徐艷敏

排列組合問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)的基本方法,也是學(xué)好概率的基礎(chǔ)．分配問(wèn)題是排列組合中的常考類型,處理此類問(wèn)題時(shí),需要將待分配的個(gè)體先分組,再分配．根據(jù)待分配的個(gè)體是否相同,又可分為不同元素的分配問(wèn)題和相同元素的分配問(wèn)題．本文結(jié)合例題說(shuō)明這兩類分配問(wèn)題的求解策略，供同學(xué)們參考．

1 不同元素的分配問(wèn)題

不同元素的分配問(wèn)題,通常是先分組后分配,將n個(gè)不同名額,按一定的條件分成m組,根據(jù)所給的條件可分為平均分組、不平均分組、部分平均分組,分組的過(guò)程常借助分步計(jì)數(shù)原理及排列組合知識(shí)．分組時(shí),若兩個(gè)組中的個(gè)體數(shù)相同時(shí),則兩個(gè)組不進(jìn)行區(qū)分．分配時(shí)根據(jù)所給的條件又可分為定向分配與不定項(xiàng)分配．兩個(gè)單位中個(gè)體數(shù)相同,但分配的名額不同時(shí),仍需區(qū)分．

例1(1)將6名實(shí)習(xí)生,分配到A，B，C三個(gè)工作單位,A單位1人,B單位2人,C單位3人,共有多少種分配方法？

(2)將6名實(shí)習(xí)生,分配到A，B，C三個(gè)工作單位,一個(gè)單位1人,一個(gè)單位2人,一個(gè)單位3人,共有多少種分配方法？

(3)將6名實(shí)習(xí)生,分配到A，B，C三個(gè)工作單位,每個(gè)單位2人,共有多少種分配方法？

(4)將6名實(shí)習(xí)生,全部分配到A，B，C三個(gè)工作單位，每個(gè)單位至少1人,共有多少種分配方法？

解析 (1)屬于非平均分組,且為定向分配問(wèn)題,即每個(gè)單位的實(shí)習(xí)生人數(shù)是確定的,故直接利用分步原理及組合知識(shí)進(jìn)行分配即可．

表1

(4) 每個(gè)單位至少1人,可能存在平均分組的情況,也可能存在非平均分組的情況,還可能出現(xiàn)部分平均分組的情況．

2 相同元素的分配問(wèn)題

當(dāng)某個(gè)待分配的單位要分得的名額至少為t(t>1)個(gè)時(shí),可先分給其t-1個(gè)名額;沒(méi)有要求某些待分配的單位至少分得1個(gè)名額時(shí),可先向其借1個(gè)名額．進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為每個(gè)單位至少分得1個(gè)名額的問(wèn)題來(lái)求解．

例2(1)將8個(gè)評(píng)優(yōu)名額,全部分配給A，B，C3個(gè)班,每班至少1個(gè)名額有多少種分配方法？

(2)將8個(gè)評(píng)優(yōu)名額,全部分配給A，B，C3個(gè)班,每班至少2個(gè)名額,有多少種分配方法？

(3)將8個(gè)評(píng)優(yōu)名額,全部分配給A，B，C3個(gè)班,有多少種分配方法？

(4)將8個(gè)評(píng)優(yōu)名額,全部分配給A，B，C3個(gè)班,A班至少1個(gè),B班至少2個(gè),C班至少3個(gè),共有多少種分配方法？

綜上,處理分配問(wèn)題時(shí)首先要明確是相同元素的分配,還是不同元素的分配；是平均分配還是非平均分配;是定向分配,還是非定向分配．準(zhǔn)確利用相應(yīng)模型的處理方法,以不變應(yīng)萬(wàn)變．

鏈接練習(xí)

1. 某校從3名英語(yǔ)系、4名日語(yǔ)系和5名韓語(yǔ)系的學(xué)生中選5人組成一個(gè)語(yǔ)言交流小組,則英語(yǔ)系、日語(yǔ)系、韓語(yǔ)系都至少有1人的選擇方法有________種.

2. 有5名學(xué)生報(bào)名參加“清華大學(xué)”“北京大學(xué)”“上海交通大學(xué)”3所高校的冬令營(yíng),每人限報(bào)1所學(xué)校,若每所學(xué)校的冬令營(yíng)都至少有1名同學(xué)報(bào)考,那么這5名同學(xué)不同的報(bào)考方法共有( ).

A. 144種 B. 150種 C. 196種 D. 256種

3. 把編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)球放到編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中,每個(gè)盒子一個(gè)球,則球與盒子的編號(hào)不相同的方法有________種.

鏈接練習(xí)參考答案

1.590. 2. B. 3. 9.