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        基于非中心分布三個結論的證明

        2020-03-02 08:55:54鐘韻寧
        綿陽師范學院學報 2020年2期

        鐘韻寧

        (廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,廣西桂林 541000)

        0 引言

        正態(tài)分布是自然界中最常見的一種分布,在正態(tài)樣本下去構造統(tǒng)計量得到各種統(tǒng)計推斷是很有意義的.同時,非中心分布族是常用分布族,在多元分析理論與應用研究中得到廣泛重視,很多學者作出了重要研究,例如推導了非中心分布和雙非中心分布諸統(tǒng)計量的概率分布密度函數(shù)公式[1],借助超幾何函數(shù)得到非中心卡方分布的特征函數(shù)和非中心F分布的高階矩[2],推導廣義非中心卡方分布的精確表達式[3].本文基于非中心分布的三個重要結論給出了詳細的證明過程.

        引理1[4](非中心Gamma分布的可加性):若X1~Ga(α1,λ,γ1),X2~Ga(α2,λ,γ2),且X1和X2相互獨立,則X1+X2~Ga(α1+α2,λ,γ1+γ2).

        1 結論1

        證明:

        FY(y)=Pr(Yy)

        等式兩邊同時求導,得到的密度函數(shù)為

        由引理1的非中心Gamma分布的可加性,且X1,X2,……,Xn相互獨立,所以有

        得證.

        引理2[4]:設X1,X2,……,Xn是來自N(0,σ2)的一個樣本,則

        2 結論2

        設X1,X2,……,Xn1是來自N(μ,σ2)的一個樣本,Y1,Y2,……,Yn2是來自N(0,σ2)的一個樣本,且Xi與Yj相互獨立,則

        證明:

        則對(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)關于V積分得到U的密度函數(shù)為

        所以

        3 結論3

        設X0~N(μ,σ2),X1,X2,……,Xn是來自N(0,σ2)的一個樣本,且X0與Xi相互獨立,則

        證明:由X0~N(μ,σ2),有X0/σ~N(μ/σ,1),記X=X0/σ,且

        則二重積分

        其中

        所以

        所以U的密度函數(shù)與t(n,γ),γ=μ/σ的密度函數(shù)相同,得證.

        4 結束語

        本文中的三個結論對數(shù)理統(tǒng)計的基礎學習很重要,通過對三個結論的證明過程詳細推導,對理解這三個結論和對以后構造統(tǒng)計量得到其他分布有一定的借鑒意義.

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