鐘韻寧

(廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西桂林 541000)

0 引言

正態(tài)分布是自然界中最常見的一種分布，在正態(tài)樣本下去構造統(tǒng)計量得到各種統(tǒng)計推斷是很有意義的.同時，非中心分布族是常用分布族，在多元分析理論與應用研究中得到廣泛重視，很多學者作出了重要研究，例如推導了非中心分布和雙非中心分布諸統(tǒng)計量的概率分布密度函數(shù)公式[1]，借助超幾何函數(shù)得到非中心卡方分布的特征函數(shù)和非中心F分布的高階矩[2]，推導廣義非中心卡方分布的精確表達式[3].本文基于非中心分布的三個重要結論給出了詳細的證明過程.

引理1[4](非中心Gamma分布的可加性)：若X1～Ga(α1,λ,γ1)，X2～Ga(α2,λ,γ2)，且X1和X2相互獨立，則X1+X2～Ga(α1+α2,λ,γ1+γ2).

1 結論1

證明：

FY(y)=Pr(Yy)

等式兩邊同時求導，得到的密度函數(shù)為

則

由引理1的非中心Gamma分布的可加性，且X1，X2，……，Xn相互獨立，所以有

得證.

引理2[4]：設X1，X2，……，Xn是來自N(0,σ2)的一個樣本，則

2 結論2

設X1，X2，……，Xn1是來自N(μ,σ2)的一個樣本，Y1，Y2，……，Yn2是來自N(0,σ2)的一個樣本，且Xi與Yj相互獨立，則

證明：

則對(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)關于V積分得到U的密度函數(shù)為

所以

3 結論3

設X0～N(μ,σ2)，X1，X2，……，Xn是來自N(0,σ2)的一個樣本，且X0與Xi相互獨立，則

證明：由X0～N(μ,σ2)，有X0/σ～N(μ/σ,1)，記X=X0/σ，且

則

由

則二重積分

其中

所以

所以U的密度函數(shù)與t(n,γ)，γ=μ/σ的密度函數(shù)相同，得證.

4 結束語

本文中的三個結論對數(shù)理統(tǒng)計的基礎學習很重要，通過對三個結論的證明過程詳細推導，對理解這三個結論和對以后構造統(tǒng)計量得到其他分布有一定的借鑒意義.