[18-24]在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)也涉及這個(gè)問題。這種順序的突出優(yōu)點(diǎn)是教學(xué)坡度小,兩點(diǎn)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)比較直觀;而剛體平面運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要內(nèi)容,認(rèn)真學(xué)過的學(xué)生再學(xué)習(xí)復(fù)合運(yùn)動(dòng)時(shí)更容易理解;同時(shí),也有一定學(xué)習(xí)彈性,確實(shí)難以掌握復(fù)合運(yùn)動(dòng)的學(xué)生,用點(diǎn)和剛體運(yùn)動(dòng)的知識(shí)足以求解運(yùn)動(dòng)學(xué)常見的題目。缺點(diǎn)是從知識(shí)的完整性角度看這樣處理復(fù)合運(yùn)動(dòng)有些零散。國(guó)內(nèi)教材多數(shù)把復(fù)合運(yùn)動(dòng)安排在剛體運(yùn)動(dòng)之前,近年來這一情況有所改變。順便一提,如果靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)獨(dú)立成篇,運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)順序在教學(xué)中沒有特別實(shí)質(zhì)性的差別。靜力學(xué)先講的好處是需要微積分較少,運(yùn)動(dòng)學(xué)先講的好處是與物理差別明顯,容易引起學(xué)生重視。

        與所有的早期理論力學(xué)教材[5-16]截然不同,當(dāng)代的理論力學(xué)教材[18-27]系統(tǒng)地采用了矢量記號(hào),尤其在運(yùn)動(dòng)學(xué)中。矢量表示在理論上便于與解析運(yùn)算結(jié)合。公式推導(dǎo)用矢量,自然軸系坐標(biāo)、極坐標(biāo)系單位矢量導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,都是寫出直角坐標(biāo)系投影后求導(dǎo)計(jì)算,而只有個(gè)別教材[23]同時(shí)用幾何方法說明。相對(duì)速度/加速度與絕對(duì)速度/加速度的關(guān)系也都是通過不同坐標(biāo)系中位置矢量的關(guān)系求導(dǎo)建立,這樣既直接又嚴(yán)謹(jǐn),完全摒棄了早期教材[12,16]那種基于絕對(duì)、相對(duì)和牽連速度/加速度概念的幾何推導(dǎo)。在具體解題中也采用矢量運(yùn)算,多數(shù)情形是用矢量的直角坐標(biāo)投影表示。矢量的全面采用不僅與矢量記號(hào)程式化程度高便于算法實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)有關(guān),也與學(xué)生數(shù)學(xué)訓(xùn)練中傳統(tǒng)的幾何內(nèi)容比過去大為減少有關(guān),過去認(rèn)為通俗直觀的幾何推導(dǎo)在對(duì)現(xiàn)在學(xué)生而言比矢量運(yùn)算更難以接受。

        美國(guó)教材在教學(xué)內(nèi)容處理方面力求通俗易接受。復(fù)合運(yùn)動(dòng)的教學(xué)處理體現(xiàn)了全方位通俗化的努力。首先,內(nèi)容的名稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng),與復(fù)合運(yùn)動(dòng)相比更為具體,因?yàn)橄鄬?duì)運(yùn)動(dòng)在動(dòng)坐標(biāo)系中真實(shí)存在,可以觀測(cè)可以測(cè)量;從科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的角度,稱為復(fù)合運(yùn)動(dòng)更恰當(dāng),因?yàn)樽詈蠼Y(jié)果是相對(duì)速度/加速度與絕對(duì)速度/加速度之間的關(guān)系。其次,把相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析分成動(dòng)系做平動(dòng)和有轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分,有些教材后者還進(jìn)一步分為平面和空間情形,由易到難,坡度較小。第三,統(tǒng)一采用矢量運(yùn)算包括求導(dǎo)的方式處理,雖然推導(dǎo)有些繁復(fù),但思路直接,而且與運(yùn)動(dòng)學(xué)整個(gè)處理方式協(xié)調(diào)一致。最后,避免引入非不可或缺的概念,沒有牽連運(yùn)動(dòng)、牽連點(diǎn)、牽連速度和牽連加速度這些概念;只是在推導(dǎo)出速度關(guān)系和加速度關(guān)系后,說明相對(duì)速度和加速度均為零時(shí),絕對(duì)速度或加速度就是動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)重合點(diǎn)的速度和加速度,作為一種物理解釋。這樣處理后,復(fù)合運(yùn)動(dòng)這個(gè)難點(diǎn)變得相對(duì)容易掌握。

        教材不僅需要完整準(zhǔn)確闡述科學(xué)內(nèi)容,也要便于學(xué)生學(xué)習(xí)參考。因此教材內(nèi)容要便于接受。美國(guó)教材[18-24]這方面尤其突出,非常注意對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的激勵(lì)、引導(dǎo)和幫助。這體現(xiàn)在習(xí)題例題的選擇安排,以及書外輔導(dǎo)材料等;也體現(xiàn)在算法程序和配套軟件等。這兩方面本質(zhì)上與相應(yīng)的靜力學(xué)教材類似,筆者在分析靜力學(xué)教材時(shí)[17]有所討論,就不在此贅述了。德國(guó)和俄國(guó)教材沒有習(xí)題,只有少量說明性例題,沒有示范性例題。因此,德國(guó)教材[25,27]需要配備專門的例題和習(xí)題集,而俄國(guó)教材[26]可配合通用的習(xí)題集[28]。

        總之,美國(guó)教材和德國(guó)俄國(guó)教材在教學(xué)處理方面?zhèn)戎厮坪醪煌?。美?guó)教材強(qiáng)調(diào)通俗易懂和使用方便,教學(xué)坡度比較小,教材內(nèi)容豐富。德國(guó)教材和俄國(guó)教材更強(qiáng)調(diào)知識(shí)完整和傳授高效,論述比較簡(jiǎn)潔、篇幅非常精煉。國(guó)內(nèi)教材大體上介于兩者之間。因此在普及方面可以多借鑒美國(guó)教材,在提高方面可以多借鑒德國(guó)俄國(guó)教材。

        4 結(jié)語

        本文分析了歐美理論力學(xué)教材中運(yùn)動(dòng)學(xué)部分的教學(xué)處理。首先通過概述10部歐美著名教材考察運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的歷史變化。然后分析10部當(dāng)代理論力學(xué)教材中運(yùn)動(dòng)學(xué)主要內(nèi)容。最后討論這些外國(guó)教材可供參考借鑒之處。

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