徐鑫鑫，張毅

(1. 蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009;2. 蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011)

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性和守恒量具有重要的數(shù)學(xué)意義和物理意義，關(guān)于這方面的研究已經(jīng)取得了許多重要的結(jié)果[1-4]。實(shí)際上絕熱不變量和守恒量的關(guān)系是密不可分的，絕熱不變量是一定條件下近似不變的量。1996年趙躍宇和梅鳳翔在增廣相空間中研究了完整和非完整力學(xué)系統(tǒng)的絕熱不變量及其逆問(wèn)題[5]，給出了力學(xué)系統(tǒng)的Noether型絕熱不變量。此后，Noether型絕熱不變量被推廣到Birkhoff系統(tǒng)[6]、Lagrange系統(tǒng)[7]、準(zhǔn)坐標(biāo)下非完整系統(tǒng)[8]等。張毅給出了廣義經(jīng)典力學(xué)[9]、Birkhoff系統(tǒng)[10]的Hojman型絕熱不變量。羅紹凱給出了Lutzky型絕熱不變量[11]。丁寧等給出可控非完整系統(tǒng)Mei型絕熱不變量[12]。最近，關(guān)于分?jǐn)?shù)階力學(xué)系統(tǒng)和非線性非保守系統(tǒng)的絕熱不變量研究也取得了一些新進(jìn)展[13-17]。

1 微分變分原理與精確不變量

相空間中Herglotz型微分變分原理為[21]:

(1)

對(duì)于完整系統(tǒng)，δqs和δps互相獨(dú)立，因此有

或

(3)

方程(3)是相空間中非保守系統(tǒng)基于Herglotz廣義變分原理的Hamilton正則方程[21]。

引進(jìn)時(shí)間t和廣義坐標(biāo)qs和廣義動(dòng)量ps的參數(shù)無(wú)窮小變換

t*=t+Δt,

(4)

或其展開(kāi)式

(5)

由等時(shí)變分和非等時(shí)變分之間的關(guān)系可得[21]

(6)

同理

(7)

將式(6)，(7)代入原理(1)，整理得

(8)

由于

(9)

(10)

其中，G0=G0(t,qs,ps)稱為規(guī)范函數(shù)。式(10)是相空間中非保守系統(tǒng)的Herglotz型微分變分原理不變性條件的變換。由式(10)，立即可得到

(11)

則系統(tǒng)存在守恒量

(12)

當(dāng)G0≡0時(shí)，定理1給出文獻(xiàn)[20]的結(jié)果。守恒量(12)是系統(tǒng)未受擾動(dòng)時(shí)的不變量，因此它是一個(gè)精確不變量。

2 一類新型絕熱不變量

如果Im(t,qs,ps,z,ε)是相空間中非保守系統(tǒng)的一個(gè)含有ε的最高次冪為m的物理量，它對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)正比于εm+1，那么Im稱為該系統(tǒng)的m階絕熱不變量。

假設(shè)相空間中非保守系統(tǒng)(2)受到了一個(gè)小擾動(dòng)εQs的作用，則方程(2)成為

(13)

由于小擾動(dòng)εQs的作用，該系統(tǒng)原有的對(duì)稱性和不變量都會(huì)發(fā)生改變。假設(shè)受擾系統(tǒng)的無(wú)限小生成函數(shù)τ(t,qk,pk),ξs(t,qk,pk)及ηs(t,qk,pk)可表示為

τ=τ0+ετ1+ε2τ2+…，

(14)

并滿足

(15)

其中，G為規(guī)范函數(shù)，記為

G=G0+εG1+ε2G2+…

(16)

(17)

則

(18)

是該系統(tǒng)的一個(gè)m階絕熱不變量。

證明：由條件(17)和方程(13)，得

(19)

因此，Im是一個(gè)m階絕熱不變量。式(18)是我們基于Herglotz廣義變分原理導(dǎo)出的一類新型絕熱不變量。

3 逆問(wèn)題

假設(shè)相空間中非保守系統(tǒng)(2)在小擾動(dòng)εQs作用下存在如下一階絕熱不變量

I1=F0(t,qs,ps,z)+εF1(t,qs,ps,z)

(20)

因其軌道應(yīng)滿足Hamilton正則方程(13)，所以有

(21)

由于

根據(jù)(19)式，并綜合(21),(22)兩式則可得

(23)

(24)

因此，若有

(25)

即

(26)

進(jìn)一步假設(shè)

(27)

由(26)和(27)式可以解得無(wú)擾動(dòng)部分對(duì)應(yīng)的生成函數(shù)分別為

(28)

(29)

進(jìn)一步地分析，可以得到小擾動(dòng)作用下生成函數(shù)的攝動(dòng)項(xiàng)的結(jié)果為

(30)

(31)

于是有

定理3 如果相空間中非保守系統(tǒng)(2)在小擾動(dòng)εQs作用下存在一個(gè)一階絕熱不變量，形如(20)式，則存在相應(yīng)的無(wú)窮小變換，無(wú)攝動(dòng)項(xiàng)的生成函數(shù)為(28)和(29)，攝動(dòng)項(xiàng)的生成函數(shù)為(30)和(31)。

如果令

(32)

(33)

無(wú)窮小變換(5)可寫成

(34)

于是定理2和定理3給出位形空間中Herglotz變分問(wèn)題的絕熱不變量。我們有如下推論：

(35)

則

(36)

是該系統(tǒng)的一個(gè)m階絕熱不變量。

推論2 如果位形空間中非保守系統(tǒng)在小擾動(dòng)εQs作用下存在一個(gè)一階絕熱不變量，形如

(37)

則存在相應(yīng)的無(wú)窮小變換,得到無(wú)攝動(dòng)項(xiàng)的生成函數(shù)為(38)和(39)和攝動(dòng)項(xiàng)的生成函數(shù)為(40)和(41)。

(38)

(39)

(40)

(41)

4 算 例

研究平方阻尼振子，其運(yùn)動(dòng)微分方程為[28]

(42)

Herglotz型Hamilton正則方程給出[21]

(43)

(44)

方程(44)有解

(45)

由定理1，該系統(tǒng)的一個(gè)精確不變量為

(46)

下面研究系統(tǒng)的絕熱不變量。假設(shè)系統(tǒng)受到的小擾動(dòng)為

(47)

方程(17)給出

(48)

方程(48)有解

τ1=-1，ξ1=0，G1=1,η1=a

(49)

由定理2，則該系統(tǒng)有如下一階絕熱不變量

類似地，可求得系統(tǒng)的更高階絕熱不變量。

最后研究逆問(wèn)題。假設(shè)系統(tǒng)受到小擾動(dòng)(47)的作用，且存在一階絕熱不變量(50)，則由(26)和(27)式得到

(51)

(52)

若取

(53)

則有

τ0=-1,ξ0=0

(54)

若取

G1=1

(55)

由式(30)和(31)可得到

τ1=-1，ξ1=0

(56)

因此，生成元(54)和(56)給出與一階絕熱不變量(50)相應(yīng)的無(wú)窮小變換。

5 結(jié) 論

文章基于相空間中Herglotz型微分變分原理，導(dǎo)出了一類新型絕熱不變量。主要工作包括：一是基于Herglotz型微分變分原理給出了相空間中非保守系統(tǒng)的精確不變量(12)及其存在條件(11)；二是給出了相空間中非保守系統(tǒng)的一類新型絕熱不變量(18)，并加以證明；三是討論了絕熱不變量的逆問(wèn)題。主要結(jié)果為三個(gè)定理及其兩個(gè)推論。本文的方法和結(jié)果可進(jìn)一步加以推廣和應(yīng)用，如基于Herglotz型微分變分原理構(gòu)建Birkhoff系統(tǒng)或非完整系統(tǒng)的絕熱不變量等。