劉新天，張恒，何耀，鄭昕昕，曾國(guó)建

（合肥工業(yè)大學(xué)汽車工程技術(shù)研究院，安徽合肥230009）

鋰電池因其具有高能量比、高效率、循環(huán)壽命長(zhǎng)等顯著特點(diǎn)，而成為未來(lái)電子市場(chǎng)的首選電源[1].與鉛酸電池和鎳氫電池相比，鋰電池因?yàn)榭筛邷卮鎯?chǔ)、快速充電、輸出功率大且沒(méi)有記憶效應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)在車輛和固定式動(dòng)力系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用[2].

作為電池管理系統(tǒng)（Battery Management System，BMS）的核心環(huán)節(jié)之一[3-4]，健康狀態(tài)（State of Health，SOH）因?yàn)槟軌蛱峁?zhǔn)確的數(shù)據(jù)，達(dá)到延長(zhǎng)電池使用壽命的目的，因此在電池使用方面發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.然而，由于電池使用期間伴隨著復(fù)雜的物理和化學(xué)反應(yīng)，鋰電池的性能在使用一定時(shí)間后以非線性的形式惡化[5]，這就給鋰電池狀態(tài)的預(yù)測(cè)帶來(lái)了很大的不確定性[6].

目前，鋰電池狀態(tài)估計(jì)的方法可以分為3大類：基于物理原理建模法[7-11]、基于數(shù)據(jù)建模法[12-15]和兩者相結(jié)合的方法[16].基于物理原理建模法通常通過(guò)建立物理模型和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠?lái)描述鋰電池的物理和失效機(jī)制，然后建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)函數(shù).Tsang等人[17]對(duì)鋰電池等效直流電阻的測(cè)量開(kāi)發(fā)了鋰電池SOH的估算方案.Ning等人[18]根據(jù)負(fù)極內(nèi)的不可逆電化學(xué)反應(yīng)和正電極的氧化反應(yīng)，建立了SOH估算模型.Singh等人[19]開(kāi)發(fā)了一種基于模糊邏輯的鋰離子電池SOH估算方法，其中電化學(xué)阻抗譜（Electrochemical Impedance Spectroscopy，EIS）測(cè)量值作為模糊邏輯模型的輸入量.

基于物理原理建模的方法在有些時(shí)候可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)容量衰減.然而，對(duì)于復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，特別是具有不確定噪聲的系統(tǒng)，通常很難建立精確的分析模型，更不用說(shuō)這些模型通常局限于特定鋰電池類型.另一方面，基于數(shù)據(jù)建模的方法可以捕捉數(shù)據(jù)中的內(nèi)在關(guān)系并學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)中所呈現(xiàn)的變化趨勢(shì)，而不需要材料特性、結(jié)構(gòu)、失效機(jī)制等方面的具體知識(shí)，避免了開(kāi)發(fā)過(guò)于復(fù)雜的物理模型，使得它比基于物理原理建模的方法更易于實(shí)際操作.

近年來(lái)，由于對(duì)物理失效機(jī)制的依賴性較小，基于數(shù)據(jù)建模的方法得到了廣泛的研究.例如，Guo等人[20]研究了一種新的貝葉斯方法，可以在不同的條件下對(duì)鋰電池的剩余壽命（Remaining Useful Life，RUL）進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè).Miao等人[21]提出了一種改進(jìn)無(wú)跡粒子濾波（Unscented Particle Filter，UPF）算法，該算法能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)鋰電池實(shí)際剩余壽命（RUL），預(yù)測(cè)誤差小于5%.He等人[22]使用d-s證據(jù)理論和貝葉斯蒙特卡洛方法對(duì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行剩余壽命（RUL）預(yù)測(cè).

基于數(shù)據(jù)建模的方法因具有簡(jiǎn)單易操作的特點(diǎn)，應(yīng)用較為廣泛.考查鋰電池的整個(gè)壽命周期，容量衰減趨勢(shì)可分為兩個(gè)階段：第一階段為緩慢衰減階段，SOH衰減速度緩慢且時(shí)間較長(zhǎng)；隨后是快速衰減階段，SOH的值迅速下降且用時(shí)較短.因此，常用的單一經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ涂赡茉诓煌A段取得很好的預(yù)測(cè)效果，但是無(wú)法很好地描述鋰電池的整個(gè)壽命周期的變化趨勢(shì).同時(shí)，經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷某跏紖?shù)確定需要大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，意味著在樣本數(shù)量不多的情況下，對(duì)鋰電池的剩余壽命（RUL）預(yù)測(cè)將產(chǎn)生較大誤差.為了解決這些問(wèn)題，本文提出了一種新的融合模型交互式多模型（Interacting Multiple Model，IMM），用于對(duì)不同的衰減模型融合計(jì)算.與經(jīng)典的IMM使用卡爾曼濾波（Kalman Filter，KF）不同，考慮鋰電池衰減呈現(xiàn)非高斯和非線性的趨勢(shì)使用卡爾曼濾波存在較大的誤差，本文擬使用無(wú)跡粒子濾波（UPF）對(duì)各模型進(jìn)行濾波，一方面解決了粒子濾波（Particle Filter，PF）在重采樣過(guò)程中粒子貧化的問(wèn)題，另一方面又比卡爾曼濾波得到了更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)結(jié)果[23].最后通過(guò)仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比的方法對(duì)本文提出的IMMUPF方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)剩余壽命（RUL）較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè).

1 容量衰減模型

1.1 鋰電池容量測(cè)量

本文使用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)源于馬里蘭大學(xué)高等生命周期工程中心（CALCE）[24].

實(shí)驗(yàn)所用的鋰電池額定容量為1 100 mA·h.4個(gè)電池都遵循相同的標(biāo)準(zhǔn)恒定電流/恒定電壓協(xié)議：首先以恒定1 C電流充電，直到電壓達(dá)到4.2 V，然后以4.2 V恒壓充電，直到充電電流降至0.05 A以下后，結(jié)束充電.在室溫下（25℃）進(jìn)行充放電實(shí)驗(yàn)，記錄每一次完全充放電過(guò)程后的放電容量.容量衰減曲線如圖1所示，電池的失效閾值（Failure Threshold，F(xiàn)T）設(shè)為880 mA·h（即SOH=80%時(shí)對(duì)應(yīng)的電池容量）.

在本文中，有4組容量數(shù)據(jù)A1、A2、A3和A4，如圖1所示，圖中每一條線代表電池最大可用容量和循環(huán)次數(shù)之間的關(guān)系.與A1、A2和A3電池相比，A4與其他電池存在較大的差異性，為了驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性，電池A1、A2、A3的數(shù)據(jù)將用于確定各單一模型參數(shù)的初始值，A4電池的數(shù)據(jù)將被用來(lái)對(duì)本文方法預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性的驗(yàn)證.

圖1 容量衰減曲線Fig.1 Capacity decay curve

1.2 多項(xiàng)式模型

Micea等人[25]提出一種由最小二乘法來(lái)估計(jì)電池容量Ck的二階多項(xiàng)式回歸方程.方程描述了鋰電池在循環(huán)次數(shù)k與可以存儲(chǔ)的最大容量Ck之間的關(guān)系，多項(xiàng)式的表達(dá)式為（模型1）：

式中：Ck表示鋰電池在循環(huán)次數(shù)k時(shí)的電池容量；k表示鋰電池循環(huán)次數(shù)；參數(shù)a、b和c都是與放電電流I和溫度T有關(guān)的常數(shù)，可以通過(guò)曲線擬合確定取值.

電池A1的容量數(shù)據(jù)以及對(duì)應(yīng)方程（1）的曲線擬合結(jié)果（實(shí)線）如圖2所示.利用MATLAB中的曲線擬合工具對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì).為了考查該模型是否適用于測(cè)試實(shí)驗(yàn)對(duì)象，將擬合優(yōu)度作為模型擬合度好壞的評(píng)價(jià)指標(biāo).若曲線擬合良好，則根均方誤差（Root Mean Square Error，RMSE）將接近0，而決定系數(shù)（Coefficient of Determination，一般稱為R2）將接近1.

圖2 模型1對(duì)A1電池的曲線擬合Fig.2 The curve fitting of the model 1 to the battery A1

1.3 指數(shù)模型

Goebel等人[26]用兩個(gè)指數(shù)函數(shù)之和來(lái)描述固體電解質(zhì)界面膜（Solid Electrolyte Interphase，SEI）隨時(shí)間的增厚引起的內(nèi)阻抗增加.由于電池容量衰減主要與內(nèi)部阻抗增加有關(guān)，容量衰減的模型也可用指數(shù)模型來(lái)描述.文獻(xiàn)[27]采用MATLAB曲線擬合工具，基于最小二乘法估計(jì)方法，建立了用雙指數(shù)方程（2）表示的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停Ｐ?），此模型能夠較好地?cái)M合鋰電池壽命的衰減過(guò)程.

式中：Ck表示鋰電池在循環(huán)次數(shù)k時(shí)的電池容量；k表示鋰電池循環(huán)次數(shù)；參數(shù)a和b是與內(nèi)部阻抗有關(guān)的常數(shù)；參數(shù)c和d是和電池老化速率有關(guān)的常數(shù).a、b、c和d的值可以通過(guò)曲線擬合確定.

式（2）關(guān)于電池A1的容量數(shù)據(jù)的曲線擬合結(jié)果（實(shí)線）如圖3所示.

圖3 模型2對(duì)A1電池的曲線擬合Fig.3 The curve fitting of the model 2 to the battery A1

1.4 集成模型

Xing等人[28]開(kāi)發(fā)了一種融合模型1和模型2的集成模型，該模型可以很好地?cái)M合部分?jǐn)?shù)據(jù)，有較好的全局?jǐn)M合優(yōu)度.公式為（模型3）：

式中：Ck表示電池容量；k表示循環(huán)次數(shù)；參數(shù)a、b、c和d可用MATLAB中的曲線擬合工具求得.式（3）關(guān)于電池A1的容量數(shù)據(jù)的曲線擬合結(jié)果（實(shí)線）如圖4所示.

圖4 模型3對(duì)A1電池的曲線擬合Fig.4 The curve fitting of the model 3 to the battery A1

表1顯示了電池A1關(guān)于3個(gè)模型的擬合參數(shù)值，包括95%置信區(qū)間的上下限.表2顯示了A1、A2和A3電池對(duì)應(yīng)各模型的擬合參數(shù)值.表3顯示了3節(jié)電池基于3種模型的擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì).

表1 A1擬合參數(shù)值（包括95%置信區(qū)間）Tab.1 Fitted parameter values for A1（bounds for the 95%confidence intervals included）

表2 A1、A2、A3電池的3種模型擬合參數(shù)值Tab.2 Fitting parameters of three models for battery A1，A2 and A3

表3 擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)Tab.3 Goodness-of-fit statistics

2 交互式多模型無(wú)跡粒子濾波器

2.1 無(wú)跡粒子濾波器

粒子濾波是一種將貝葉斯學(xué)習(xí)技術(shù)與重要性采樣相結(jié)合的遞歸估計(jì)方法，也被稱為序貫蒙特卡羅方法.對(duì)于給定系統(tǒng)：

式中：x為狀態(tài)向量；Z為測(cè)量向量；Wk為過(guò)程噪聲；Vk為測(cè)量噪聲.假定觀測(cè)量Zk獨(dú)立于給定當(dāng)前狀態(tài)量xk的其他狀態(tài).

PF算法的關(guān)鍵是用一組具有相關(guān)權(quán)重的粒子表示概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF）：

UPF算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

1）初始化.對(duì)應(yīng)方程（4）的系統(tǒng)，周期為k的方程為：

2）Sigma采樣和權(quán)值計(jì)算.

其中n=nx+nV+nW表示狀態(tài)量、過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲的維數(shù)之和.相應(yīng)的權(quán)重為：

3）預(yù)測(cè)函數(shù)的更新.

4）權(quán)值計(jì)算和重采樣.

權(quán)重值可以由如下公式確定：

權(quán)重標(biāo)準(zhǔn)化：

重采樣：當(dāng)Neff的值小于閾值Nth時(shí)，進(jìn)行重采樣，閾值Nth通常設(shè)為Nth=2N/3.Neff可由以下計(jì)算式得到：

狀態(tài)量和對(duì)應(yīng)的協(xié)方差為：

2.2 交互式無(wú)跡粒子濾波

IMM-UPF不僅可以處理非線性和非高斯噪聲，而且可以對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的估計(jì)[29].

IMM-UPF有4個(gè)主要步驟：

1）輸入交互.對(duì)于模型j，周期為k時(shí)：

2）濾波.對(duì)于模型j，粒子將用UPF進(jìn)行濾波，利用周期k的粒子集得到下一周期k+1的狀態(tài)及其協(xié)方差的估計(jì)量和，殘差及其協(xié)方差為.

3）更新.原有的概率將被更新，新的混合概率將根據(jù)其似然函數(shù)進(jìn)行計(jì)算.對(duì)于模型j，其似然函數(shù)可以寫成：

其中N[·]表示服從高斯分布的密度函數(shù).新的混合概率表示為：

4）輸出交互.表示狀態(tài)及其協(xié)方差的粒子集將通過(guò)下列函數(shù)實(shí)現(xiàn)交互：

最后狀態(tài)量及其協(xié)方差以下列方式輸出：

周期為k時(shí)交互式多模型無(wú)跡粒子濾波器的流程圖如圖5所示.

圖5 IMM-UPF流程圖Fig.5 The flowchart of the IMM-UPF

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 初始參數(shù)與狀態(tài)方程確認(rèn)

為了驗(yàn)證交互多模型在提高預(yù)測(cè)精度上的有效性，本文進(jìn)行了2個(gè)案例研究.1）A4電池對(duì)應(yīng)各模型的初始參數(shù)可以由另外三節(jié)電池A1、A2和A3得到.當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)TD=300時(shí)，各模型分別使用UPF算法來(lái)預(yù)測(cè)A4電池的剩余使用壽命，結(jié)果分別如圖6、圖7和圖8所示.2）利用交互式多模型對(duì)A4電池的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波和參數(shù)更新，3個(gè)模型在每個(gè)周期的狀態(tài)量和協(xié)方差在IMM中實(shí)現(xiàn)輸入和輸出交互.IMM-UPF的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖9所示.假設(shè)A1、A2和A3的擬合參數(shù)值均可信，基于不同電池的參數(shù)值的初始基本置信分配可以由如下公式確定（以各模型參數(shù)a的置信度為例）：

圖6 TD=300時(shí)，模型1使用UPF算法的仿真結(jié)果Fig.6 TD=300，simulation results of model 1 using UPF algorithm

圖7 TD=300時(shí)，模型2使用UPF算法的仿真結(jié)果Fig.7 TD=300，simulation results of model 2 using UPF algorithm

圖8 TD=300時(shí)，模型3使用UPF算法的仿真結(jié)果Fig.8 TD=300，simulation results of model 3 using UPF algorithm

圖9 TD=300時(shí)，A4電池使用IMM-UPF算法的仿真結(jié)果Fig.9 TD=300，simulation result of battery A4 using IMM-UPF algorithm

其中實(shí)驗(yàn)樣本有3組，即電池A1、A2和A3，所以n=3.由此，模型的初始值為：

根據(jù)初始值唯一確定的假設(shè)，隨著樣本數(shù)據(jù)的增加，初始參數(shù)的估計(jì)值越接近真實(shí)值.

為了實(shí)現(xiàn)IMM的對(duì)輸入量的交互作用，需要將3個(gè)模型的狀態(tài)量均設(shè)為電容量Ck，以雙指數(shù)型2為例，狀態(tài)方程可以寫成如下形式：

對(duì)應(yīng)的測(cè)量方程為：

其中x（k）表示在循環(huán)次數(shù)為k時(shí)的電池可用最大容量預(yù)測(cè)值；y（k）表示循環(huán)次數(shù)為k時(shí)的最大容量測(cè)量值；N（0，σμ）和N（0，σv）分別表示均值為0和標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯噪聲；a、b、c和d為模型初始值，由式（43）給出.

3.2 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在仿真中，使用前300組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，失效閾值為SOH=0.8，即容量Ck=0.88 A·h，電池實(shí)際壽命為665.即當(dāng)=0.88 A·h時(shí)，對(duì)應(yīng)的A4電池循環(huán)次數(shù)為665次.

為了驗(yàn)證本文提出算法的有效性，使用絕對(duì)誤差和剩余壽命（RUL）概率密度函數(shù)（PDF）的標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)衡量仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性[30].

圖6、圖7和圖8顯示了僅使用UPF算法對(duì)A4電池的模型1、模型2和模型3的預(yù)測(cè)曲線.模型1和模型3的預(yù)測(cè)結(jié)果分別為424和530，即預(yù)測(cè)結(jié)果的絕對(duì)誤差分別為241和135，RUL的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為48和42.模型2在SOH=0.8時(shí)的預(yù)測(cè)結(jié)果為706，絕對(duì)誤差為41，RUL的標(biāo)準(zhǔn)偏差為37.

圖9顯示了用IMM-UPF算法得到的電池A4的壽命預(yù)測(cè)曲線.當(dāng)SOH=0.8時(shí)算法的仿真結(jié)果為675，對(duì)應(yīng)的絕對(duì)誤差為10，RUL的標(biāo)準(zhǔn)偏差為19.

4 結(jié)論

1）通過(guò)對(duì)電池?cái)?shù)據(jù)的采集和曲線擬合工具的使用，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式模型、雙指數(shù)模型和集成模型可以較好地?cái)M合鋰電池容量衰減過(guò)程.在對(duì)各模型初始參數(shù)值的確定中，發(fā)現(xiàn)在給定相同的樣本數(shù)量時(shí)，多項(xiàng)式模型和集成模型預(yù)測(cè)結(jié)果誤差相對(duì)較大，且穩(wěn)定性較差，雖然雙指數(shù)模型在剩余壽命（RUL）的預(yù)測(cè)絕對(duì)誤差較小，但概率分布（PDF）的標(biāo)準(zhǔn)差較大，即預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性也較差.單一模型較難滿足鋰電池剩余壽命準(zhǔn)確估計(jì)的要求.

2）交互式多模型的使用，使得預(yù)測(cè)結(jié)果不僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)各模型初始參數(shù)的精確性依賴度下降，提高了實(shí)際使用時(shí)的效率和降低了成本，而且減小了預(yù)測(cè)誤差，且RUL-PDF分布更窄，即預(yù)測(cè)結(jié)果更加穩(wěn)定，是一種實(shí)際使用中可行的鋰電池壽命預(yù)測(cè)方法.本文最后通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較的方法，比較了單模型使用UPF算法和多模型使用IMM-UPF算法對(duì)SOH進(jìn)行估計(jì)的誤差，結(jié)果表明，IMM-UPF算法減少了預(yù)測(cè)的誤差，具有較好的精度，即穩(wěn)定性更好.