陳立群

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)理學(xué)院力學(xué)系，廣東深圳518055)

理論力學(xué)是高校機(jī)械、土木、航空、航天等工程專業(yè)的重要基礎(chǔ)課。我國(guó)稱為理論力學(xué)的課程，在北美被稱為工程力學(xué)。該門課程在俄羅斯和部分東歐國(guó)家仍稱為理論力學(xué)或一般力學(xué)，而在西歐兩種叫法都有，但工程力學(xué)的叫法越來越普遍。即使由白俄羅斯高校舉辦的國(guó)際性理論力學(xué)競(jìng)賽，也稱為國(guó)際工程力學(xué)競(jìng)賽。北美工程力學(xué)教材包括靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)兩大部分。在動(dòng)力學(xué)(dynamics)中，運(yùn)動(dòng)學(xué)(kinematics)和動(dòng)理學(xué)(kinetics)交替而非依次展開，分別對(duì)應(yīng)著國(guó)內(nèi)理論力學(xué)教材中的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)。由于國(guó)內(nèi)的絕大多數(shù)教材都把運(yùn)動(dòng)學(xué)作為相對(duì)獨(dú)立部分，本文專門討論歐美理論力學(xué)教材中對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)內(nèi)容的處理。

教學(xué)體系的形成通常有漫長(zhǎng)的演化過程。現(xiàn)在仍大體上沿用的工程力學(xué)教學(xué)體系，是鐵摩辛柯在美國(guó)開創(chuàng)，逐漸影響英國(guó)和歐洲大陸的。本文先通過簡(jiǎn)述10部法國(guó)、英國(guó)、德國(guó)、俄國(guó)、美國(guó)著名學(xué)者所寫教材的相關(guān)部分，展示工程力學(xué)傳統(tǒng)形成之前對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)的處理。然后以7部典型美國(guó)教材、2部德國(guó)教材和1部俄國(guó)教材為例，說明歐美教材中運(yùn)動(dòng)學(xué)的內(nèi)容與體系，并具體分析這些外國(guó)教材可供參考和借鑒之處。

1 早期理論力學(xué)教材中的運(yùn)動(dòng)學(xué)

雖然一些具體的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題早有研究，但運(yùn)動(dòng)學(xué)作為獨(dú)立學(xué)科卻創(chuàng)立得很晚。1834年，物理學(xué)家安培(Andr′e-Marie Amp`ere，1775-1836)發(fā)表科學(xué)哲學(xué)論文，討論了學(xué)科分類；他提議將“運(yùn)動(dòng)學(xué)”(法文cin′ematique)作為力學(xué)的獨(dú)立部分，只關(guān)注運(yùn)動(dòng)特性而不考慮產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的原因。1835年科里奧利(Gustave Gaspard Coriolis，1792-1843)在分析轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的附加動(dòng)力學(xué)效應(yīng)時(shí)，蘊(yùn)涵著運(yùn)動(dòng)學(xué)中的加速度合成定理。至此運(yùn)動(dòng)學(xué)的理論臻于完善。運(yùn)動(dòng)學(xué)隨后的發(fā)展主要是在機(jī)器和機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用。1841年出版的威利斯(Robert Willis，1800-1875)的著作《機(jī)構(gòu)原理》(Principles of Mechanism)建立了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的的基礎(chǔ)。運(yùn)動(dòng)學(xué)在1875年出版的勒洛(Franz Reuleaux，1829-1905)的著作《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》(Theoretische Kinematik)中得到進(jìn)一步的發(fā)展。至此運(yùn)動(dòng)學(xué)基本發(fā)展成為力學(xué)的完整分支學(xué)科。

早期的理論力學(xué)教材全貌需要力學(xué)史專家進(jìn)行發(fā)掘才有可能再現(xiàn)，筆者無意在此進(jìn)行這項(xiàng)工作。本文重點(diǎn)以武際可先生列舉的力學(xué)名著[1]的作者為線索，考察出自他們之手的足以代表當(dāng)時(shí)最高水準(zhǔn)的6部理論力學(xué)教材。由于名著涉及的德國(guó)和美國(guó)作者較少，因此增加了3種德文教材和標(biāo)志美國(guó)工程力學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)形成的2部教材。這樣，法、英、俄、德、美5國(guó)的教材大致反映了早期理論力學(xué)教材的全貌。

在安培提議之前，教材中都只有靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)兩部分。影響很大的早期教材是泊松(Simeon-Denis Poisson，1781-1840)撰寫的《力學(xué)教程》(Trait′e de M′ecanique，1811年第一版，1833年第二版)[2]。該書是100篇重要文獻(xiàn)之一，其中靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)單獨(dú)成篇，運(yùn)動(dòng)學(xué)只涉及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是動(dòng)力學(xué)的一部分。

目前運(yùn)動(dòng)學(xué)作為一個(gè)獨(dú)立教學(xué)部分最早的記錄，是在1836年至1839年間，彭賽列(Jean-Victor Poncelet，1788-1867)在巴黎綜合工科學(xué)校講授力學(xué)[3]。筆者所見最早的運(yùn)動(dòng)學(xué)為力學(xué)獨(dú)立部分是1888年出版的湯姆遜(Sir William Thomson，1824-1907)和臺(tái)特(Peter Guthrie Tait，1831-1901)的專著《自然哲學(xué)專論》[4]。該書是100篇重要文獻(xiàn)之一，其中第一章為運(yùn)動(dòng)學(xué)，包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體運(yùn)動(dòng)。但該書是專著而不是教材，1872年兩位作者也出版了力學(xué)教材《自然哲學(xué)基礎(chǔ)》[5]。該書第一章為運(yùn)動(dòng)學(xué)，只敘述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。對(duì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)引入了速度和加速度的概念，并分析了勻加速運(yùn)動(dòng)；也引入了角速度和角加速度的概念，但沒有采用剛體模型，而是用動(dòng)點(diǎn)與固定點(diǎn)連線的方式；用幾何的方法討論了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及其疊加；具體討論了旋輪線等多種動(dòng)點(diǎn)軌跡；最后通過例子解釋了自由度和約束的概念。值得一提的是，該書作者認(rèn)為力學(xué)(mechanics)是誤用，應(yīng)該叫動(dòng)力學(xué)(dynamics)。按牛頓的本意，力學(xué)是關(guān)于機(jī)器的科學(xué)及其制造的藝術(shù)(the science of machines，and the art of making them)。而現(xiàn)在所稱的動(dòng)力學(xué)為動(dòng)理學(xué)(kinetics)。這種說法對(duì)英美的教材有一定影響。

1893年開始出版阿培爾(Paul Appell，1855-1930)的多卷專著《理性力學(xué)專論》，該書對(duì)力學(xué)教學(xué)也有廣泛深遠(yuǎn)的影響[6]，是100篇重要文獻(xiàn)之一，1953年為第6版[7]。通常認(rèn)為前兩卷是理論力學(xué)教材。其中運(yùn)動(dòng)學(xué)單獨(dú)列為一章，但只包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。剛體運(yùn)動(dòng)仍然穿插在動(dòng)力學(xué)相關(guān)部分之前。運(yùn)動(dòng)學(xué)部分除了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)外，用幾何方法建立了一般的速度合成定理，用解析方法建立了加速度合成定理，分別引入了牽連速度(vitesse d’entrainment，57頁(yè))和牽連加速度(acc′el′eration d’entrainment，72頁(yè))的概念，這也是目前國(guó)內(nèi)教材仍使用的牽連速度和牽連加速度下標(biāo)e的由來。該書前兩卷在1911年就有俄文譯本，劉延柱教授曾將該書1960年的俄文重譯本贈(zèng)送筆者。

1897年，100篇重要文獻(xiàn)之一的《彈性的數(shù)學(xué)理論專論》(A Treatise on Mathematical Theory of Elasticity)作者樂甫(Augustus Edward Hough Love，1863-1940)出版了教材《理論力學(xué)：有應(yīng)用和許多例子的動(dòng)力學(xué)引論》，1921年出版第3版[8]。該書開篇的運(yùn)動(dòng)學(xué)講點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，包括相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度合成。在剛體平面運(yùn)動(dòng)部分，在動(dòng)力學(xué)分析之前先講了運(yùn)動(dòng)學(xué)，包括用基點(diǎn)法計(jì)算速度和加速度，也提到瞬心法。在討論剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，簡(jiǎn)介了轉(zhuǎn)動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)合成，但只限于平面的情形。

1912年，哈默(Georg Karl Wilhelm Hamel，1877-1954)出版了教材《力學(xué)基礎(chǔ)》，1965年重印[9]。該書內(nèi)容豐富，有660余頁(yè)，分成基礎(chǔ)、靜力學(xué)和一般力學(xué)三部分。基礎(chǔ)部分第一章為運(yùn)動(dòng)學(xué)，有速度和加速度等基本概念，也涉及質(zhì)量等動(dòng)力學(xué)基本概念。一般力學(xué)包括運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)，有平面運(yùn)動(dòng)的速度和加速度分析，還討論了矢量的絕對(duì)變化和相對(duì)變化。

1912年和1914年，100篇重要文獻(xiàn)之一的《水動(dòng)力學(xué)》(Hydrodynamics)作者蘭姆(Horace Lamb，1849-1934)分別出版了教材《靜力學(xué)》[10]和《動(dòng)力學(xué)》[11]?！鹅o力學(xué)》包括剛體平面運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)知識(shí)，用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)表示剛體運(yùn)動(dòng)，引入瞬心概念。在靜力學(xué)部分講運(yùn)動(dòng)學(xué)內(nèi)容，是少見的安排?！秳?dòng)力學(xué)》有點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)和平面曲線運(yùn)動(dòng)，平面曲線運(yùn)動(dòng)中用矢量表示了兩點(diǎn)的相對(duì)速度，還推導(dǎo)了切向和法向加速度。平面運(yùn)動(dòng)主要講動(dòng)力學(xué)，運(yùn)動(dòng)學(xué)只是提到剛體平面運(yùn)動(dòng)可以分解為彼此獨(dú)立移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。

茹科夫斯基(НиколайЕгорович Жуковcкий，1847-1921)建立二維機(jī)翼升力理論的論文是100篇重要文獻(xiàn)之一。他不僅被譽(yù)為“俄羅斯航空之父”，也是俄羅斯力學(xué)教育的開拓者。茹科夫斯基1886年至1920年在莫斯科大學(xué)講理論力學(xué)的講義被整理出版為《理論力學(xué)》，該書1952年第二版有漢譯本[12]。運(yùn)動(dòng)學(xué)獨(dú)立成篇，為全書第一篇，包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、合成運(yùn)動(dòng)、不變體系(剛體)運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)合成、解析方法在剛體運(yùn)動(dòng)中應(yīng)用。其中剛體運(yùn)動(dòng)包括平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、平面運(yùn)動(dòng)、定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和一般運(yùn)動(dòng)。這個(gè)教學(xué)體系基本上就是對(duì)中國(guó)有很大影響的蘇聯(lián)理論力學(xué)教學(xué)體系。只是茹科夫斯基更強(qiáng)調(diào)幾何方法，最后一章才是解析方法的應(yīng)用，包括一般情形的加速度合成定理的證明。需要指出的是，雖然20世紀(jì)50年代大量翻譯俄文理論力學(xué)教材并在此基礎(chǔ)上形成我國(guó)的理論力學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)，但對(duì)俄羅斯早期理論力學(xué)教材知之不多。在19世紀(jì)70年代已有俄文理論力學(xué)教材并譯成德文，第一卷為運(yùn)動(dòng)學(xué)，第二卷為靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)。100篇重要文獻(xiàn)之一的《運(yùn)動(dòng)的一般穩(wěn)定性》作者李雅普諾夫(АлекcндрМихлович Ляпунв，1857-1981)在1885年至1890年期間的講稿在1982年整理出版為《理論力學(xué)講義》。

物理學(xué)大師普朗克的理論物理導(dǎo)論系列的第一卷為《一般力學(xué)引論》[13]，是非常簡(jiǎn)明的理論力學(xué)教材，只有220余頁(yè)。全書分為質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系兩部分，后者包括剛體的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)，但沒有運(yùn)動(dòng)學(xué)。運(yùn)動(dòng)學(xué)只有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，也討論了相對(duì)運(yùn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)在定系的坐標(biāo)由動(dòng)系坐標(biāo)軸的方向余弦和動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)系坐標(biāo)確定，直接計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，就得到絕對(duì)和相對(duì)速度、加速度之間關(guān)系。

1935年，尼爾森(Jakob Nielsen)出版教材《基礎(chǔ)力學(xué)講義》，1983年重印[14]。該書分為兩部分，第一部分是靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)，第二部分是動(dòng)力學(xué)。運(yùn)動(dòng)學(xué)包括速度和加速度、剛體運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)三章。后兩章之間插入約束和虛功原理兩章，所以運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)穿插進(jìn)行。剛體運(yùn)動(dòng)包括定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平移，也有平面運(yùn)動(dòng)的特例。相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分較為深入，推導(dǎo)了不同坐標(biāo)系矢量導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。在一般情形下證明了速度合成定理和加速度合成定理。在矢量計(jì)算推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，引入了牽連(f¨uhrungs，接近于英文transport)速度和加速度，這是德文教材中普遍采用的詞語。

1937年，鐵摩辛柯(Stephen Prokofievitch Timoshenko，1878-1972)和楊(Donovan Harold Young，1904-1980)的《工程力學(xué)：動(dòng)力學(xué)》出版，該書對(duì)美國(guó)工程力學(xué)教材體系的形成有重要影響，其最新版本是1956年的第四版[15]，隨后也多次重印。該書按照直線和曲線運(yùn)動(dòng)、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)以及相對(duì)運(yùn)動(dòng)次序展開，每部分先運(yùn)動(dòng)學(xué)后動(dòng)力學(xué)。運(yùn)動(dòng)學(xué)的處理突出解析方法。平面運(yùn)動(dòng)的速度關(guān)系和加速度關(guān)系都是用坐標(biāo)關(guān)系求導(dǎo)建立，然后寫成矢量形式。速度和加速度合成定理都限于動(dòng)系平面運(yùn)動(dòng)的情形，也是由坐標(biāo)關(guān)系求導(dǎo)建立。然后把坐標(biāo)表達(dá)式寫為矢量形式，分析各個(gè)矢量的物理意義。在相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析中引入了牽連速度和加速度的概念，分別稱為基礎(chǔ)(base)速度和加速度。

1948年，鄧哈托(Jacob Pieter Den Hartog，1901-1989)的《力學(xué)》出版，1961年再版[16]。該書或多或少體現(xiàn)了鐵摩辛柯之前美國(guó)理論力學(xué)教學(xué)的風(fēng)格，強(qiáng)調(diào)幾何分析，重視具體機(jī)構(gòu)的研究。該書點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、剛體平面運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)穿插在相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)之前。剛體平面運(yùn)動(dòng)分析基于轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)的分解，處理加速度關(guān)系時(shí)非常繁瑣。相對(duì)運(yùn)動(dòng)用矢量討論建立速度合成定理和動(dòng)系平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理，動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)只討論特例。該書把牽連速度和加速度稱為載運(yùn)(vehicle)速度和加速度。

從上述名家教材的覽要可知，經(jīng)過百余年發(fā)展，運(yùn)動(dòng)學(xué)在理論力學(xué)或工程力學(xué)中的內(nèi)容已經(jīng)與現(xiàn)在基本一致。主要內(nèi)容是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、剛體平移、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)以及點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)。處理方式有與動(dòng)力學(xué)穿插和運(yùn)動(dòng)學(xué)獨(dú)立成篇兩種，也有比較罕見的運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)交替展開，前兩種方式分別被北美和蘇俄、中國(guó)沿用發(fā)展。

2 當(dāng)代歐美教材運(yùn)動(dòng)學(xué)主要內(nèi)容

作為眾多工程專業(yè)的技術(shù)基礎(chǔ)課，“工程力學(xué)”有人數(shù)眾多的學(xué)生修習(xí)。動(dòng)力學(xué)的教材不完全統(tǒng)計(jì)也有百余種之多。本文參照分析靜力學(xué)教材時(shí)的考慮[17]，美國(guó)教材選擇7種。其中有3部多次重版而被廣泛采用的教材，初版于1951年的梅里亞姆(James L.Meriam，1917-2000)和克雷格(L.Glenn Kraige)的《工程力學(xué)：動(dòng)力學(xué)》第8版[18]，初版于1962年的比爾(Ferdinand P.Beer，1915-2003)和約翰斯頓(E Russell Johnston Jr.，1925-2010)《工程師的矢量力學(xué)：動(dòng)力學(xué)》第11版[19]，初版于1974年的希伯勒(Russell C.Hibbeler)《工程力學(xué)：靜力學(xué)》第14版[20]。有兩部出版較晚但也有再版并在國(guó)內(nèi)有漢譯本或者影印本的教材，初版于1977年的金斯伯格(Jerry H.Ginsberg)和杰里(Joseph Genin，1921-2013)《動(dòng)力學(xué)》的第2版[21](該書由金斯伯格教授贈(zèng)送筆者)，初版于1999年的皮特爾(Andrew Pytel)和基烏薩拉斯(Jaan Kiusalaas)《工程力學(xué)：動(dòng)力學(xué)》第4版[22]。還有兩種特色突出的教材，初版于1999年的蘇塔斯-里特爾(Robert W.Soutas-Little)和英曼(Daniel J.Inman)《工程力學(xué)：靜力學(xué)》[23]，1994年首次上網(wǎng)公開的魯納(Andy Ruina)和魯?shù)吕?Rudra Pratap)《靜力學(xué)與動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論》的2015年網(wǎng)絡(luò)公開版[24]。歐洲教材選德國(guó)教材兩種，俄國(guó)教材一種。德文教材為初版于1973年的馬格努斯(Kurt Magnus，1912-2003)和馬勒-斯萊尼(Hans Heinrich M¨uller-Slany)的《工程力學(xué)基礎(chǔ)》第7版[25]，以及初版于1990年格樓斯(Dietmar Gross)等的《工程力學(xué)3：動(dòng)力學(xué)》英文版[26]，基本上對(duì)應(yīng)德文版第11版，德文版是廣泛被采用的教材。該書合作者的5位教授，前四位分別是德國(guó)達(dá)姆施塔特工業(yè)大學(xué)、杜伊斯堡-埃森大學(xué)教授，第五位是美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校教授，因此該書是德國(guó)美國(guó)教授合作的產(chǎn)物。俄文教材是初版于1990年的馬爾契夫(АнатолийПавловичМакив，1942-)《理論力學(xué)》第3版漢譯本[27]。這些教材，大體上可以代表當(dāng)代歐美教材。

總體上，美國(guó)教材[18-24]包括美國(guó)教授參與的德國(guó)教材[26]，運(yùn)動(dòng)學(xué)都不是單獨(dú)成篇，而是與動(dòng)力學(xué)穿插展開。這些教材的運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)內(nèi)容展開次序基本相同[18-20，22-23，26]，包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、剛體(平面和空間)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)，有些運(yùn)動(dòng)學(xué)各部分在相應(yīng)的點(diǎn)、平面運(yùn)動(dòng)剛體、空間運(yùn)動(dòng)剛體和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)之前[18，20，22]，其他的剛體的平面和空間運(yùn)動(dòng)在同一章[19，23，26]。也有教材[21]不講剛體空間運(yùn)動(dòng)學(xué)，只是在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中稍微涉及，但講了空間運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)。個(gè)別教材把剛體的空間運(yùn)動(dòng)留給后續(xù)課程[24]，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)知識(shí)之后，先講剛體平面運(yùn)動(dòng)，隨后專章闡述應(yīng)用時(shí)變基矢量的運(yùn)動(dòng)學(xué)，包括極坐標(biāo)和自然軸系，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)等。德國(guó)教材[25]和俄國(guó)教材[27]中運(yùn)動(dòng)學(xué)集中在一章或者一部分，按照點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)和復(fù)合運(yùn)動(dòng)順序展開。為便于國(guó)內(nèi)同行教學(xué)時(shí)參考，以下按照國(guó)內(nèi)教材的知識(shí)模塊總結(jié)，包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，剛體平面運(yùn)動(dòng)、剛體空間運(yùn)動(dòng)和復(fù)合運(yùn)動(dòng)。

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)部分，所有教材[18-27]都以單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)為主，也涉及點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)。就具體內(nèi)容而言，美國(guó)教材[18-24]和德國(guó)教材[26]專門講直線運(yùn)動(dòng)，側(cè)重微積分的應(yīng)用。曲線運(yùn)動(dòng)包括運(yùn)動(dòng)的矢量描述[18-27]及其在不同坐標(biāo)系中的投影，坐標(biāo)系包括直角坐標(biāo)[18-27]、極坐標(biāo)[18-27]、自然軸系[18-27]、柱坐標(biāo)[18-24，26-27]和球坐標(biāo)[18-24，27]。自然軸系主要討論平面情形[18-27]，也簡(jiǎn)要介紹空間推廣[19-22，24-27]，個(gè)別教材對(duì)空間情形的處理比較詳細(xì)，而且系統(tǒng)地闡述了弧坐標(biāo)的應(yīng)用[23]。點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)包括相對(duì)于平動(dòng)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)而引入相對(duì)速度的概念[18-23]，以及以纜繩和滑輪系統(tǒng)為例說明受約束點(diǎn)系[18-22，24]，也有較為一般的自由度討論[23，25，27]。就內(nèi)容安排而言，多數(shù)先講點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)，再講曲線運(yùn)動(dòng)[18-20，24，27]，個(gè)別教材還區(qū)分平面和空間的曲線運(yùn)動(dòng)[18，27]；有些是直接講點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)[21]；還有些是運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)高度整合，分別按照直角坐標(biāo)或曲線坐標(biāo)描述的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)[22]；或者分別按照直線上或曲線上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)展開[24]。

剛體平面運(yùn)動(dòng)是美國(guó)教材[18-24]的獨(dú)立部分，在歐洲教材[25-27]中作為剛體空間運(yùn)動(dòng)的特例。美國(guó)教材[18-24]的剛體平面運(yùn)動(dòng)包括平面平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和一般平面運(yùn)動(dòng)，以后者為重點(diǎn)。平動(dòng)通常只是提及概念[18，20-22]。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有角速度和角加速度的定義和矢量表示，以及矢量和投影形式的速度和加速度分布[18，20-22]。有些教材直接研究空間的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)[19，23]。一般平面運(yùn)動(dòng)部分包括直接求導(dǎo)數(shù)的方法計(jì)算速度加速度[18-20，22-24]、基點(diǎn)法速度公式[18-24]、瞬心的概念和確定[18-24]以及瞬心的本體和空間軌跡[18，21]、基點(diǎn)法加速度公式[18-24]。直接計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法在教材中名稱不同，如絕對(duì)運(yùn)動(dòng)分析[18，20]、帶參數(shù)的平面運(yùn)動(dòng)分析[19，23]、約束方法[22]和瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)[24]。有些教材還簡(jiǎn)要介紹了剛體系的運(yùn)動(dòng)學(xué)[23]，詳細(xì)地分析了滾動(dòng)和滑動(dòng)相關(guān)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題并包括非完整約束等高級(jí)課題[24]。

作為初級(jí)力學(xué)課程，美國(guó)剛體空間運(yùn)動(dòng)講得都比較簡(jiǎn)略，但處理方式不盡相同。有些教材從空間平動(dòng)[18-19，23]和空間定軸轉(zhuǎn)動(dòng)[18-19，23]開始，然后是定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的有限轉(zhuǎn)動(dòng)[18，20]、瞬時(shí)軸及其空間錐面和本體錐面[18-20]、剛體上點(diǎn)的速度和加速度[18-20]和角速度合成[19]，最后是一般空間運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的速度和加速度關(guān)系[18-20]。也有直接講剛體的一般空間運(yùn)動(dòng)，從剛體上兩點(diǎn)相對(duì)速度和加速度分析入手，得到這兩點(diǎn)絕對(duì)速度的關(guān)系[22-23]；簡(jiǎn)介瞬時(shí)軸及其空間和本體錐面[22]；討論了空間運(yùn)動(dòng)剛體受到的約束，將剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)作為一種受約束運(yùn)動(dòng)，較詳細(xì)地討論瞬時(shí)軸并應(yīng)用于解題[23]。也有作者認(rèn)為工程力學(xué)這種初等課程中不必講剛體空間運(yùn)動(dòng)[24]。德國(guó)教材[25]從剛體一般運(yùn)動(dòng)為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成為出發(fā)點(diǎn)，著重討論平面運(yùn)動(dòng)和定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)兩種特殊情形，并引入歐拉角描述剛體空間運(yùn)動(dòng)。德國(guó)教材[26]直接講空間運(yùn)動(dòng)，按平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和一般運(yùn)動(dòng)展開，但在講一般運(yùn)動(dòng)時(shí)先分析平面的情形也提到空間運(yùn)動(dòng)，特別突出了用瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的分析方法。俄國(guó)教材[27]以高度濃縮的方式完整呈現(xiàn)剛體空間運(yùn)動(dòng)的基本內(nèi)容，把平移和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成抽象為矢量-矩陣描述，引入了歐拉角，證明了定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可以用定軸運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)，引入角速度矢量構(gòu)建了剛體上不同點(diǎn)的速度和加速度關(guān)系，討論了定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)的特例，最后說明了兩種運(yùn)動(dòng)學(xué)不變量。

復(fù)合運(yùn)動(dòng)的內(nèi)容在美國(guó)教材中穿插在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體運(yùn)動(dòng)中，前者其實(shí)是動(dòng)系平動(dòng)的情形，后者就是動(dòng)系有轉(zhuǎn)動(dòng)的情形。動(dòng)系平動(dòng)時(shí)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度分析，多數(shù)美國(guó)教材[18-21，23]在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)部分處理，也有教材[22]在質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)部分講，還有教材[24]只限于直線運(yùn)動(dòng)的情形。動(dòng)系有轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)在所有美國(guó)教材中都有涉及。多數(shù)教材在剛體平面運(yùn)動(dòng)部分闡述，包括動(dòng)坐標(biāo)系中矢量求導(dǎo)[18-19，22]、速度合成公式和加速度合成公式[18-20，22]。有些教材[18-20]在講過剛體空間運(yùn)動(dòng)之后又重新討論速度和加速度合成公式，還補(bǔ)講轉(zhuǎn)動(dòng)系中的相對(duì)導(dǎo)數(shù)[20]。有的教材[21]把動(dòng)參考系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)列為與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體平面運(yùn)動(dòng)并列的模塊，內(nèi)容與前述類似，但可以處理空間問題。教材[23]直接在空間運(yùn)動(dòng)的參考系內(nèi)研究速度合成與加速度合成。教材[24]專門討論了旋轉(zhuǎn)參考系，導(dǎo)出一般的速度合成公式，并用這些公式研究了平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)。德國(guó)教材[25]基于相對(duì)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)出一般的速度合成和加速度合成關(guān)系式，通過分析公式中各項(xiàng)引入三種速度和四種加速度的概念。美國(guó)教材都不提牽連速度和牽連加速度的概念，也不引入牽連點(diǎn)的概念。德國(guó)教材[26]按動(dòng)系僅做平動(dòng)和同時(shí)做平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)兩種情形推導(dǎo)了速度合成公式和加速度合成公式。有轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)也沒有引入相對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念而是通過推導(dǎo)動(dòng)系基矢量導(dǎo)數(shù)得出結(jié)論。俄國(guó)教材[27]對(duì)于一般運(yùn)動(dòng)動(dòng)系證明了速度合成定理和加速度合成定理，還討論了剛體合成運(yùn)動(dòng)。

以上歸納分析表明，盡管國(guó)外特別是美國(guó)教材與國(guó)內(nèi)教材的教學(xué)體系不同，但運(yùn)動(dòng)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)相同。有差別的只是些提高引申內(nèi)容，這些在國(guó)內(nèi)教材中也不盡相同。

3 國(guó)外教材運(yùn)動(dòng)學(xué)部分可參考借鑒之處

國(guó)外教材的運(yùn)動(dòng)學(xué)部分的體系、方法和一些具體的處理可以供國(guó)內(nèi)教材建設(shè)和課堂教學(xué)參考借鑒。

教學(xué)體系方面，首先是運(yùn)動(dòng)學(xué)是否獨(dú)立成篇。德國(guó)教材[25]和俄國(guó)教材[27]與絕大多數(shù)國(guó)內(nèi)教材類似，運(yùn)動(dòng)學(xué)單獨(dú)成篇。這樣的優(yōu)點(diǎn)是知識(shí)體系完整，運(yùn)動(dòng)學(xué)內(nèi)部各知識(shí)點(diǎn)連貫性強(qiáng)，便于不同運(yùn)動(dòng)分析方法間的比較。美國(guó)教材[18-24]和德國(guó)教材[26]都是把運(yùn)動(dòng)學(xué)穿插在動(dòng)力學(xué)中，這樣的主要優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)銜接密切，便于通過在動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用及時(shí)鞏固運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)；也可以把相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析等難點(diǎn)留在動(dòng)力學(xué)最后，便于學(xué)生掌握。

教學(xué)體系還體現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)學(xué)內(nèi)部教學(xué)內(nèi)容的順序。所討論的國(guó)外教材[18-27]都是按照點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)和復(fù)合運(yùn)動(dòng)的順序展開，不同的是美國(guó)教材[18-24]在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)也涉及這個(gè)問題。這種順序的突出優(yōu)點(diǎn)是教學(xué)坡度小，兩點(diǎn)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)比較直觀；而剛體平面運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要內(nèi)容，認(rèn)真學(xué)過的學(xué)生再學(xué)習(xí)復(fù)合運(yùn)動(dòng)時(shí)更容易理解；同時(shí)，也有一定學(xué)習(xí)彈性，確實(shí)難以掌握復(fù)合運(yùn)動(dòng)的學(xué)生，用點(diǎn)和剛體運(yùn)動(dòng)的知識(shí)足以求解運(yùn)動(dòng)學(xué)常見的題目。缺點(diǎn)是從知識(shí)的完整性角度看這樣處理復(fù)合運(yùn)動(dòng)有些零散。國(guó)內(nèi)教材多數(shù)把復(fù)合運(yùn)動(dòng)安排在剛體運(yùn)動(dòng)之前，近年來這一情況有所改變。順便一提，如果靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)獨(dú)立成篇，運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)順序在教學(xué)中沒有特別實(shí)質(zhì)性的差別。靜力學(xué)先講的好處是需要微積分較少，運(yùn)動(dòng)學(xué)先講的好處是與物理差別明顯，容易引起學(xué)生重視。

與所有的早期理論力學(xué)教材[5-16]截然不同，當(dāng)代的理論力學(xué)教材[18-27]系統(tǒng)地采用了矢量記號(hào)，尤其在運(yùn)動(dòng)學(xué)中。矢量表示在理論上便于與解析運(yùn)算結(jié)合。公式推導(dǎo)用矢量，自然軸系坐標(biāo)、極坐標(biāo)系單位矢量導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，都是寫出直角坐標(biāo)系投影后求導(dǎo)計(jì)算，而只有個(gè)別教材[23]同時(shí)用幾何方法說明。相對(duì)速度/加速度與絕對(duì)速度/加速度的關(guān)系也都是通過不同坐標(biāo)系中位置矢量的關(guān)系求導(dǎo)建立，這樣既直接又嚴(yán)謹(jǐn)，完全摒棄了早期教材[12，16]那種基于絕對(duì)、相對(duì)和牽連速度/加速度概念的幾何推導(dǎo)。在具體解題中也采用矢量運(yùn)算，多數(shù)情形是用矢量的直角坐標(biāo)投影表示。矢量的全面采用不僅與矢量記號(hào)程式化程度高便于算法實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)有關(guān)，也與學(xué)生數(shù)學(xué)訓(xùn)練中傳統(tǒng)的幾何內(nèi)容比過去大為減少有關(guān)，過去認(rèn)為通俗直觀的幾何推導(dǎo)在對(duì)現(xiàn)在學(xué)生而言比矢量運(yùn)算更難以接受。

美國(guó)教材在教學(xué)內(nèi)容處理方面力求通俗易接受。復(fù)合運(yùn)動(dòng)的教學(xué)處理體現(xiàn)了全方位通俗化的努力。首先，內(nèi)容的名稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，與復(fù)合運(yùn)動(dòng)相比更為具體，因?yàn)橄鄬?duì)運(yùn)動(dòng)在動(dòng)坐標(biāo)系中真實(shí)存在，可以觀測(cè)可以測(cè)量；從科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的角度，稱為復(fù)合運(yùn)動(dòng)更恰當(dāng)，因?yàn)樽詈蠼Y(jié)果是相對(duì)速度/加速度與絕對(duì)速度/加速度之間的關(guān)系。其次，把相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析分成動(dòng)系做平動(dòng)和有轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分，有些教材后者還進(jìn)一步分為平面和空間情形，由易到難，坡度較小。第三，統(tǒng)一采用矢量運(yùn)算包括求導(dǎo)的方式處理，雖然推導(dǎo)有些繁復(fù)，但思路直接，而且與運(yùn)動(dòng)學(xué)整個(gè)處理方式協(xié)調(diào)一致。最后，避免引入非不可或缺的概念，沒有牽連運(yùn)動(dòng)、牽連點(diǎn)、牽連速度和牽連加速度這些概念；只是在推導(dǎo)出速度關(guān)系和加速度關(guān)系后，說明相對(duì)速度和加速度均為零時(shí)，絕對(duì)速度或加速度就是動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)重合點(diǎn)的速度和加速度，作為一種物理解釋。這樣處理后，復(fù)合運(yùn)動(dòng)這個(gè)難點(diǎn)變得相對(duì)容易掌握。

教材不僅需要完整準(zhǔn)確闡述科學(xué)內(nèi)容，也要便于學(xué)生學(xué)習(xí)參考。因此教材內(nèi)容要便于接受。美國(guó)教材[18-24]這方面尤其突出，非常注意對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的激勵(lì)、引導(dǎo)和幫助。這體現(xiàn)在習(xí)題例題的選擇安排，以及書外輔導(dǎo)材料等；也體現(xiàn)在算法程序和配套軟件等。這兩方面本質(zhì)上與相應(yīng)的靜力學(xué)教材類似，筆者在分析靜力學(xué)教材時(shí)[17]有所討論，就不在此贅述了。德國(guó)和俄國(guó)教材沒有習(xí)題，只有少量說明性例題，沒有示范性例題。因此，德國(guó)教材[25，27]需要配備專門的例題和習(xí)題集，而俄國(guó)教材[26]可配合通用的習(xí)題集[28]。

總之，美國(guó)教材和德國(guó)俄國(guó)教材在教學(xué)處理方面?zhèn)戎厮坪醪煌?。美?guó)教材強(qiáng)調(diào)通俗易懂和使用方便，教學(xué)坡度比較小，教材內(nèi)容豐富。德國(guó)教材和俄國(guó)教材更強(qiáng)調(diào)知識(shí)完整和傳授高效，論述比較簡(jiǎn)潔、篇幅非常精煉。國(guó)內(nèi)教材大體上介于兩者之間。因此在普及方面可以多借鑒美國(guó)教材，在提高方面可以多借鑒德國(guó)俄國(guó)教材。

4 結(jié)語

本文分析了歐美理論力學(xué)教材中運(yùn)動(dòng)學(xué)部分的教學(xué)處理。首先通過概述10部歐美著名教材考察運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的歷史變化。然后分析10部當(dāng)代理論力學(xué)教材中運(yùn)動(dòng)學(xué)主要內(nèi)容。最后討論這些外國(guó)教材可供參考借鑒之處。