周蘇婷， 呂震宙， 凌春燕，王燕萍

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

全局靈敏度分析可以從輸入變量的整個(gè)分布范圍來(lái)衡量輸入變量的不確定性對(duì)工程設(shè)計(jì)中所感興趣的輸出性能統(tǒng)計(jì)特征的貢獻(xiàn)程度[1-2]，通常在可靠性分析中，更關(guān)注結(jié)構(gòu)是否失效以及輸入變量對(duì)于結(jié)構(gòu)失效概率的影響程度。為了衡量輸入變量對(duì)于結(jié)構(gòu)失效概率的影響并對(duì)輸入變量的重要性進(jìn)行排序，Cui等[3]提出了可靠性全局靈敏度指標(biāo)?？煽啃匀朱`敏度指標(biāo)定義為某一輸入變量固定時(shí)，結(jié)構(gòu)的無(wú)條件失效概率與條件失效概率的差異在輸入變量的整個(gè)分布范圍內(nèi)的平均值，該指標(biāo)反映了輸入變量固定時(shí)對(duì)失效概率的平均影響。與可靠性局部靈敏度指標(biāo)[4-5]不同，可靠性全局靈敏度指標(biāo)可以從輸入變量的整個(gè)不確定性范圍來(lái)衡量其對(duì)于失效概率的平均影響。

本文提出了利用貝葉斯公式轉(zhuǎn)換以及元重要抽樣算法[6-7]結(jié)合自適應(yīng)Kriging代理的可靠性全局靈敏度，并組織了求解可靠性全局靈敏度指標(biāo)的高效算法。基于貝葉斯公式可以將可靠性全局靈敏度指標(biāo)的原始定義等價(jià)表示為輸入變量的無(wú)條件概率密度函數(shù)(Probability Density Fanction, PDF)與條件概率密度函數(shù)之間的差異與失效概率的乘積形式，從而避免條件失效概率的求解[8-9]。基于此等價(jià)形式，只需要一組樣本，便可以得到各輸入變量的可靠性全局靈敏度指標(biāo)。利用貝葉斯算法進(jìn)行可靠性全局靈敏度分析的研究已有很多，Wang等[8]利用貝葉斯公式，將可靠性全局靈敏度指標(biāo)的定義式進(jìn)行了等價(jià)轉(zhuǎn)換，并采用蒙特卡羅法來(lái)計(jì)算可靠性全局靈敏度指標(biāo)。該方法適用范圍雖廣，但在計(jì)算工程實(shí)際中的小失效概率問(wèn)題時(shí)計(jì)算量過(guò)于龐大。Wang等[9]則結(jié)合重要抽樣方法來(lái)計(jì)算可靠性全局靈敏度指標(biāo)的貝葉斯等價(jià)形式。該方法只需一組樣本便可以計(jì)算得到所有輸入變量的可靠性全局靈敏度指標(biāo)，且計(jì)算量獨(dú)立于輸入變量的維數(shù)，明顯地提高了計(jì)算的效率。但是重要抽樣方法[10-11]需要構(gòu)造重要抽樣密度函數(shù)，一般來(lái)說(shuō)需要將重要抽樣密度函數(shù)的中心放在設(shè)計(jì)點(diǎn)處，這就使得該方法依賴于其他方法來(lái)尋找設(shè)計(jì)點(diǎn)，并且重要抽樣方法對(duì)于多設(shè)計(jì)點(diǎn)的情況和多失效域的情況并不適用。Yun等[12]基于可靠性全局靈敏度指標(biāo)的貝葉斯公式轉(zhuǎn)換后的等價(jià)形式，利用子集模擬方法[13-16]結(jié)合重要抽樣的方法進(jìn)行可靠性全局靈敏度的計(jì)算。該方法在利用子集模擬結(jié)合重要抽樣的方法計(jì)算得到無(wú)條件失效概率的同時(shí)，通過(guò)重復(fù)利用子集模擬重要抽樣方法抽取的樣本，并利用Metropolis-Hastings(M-H)[17]準(zhǔn)則來(lái)實(shí)現(xiàn)失效樣本的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而估計(jì)各輸入變量的失效條件概率密度函數(shù)。該方法同樣只需要一組樣本便可計(jì)算得到可靠性全局靈敏度指標(biāo)，且對(duì)于小失效概率問(wèn)題是有效可行的。但該方法抽樣過(guò)程中所結(jié)合的重要抽樣方法仍然依賴于設(shè)計(jì)點(diǎn)的選取，因而該方法依舊很難適用于多設(shè)計(jì)點(diǎn)和多失效域的情況。

對(duì)于實(shí)際工程中普遍存在大量復(fù)雜的功能函數(shù)，自適應(yīng)Kriging(Adaptive Kriging, AK)代理模型法是處理這類問(wèn)題的高效算法[18]。可靠性分析中涉及到的自適應(yīng)Kriging算法有自適應(yīng)Kriging代理模型結(jié)合Monte Carlo模擬(Monte Carlo Simulation, MCS)法(AK-MCS)[19]、自適應(yīng)Kriging代理模型結(jié)合重要抽樣(Important Sampling, IS)法(AK-IS)[20]以及元重要抽樣算法(Meta-IS)[6-7]等。AK-MCS算法將自適應(yīng)Kriging代理模型與Monte Carlo模擬法相結(jié)合，其首先由輸入變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)產(chǎn)生MCS備選樣本池，然后利用學(xué)習(xí)函數(shù)在備選樣本池中逐步挑選對(duì)失效面擬合貢獻(xiàn)較大的點(diǎn)來(lái)更新Kriging模型，最終能夠確保Kriging模型能在一定的置信水平下識(shí)別樣本池內(nèi)樣本的功能函數(shù)值的正負(fù)號(hào)，從而較準(zhǔn)確地求得失效概率。但對(duì)于工程上常見(jiàn)的小失效概率問(wèn)題，AK-MCS算法的樣本池容量龐大，進(jìn)而使得代理過(guò)程十分耗時(shí)。將重要抽樣法與自適應(yīng)Kriging過(guò)程相結(jié)合形成的AK-IS算法可以大大降低備選樣本池的規(guī)模，從而提高自適應(yīng)學(xué)習(xí)的效率，減少自適應(yīng)學(xué)習(xí)過(guò)程所消耗的時(shí)間。但是對(duì)于多設(shè)計(jì)點(diǎn)及多失效域問(wèn)題，基于一次二階矩法構(gòu)造重要抽樣密度函數(shù)的AK-IS算法將失效，因而對(duì)于多設(shè)計(jì)點(diǎn)及多失效域的問(wèn)題需要另尋解決途徑。元模型重要抽樣算法(Meta-IS)通過(guò)元模型構(gòu)造重要抽樣密度函數(shù)，進(jìn)而來(lái)抽取重要抽樣樣本點(diǎn)。該方法在降低AK-MCS樣本池規(guī)模的同時(shí)避免了設(shè)計(jì)點(diǎn)的求解，適用于多設(shè)計(jì)點(diǎn)和多失效域問(wèn)題的可靠性分析。然而，Meta-IS算法在抽取重要抽樣樣本后仍需要求解重要抽樣樣本點(diǎn)處真實(shí)的功能函數(shù)值來(lái)估計(jì)失效概率，所以該算法仍有較大的計(jì)算量。如果在元重要抽樣的基礎(chǔ)上嵌入自適應(yīng)Kriging模型，形成Meta-IS-AK算法，則有可能極大程度地提高失效概率求解的效率，本文將采用這種思路求解失效概率，并在此基礎(chǔ)上組織可靠性全局靈敏度的算法。

利用可靠性全局靈敏指標(biāo)的貝葉斯轉(zhuǎn)換形式，只要能求得無(wú)條件失效概率和失效域條件下輸入變量的概率密度函數(shù)即可直接求得可靠性全局靈敏度，而求解無(wú)條件失效概率的數(shù)字模擬法可以同時(shí)完成失效概率的計(jì)算以及失效域條件下輸入變量概率密度函數(shù)的求解，為此本文將Meta-IS與自適應(yīng)Kriging模型結(jié)合起來(lái)，以便完成可靠性全局靈敏度的高效求解。本文所組織的Meta-IS-AK算法主要分3步來(lái)執(zhí)行。第1步是由元重要抽樣的迭代策略得到逐步逼近最優(yōu)重要抽樣函數(shù)的樣本點(diǎn)，在迭代收斂后便可以得到第1步的Kriging模型以及相應(yīng)的重要抽樣樣本點(diǎn)。第2步是基于重要抽樣樣本構(gòu)建自適應(yīng)Kriging模型，該步的Kriging模型是在第1步得到的Kriging模型的基礎(chǔ)上逐步更新得到的，其目的是為了構(gòu)建能夠?qū)Φ?步中重要抽樣樣本點(diǎn)失效與否做出準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的Kriging模型，從而高效地求解出無(wú)條件失效概率。然而Meta-IS-AK算法抽取的失效域內(nèi)的樣本點(diǎn)的密度函數(shù)為最優(yōu)重要抽樣密度函數(shù)，因而無(wú)法直接用于估計(jì)輸入變量失效域內(nèi)的條件概率密度函數(shù)，為此第3步則對(duì)失效域內(nèi)服從于重要抽樣密度函數(shù)的樣本點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，該轉(zhuǎn)換將利用Metropolis-Hastings準(zhǔn)則由重要抽樣密度函數(shù)的失效樣本點(diǎn)來(lái)得到原概率密度函數(shù)在失效域內(nèi)的樣本點(diǎn)，進(jìn)而求得各個(gè)輸入變量在失效域中的條件概率密度函數(shù)。

本文主要由以下幾部分組成。第1節(jié)簡(jiǎn)要地回顧了已有的利用貝葉斯公式轉(zhuǎn)換的可靠性全局靈敏度的形式，第2節(jié)詳細(xì)介紹了本文所提的計(jì)算可靠性全局靈敏度的高效算法。第3節(jié)分別給出了數(shù)值與工程算例，驗(yàn)證了所提算法的高效性，第4節(jié)則得出結(jié)論。

1 基于貝葉斯公式的可靠性全局靈敏度指標(biāo)的轉(zhuǎn)換形式

(1)

利用貝葉斯公式，可將條件失效概率Pf|Xi進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換[8-9,12,23-24]：

(2)

將式(2)代入到式(1)中，即可得到基于貝葉斯公式的可靠性全局靈敏度指標(biāo)表達(dá)式：

(3)

2 求解可靠性全局靈敏度指標(biāo)的高效算法

2.1 失效概率Pf的估計(jì)

(4)

步驟1以gK1(x)作為gK2(x)的初始模型，即令gK2(x)=gK1(x)。

步驟3計(jì)算g(xu)，將(xu,g(xu))添加到訓(xùn)練集T中，形成更新的訓(xùn)練集T={T∪(xu,g(xu))}。

步驟4由T更新gK2(x)，并返回步驟2。

(5)

(6)

(7)

2.2 失效域條件下輸入變量的概率密度函數(shù)估計(jì)

步驟2計(jì)算下列比值r,并由r確定下一個(gè)馬爾可夫鏈樣本

i=1,2,…,NF-1

(8)

i=1,2,…,NF-1

(9)

式中：u為[0,1]區(qū)間上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

2.3 Meta-IS-AK算法求解可靠性全局靈敏度指標(biāo)流程圖

由2.1和2.2節(jié)的內(nèi)容可給出Meta-IS-AK算法求解可靠性全局靈敏度的流程如圖1所示。

圖1 Meta-IS-AK算法求解的流程圖Fig.1 Flowchart of estimating Meta-IS-AK algorithm

3 算例分析

為了驗(yàn)證所提算法在求解可靠性全局靈敏度的效率和精度，本節(jié)給出了3個(gè)算例，分別采用準(zhǔn)Monte Carlo算法(QMC)、AK-MCS算法、Meta-IS算法及Meta-IS-AK算法求解可靠性全局靈敏度指標(biāo)。其中QMC算法結(jié)果將作為參照解。

3.1 不連續(xù)多失效域算例

考慮一個(gè)多失效域的算例，其功能函數(shù)為

(10)

(11)

圖2 算例3.1失效邊界Fig.2 Failure boundary of Example 3.1

表1 算例3.1可靠性全局靈敏度指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果

Table 1Results of reliability global sensitivity index for Example 3.1

算法X1/10-3X2/10-3NcallQMC14.5[0.30]14.5[0.46]1×105AK-MCS14.2[0.23]14.1[0.35]440Meta-IS14.2[0.41]14.0[0.65]42+5 000Meta-IS-AK14.2[0.43]13.9[0.65]42+254

注：數(shù)據(jù)右上標(biāo)為可靠性全局靈敏度指標(biāo)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差,Ncall為功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。

3.2 鋼架結(jié)構(gòu)算例

對(duì)于一鋼架結(jié)構(gòu)，有4個(gè)失效模式：

(12)

因?yàn)槭谴?lián)系統(tǒng)，所以系統(tǒng)的功能函數(shù)g為g=min{g1,g2,g3,g4}。在各個(gè)失效模式的功能函數(shù)中，Mi(i=1,2,3)與S是獨(dú)立的，均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:μMi=2(i=1,2,3),μS=1,σMi=2(i=1,2,3),σS=0.25。各輸入變量所對(duì)應(yīng)的可靠性全局靈敏度指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 算例3.2可靠性全局靈敏度指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果

由表2中結(jié)果可以看出，Meta-IS-AK算法得到的計(jì)算結(jié)果與QMC算法計(jì)算所得結(jié)果基本一致，且模型的調(diào)用次數(shù)低于QMC算法與AK-MCS算法以及Meta-IS算法。這說(shuō)明Meta-IS-AK算法能夠很好地適用于多個(gè)失效模式的情況。對(duì)于此算例，輸入變量的重要性排序?yàn)镾>M3>M1>M2。此外，輸入變量S對(duì)失效概率的影響較其他輸入變量的影響大很多。因此在進(jìn)行可靠性設(shè)計(jì)時(shí)通過(guò)調(diào)整輸入變量S的不確定性可以更有效地滿足可靠性要求。此外，M2對(duì)失效概率影響的靈敏度指標(biāo)較其他的輸入變量小很多，因此可以忽略M2的不確定性對(duì)于失效概率的影響，可以通過(guò)將M2固定在均值處來(lái)簡(jiǎn)化失效概率的求解模型。

3.3 簡(jiǎn)化的翼盒結(jié)構(gòu)算例(多設(shè)計(jì)點(diǎn)算例)

圖3(a)是簡(jiǎn)化翼盒模型的示意圖。這種翼盒結(jié)構(gòu)由64個(gè)桿和42個(gè)板組成。64個(gè)桿根據(jù)它們的方向分為3組，x、y和z方向上桿的長(zhǎng)度分別是2L、L和 3L。所有桿的截面積均為A，所有板的厚度均為TH，E和P分別是所有板和桿的彈性模量和外部載荷。泊松比為0.3。假設(shè)輸入變量是獨(dú)立的正態(tài)變量，其分布參數(shù)如表3所示。

圖3 翼盒結(jié)構(gòu)Fig.3 Wing box structure

表3 算例3.3輸入變量的分布參數(shù)

Table 3Distribution parameters of input variables of Example 3.3

變量分布均值變異系數(shù)A/m2正態(tài)1×10-40.1L/m正態(tài)0.20.1E/Pa正態(tài)7.1×10100.12P/N正態(tài)1 5000.1TH/m正態(tài)2.5×10-30.15

由于翼盒結(jié)構(gòu)承擔(dān)了來(lái)自機(jī)翼的大部分垂直方向的載荷，其自由端的位移可能相對(duì)較大。大的位移可能會(huì)引起桿的變形并導(dǎo)致桿或板的破壞，這在飛行過(guò)程中是不允許的。因此計(jì)算翼盒結(jié)構(gòu)的位移是很有必要的，且位移的計(jì)算可以通過(guò)有限元分析完成。圖3(b)顯示了在ANSYS 14.0中構(gòu)建的翼盒結(jié)構(gòu)的有限元模型，其中輸入變量固定在它們的均值處，此外，翼盒的變形如圖3(c)所示。

本文中，該翼盒的隱式功能函數(shù)是根據(jù)翼盒的最大位移Dmax不超過(guò)臨界值構(gòu)造的(這里臨界值等于0.01)，其表達(dá)式為

g(X)=0.01-|Dmax|

(13)

式中：Dmax=D(L,A,E,P,TH)，是關(guān)于輸入變量的隱式函數(shù)，由有限元分析確定。算例3.3的可靠性全局靈敏度計(jì)算結(jié)果如圖4所示，計(jì)算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差如表4所示。

圖4 算例3.3可靠性全局靈敏度指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果Fig.4 Results of reliability global sensitivity index for Example 3.3

表4 算例3.3可靠性全局靈敏度指標(biāo)結(jié)果

Table 4Reliability global sensitivity index forExample 3.3

變量SDi/10-5QMCAK-MCSMeta-ISMeta-IS-AKA/m20.270.200.170.18L/m0.260.110.140.11E/Pa5.363.875.045.05P/N0.350.420.330.32TH/m8.178.856.376.30Ncall5×10512033+5 00033+59

由表4中的結(jié)果可以看出，Meta-IS-AK算法得到的計(jì)算結(jié)果精度較高且模型的調(diào)用次數(shù)低于QMC算法與AK-MCS算法以及Meta-IS算法，這說(shuō)明了Meta-IS-AK算法能夠很好地適用于隱式功能函數(shù)的情況。對(duì)于算例3.3，輸入變量的的不確定性對(duì)于失效概率影響的重要性排序?yàn)門H>E>P>L>A。從圖4的結(jié)果可以看出，輸入變量TH對(duì)失效概率的影響較其他輸入變量的影響大很多，因此在進(jìn)行可靠性設(shè)計(jì)時(shí)調(diào)整輸入變量TH的不確定性可以更有效地滿足可靠性要求。從圖4的結(jié)果還可以看出，L和A的不確定性對(duì)于失效概率的影響較其他的輸入變量小很多，因此忽略L和A的不確定性對(duì)于失效概率的影響可以簡(jiǎn)化失效概率的求解模型。

4 結(jié) 論

1) 可靠性全局靈敏度指標(biāo)可以有效地衡量輸入變量對(duì)于結(jié)構(gòu)失效概率的影響。為了高效地計(jì)算可靠性全局靈敏度指標(biāo)，本文提出了可靠性全局靈敏度指標(biāo)計(jì)算的Meta-IS-AK算法。

2) Meta-IS-AK算法在計(jì)算可靠性全局靈敏度指標(biāo)時(shí)充分利用了可靠性全局靈敏度指標(biāo)貝葉斯算法的維度獨(dú)立性，也使得該指標(biāo)的求解轉(zhuǎn)化為輸出樣本的分類問(wèn)題，這就使可靠性全局靈敏度指標(biāo)可以通過(guò)嵌入式代理模型結(jié)合數(shù)字模擬法來(lái)求解。相比于傳統(tǒng)的重要抽樣函數(shù)，元重要抽樣法構(gòu)造的準(zhǔn)最優(yōu)抽樣密度函數(shù)能夠很好地適用于多設(shè)計(jì)點(diǎn)和多失效域的情況。在此基礎(chǔ)上構(gòu)造重構(gòu)的功能函數(shù)的代理模型能夠準(zhǔn)確地對(duì)準(zhǔn)重要抽樣密度函數(shù)抽取的樣本進(jìn)行分類，進(jìn)一步地提高了失效概率的計(jì)算效率。M-H準(zhǔn)則無(wú)需額外調(diào)用功能函數(shù)便可以將準(zhǔn)重要抽樣密度函數(shù)的失效樣本轉(zhuǎn)化成原概率密度函數(shù)的失效樣本，大大提高了求解輸入變量的失效條件概率密度函數(shù)的效率。

3) 所提方法能夠很好地適用于多設(shè)計(jì)點(diǎn)和多失效域的情況，也適用于隱函數(shù)問(wèn)題的可靠性靈敏度分析。所提方法的計(jì)算效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于QMC算法，同時(shí)較AK-MCS算法以及Meta-IS算法也有提高。所給算例充分驗(yàn)證了以上結(jié)論。