高莉， 楊雪苗

(1.江蘇師范大學 電氣工程及自動化學院， 江蘇 徐州 221116； 2.中國礦業(yè)大學 信息與控制工程學院， 江蘇 徐州 221116)

0 引言

目前，煤礦井下定位功能主要依托無線網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)[1]。由于無線網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點成本高、能耗大，在滿足定位精度要求的情況下，從經(jīng)濟效益角度考慮，不適合在井下布置太多的節(jié)點作為定位系統(tǒng)的參考節(jié)點。三邊定位算法能根據(jù)3個已知坐標的參考節(jié)點到未知節(jié)點的距離來確定未知節(jié)點的坐標[2-4]，對參考節(jié)點數(shù)量需求低，能較好地滿足煤礦井下定位系統(tǒng)經(jīng)濟性需求。理想的三邊定位算法中，以參考節(jié)點坐標為圓心、參考節(jié)點到未知節(jié)點的測量距離為半徑，可得3條相交于一點的圓曲線，未知節(jié)點坐標為3條圓曲線的交點。然而，受噪聲、多徑效應(yīng)等因素影響，測量距離不可避免存在誤差，導(dǎo)致3條圓曲線不會相交于一點，所以需要求解由3個圓曲線方程所構(gòu)成的非線性方程組。

文獻[5]采用非線性最小二乘(Nonlinear Least Squares，NLS)算法直接求解非線性方程組，其核心思想是利用類似高斯-牛頓法的搜索法來尋找代價函數(shù)的極小值，定位精度較高，但計算復(fù)雜度高，并且需要選擇合適的初始值以避免發(fā)生局部收斂。文獻[6-9]通過泰勒級數(shù)展開使非線性方程組在某組初始參數(shù)估計值附近線性化，降低了計算復(fù)雜度，但仍需要合適的初始值以保證收斂，且由于線性化過程中忽略了高階項，無法保證得到最優(yōu)解。文獻[10-14]利用線性最小二乘(Linear Least Squares，LLS)算法將非線性方程組轉(zhuǎn)化為線性方程組，之后通過最小二乘(Least Squares，LS)算法求解線性方程組，避免了初始值選擇問題，但未考慮測距誤差對定位結(jié)果的影響。文獻[15]提出的加權(quán)最小二乘(Weighted Least Squares，WLS)算法根據(jù)測距誤差賦予方程組中每個等式不同權(quán)值，提高了定位精度，但由于非線性方程組線性化過程會帶來定位信息損失，定位精度還有提升空間。

本文提出了一種改進的三邊定位算法。該算法以WLS算法估計的未知節(jié)點坐標為基礎(chǔ)，融合線性化過程中所損失的定位信息，構(gòu)建定位模型，通過求解該定位模型實現(xiàn)精確定位。

1 基于WLS的三邊定位算法

假設(shè)二維平面分布3個參考節(jié)點，第i(i=1，2，3)個參考節(jié)點坐標為(xi，yi)，未知節(jié)點坐標為(x，y)，未知節(jié)點到第i個參考節(jié)點的測量距離為ri，則有

(1)

式(1)是一個非線性方程組，以第1個等式作為參考等式，通過其余等式減去參考等式的方法消除二次項，將式(1)轉(zhuǎn)換為線性方程組，可得

xi+yi)i=2，3

(2)

將式(2)寫成矩陣形式：

Aθ=b

(3)

根據(jù)LLS算法，未知節(jié)點的LLS估計坐標為

(ATA)-1ATb

(4)

在LLS算法求解式(3)的過程中，是將式(3)的2個等式按相同權(quán)重處理。然而實際中由于測距誤差隨機，每個等式對定位結(jié)果的影響不同。針對該問題，WLS算法引入權(quán)重矩陣W來提高定位精度，則未知節(jié)點的WLS估計坐標為

3.3.3 建立標準元數(shù)據(jù)規(guī)范。完善各系統(tǒng)的信息錄入標準和元數(shù)據(jù)規(guī)范，包括：①新聞動態(tài)信息類：必須要有標題、副標題、作者、正文、來源(對于引用的文章，還需要注明來源或者出處)。正文內(nèi)容字體大小需要統(tǒng)一樣式規(guī)范。②文檔類資源庫表結(jié)構(gòu)包括：文檔編號、文檔標題、副標題、文檔正文、作者、來源日期等字段等。③調(diào)查調(diào)研指南規(guī)范：明確每項調(diào)研活動的名稱、內(nèi)容、調(diào)研主體、依據(jù)、條件、位置、時間和渠道等。④圖片資源：包括圖片id、標題、作者、人物、地點、時間、關(guān)鍵詞、描述。⑤視頻資源：包括視頻id、標題、地區(qū)、發(fā)行年份、適用語言、標簽、人物、來源、簡介等字段。

(ATWA)-1ATWb

(5)

權(quán)重矩陣W可利用b的協(xié)方差矩陣C的逆來構(gòu)建[15]：

W=C-1

(6)

假設(shè)測量距離ri之間相互獨立，可得

(7)

式中var(·)為方差函數(shù)。

由于噪聲、多徑效應(yīng)等因素影響，實際測量中不可避免地存在誤差，則有

ri=di+ni

(8)

式中：di為未知節(jié)點到第i個參考節(jié)點的真實距離；ni為測距誤差。

假設(shè)測距誤差ni服從均值為0、方差為σi的高斯分布，即ni～N(0,σi)，則測量距離ri～N(di,σi)。運用非中心卡方分布的方差，可得

var(ri)=4diσi+2σi

(9)

則式(7)可表示為

C=

(10)

由式(10)可知，權(quán)重矩陣中包含真實距離，然而實際計算中真實距離不可知，因此利用測量距離代替真實距離來構(gòu)造權(quán)重矩陣。

基于WLS的三邊定位算法在線性化過程中存在定位信息損失情況，具體如下。

展開并整理式(1)，可得

(11)

將式(11)寫成矩陣形式，并進行初等行變換，可得

(12)

對比式(12)和式(3)可看出，基于WLS的三邊定位算法利用非線性方程組中1個等式作為線性化工具，將非線性方程組轉(zhuǎn)化為線性方程組的同時，將作為線性化工具的等式的信息弱化，并未有效利用所有等式的信息，損失了部分定位信息，定位精度有待進一步提升。

2 改進的三邊定位算法

改進的三邊定位算法在基于WLS的三邊定位算法求得初步定位結(jié)果的基礎(chǔ)上，利用損失的定位信息構(gòu)建定位模型：

(13)

改進的三邊定位算法步驟如下。

(1) 獲取未知節(jié)點和參考節(jié)點之間的測量距離ri。

(2) 將參考節(jié)點坐標(xi，yi)和測量距離ri代入式(3)，計算矩陣Α和b。

(3) 將測量距離ri替代di并代入式(10)，計算協(xié)方差矩陣C，然后利用式(6)計算權(quán)重矩陣W。

(5) 利用步驟(4)得到的結(jié)果及基于WLS的三邊定位算法損失的定位信息，構(gòu)建定位模型(式(13))。

(6) 根據(jù)式(13)求解未知節(jié)點坐標。

3 仿真分析

仿真區(qū)域部署如圖1所示，區(qū)域長100 m、寬5 m，布置3個參考節(jié)點和10個未知節(jié)點，參考節(jié)點坐標分別為(-50，0)，(0，5)，(50，0)，未知節(jié)點1—10隨機分布。在測距誤差標準差為2 m、仿真1 000次的情況下，基于WLS的三邊定位算法與本文算法的仿真定位結(jié)果如圖2所示?？煽闯龌赪LS的三邊定位算法平均定位誤差為17.7 m，本文算法平均定位誤差為7.9 m，本文算法的定位精度高于基于WLS的三邊定位算法。

圖1 仿真區(qū)域部署Fig.1 Simulation area deployment

圖2 不同位置定位結(jié)果Fig.2 Positioning results at different locations

基于上述仿真區(qū)域及參考節(jié)點坐標部署，設(shè)置未知節(jié)點坐標為(-30，4)，測距誤差標準差在0～10 m之間均勻取值，經(jīng)過1 000次仿真，基于WLS的三邊定位算法與本文算法的均方誤差(Mean Square Error，MSE)如圖3所示。可看出在測距誤差標準差較小時，2種算法的MSE曲線接近；隨著測距誤差標準差增大，MSE均呈遞增趨勢，但本文算法的MSE更小，表明定位精度更高。這是由于測距誤差標準差較小時，補償?shù)亩ㄎ恍畔⒆饔眯?，測距誤差標準差較大時，定位信息的丟失對定位精度影響較大，而本文算法有效利用了丟失的定位信息。

圖3 不同測距誤差標準差下MSEFig.3 MSE under different ranging error standard deviations

設(shè)置2種仿真區(qū)域及節(jié)點坐標：① 仿真區(qū)域長50 m、寬5 m，參考節(jié)點坐標分別為(-25，0)，(0，5)，(25，0)，未知節(jié)點之間橫向、縱向間隔均為2 m。② 仿真區(qū)域及參考節(jié)點坐標同圖1，未知節(jié)點之間橫向間隔為4 m、縱向間隔為0.2 m。給定測距誤差標準差為1 m，仿真區(qū)域內(nèi)各未知節(jié)點測試200次，基于WLS的三邊定位算法與本文算法的均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)差值如圖4所示。可看出在仿真區(qū)域幾何中心點附近，RMSE差值較小，表明本文算法的定位精度雖有提升但不明顯；距離中心點較遠處，特別是左右兩側(cè)區(qū)域，RMSE差值較大，表明本文算法的定位精度明顯提升。對比圖4(a)和圖4(b)可看出，在相同噪聲情況下，仿真區(qū)域長寬比越大，本文算法的定位性能越好。

(a) 仿真區(qū)域長50 m、寬5 m

(b) 仿真區(qū)域長100 m、寬5 m

4 結(jié)語

改進的三邊定位算法通過WLS算法粗略估計未知節(jié)點坐標，并利用損失的定位信息構(gòu)建定位模型，通過求解該定位模型實現(xiàn)精確定位。仿真結(jié)果表明，該算法定位誤差小于基于WLS的三邊定位算法，定位精度得到明顯提升，且巷道長寬比越大，定位性能越好。