徐 彥，王培棟，孫祿君，朱東方，方 琴

（1.浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院，浙江 杭州 310027；2.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；3.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109）

0 引言

由于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副和其他設(shè)計(jì)需求，空間可展開(kāi)機(jī)構(gòu)鉸鏈運(yùn)動(dòng)副中不可避免地存在鉸鏈間隙［1］，導(dǎo)致空間可展開(kāi)機(jī)構(gòu)具有非光滑力學(xué)特征：1）鉸鏈間的間隙使得機(jī)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)與理想運(yùn)動(dòng)之間出現(xiàn)偏差，在展開(kāi)和振動(dòng)過(guò)程中各構(gòu)件之間不可避免地產(chǎn)生接觸和分離；2）由于間隙的存在，使得碰撞時(shí)的加速度、運(yùn)動(dòng)副反力、平衡力矩等超出理想零間隙時(shí)的幾倍甚至十幾倍［2］；3）鉸鏈中運(yùn)動(dòng)部件間的干摩擦也是引起可展機(jī)構(gòu)非光滑特征的主要因素之一。間隙、碰撞和干摩擦等復(fù)雜非光滑因素使得空間可展開(kāi)機(jī)構(gòu)在展開(kāi)過(guò)程及鎖定后容易發(fā)生振動(dòng)，鎖定后在時(shí)變的空間熱載荷作用下容易引發(fā)熱致振動(dòng)，直接影響航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)以及有效載荷的指向穩(wěn)定度，且這些因素往往難以完全有效控制。

由于鉸鏈中存在間隙，在振動(dòng)過(guò)程中鉸鏈的運(yùn)動(dòng)副之間會(huì)發(fā)生相互接觸和碰撞。碰撞分析模型主要有：1）經(jīng)典瞬時(shí)沖擊模型，碰撞過(guò)程被認(rèn)為是瞬時(shí)完成的，根據(jù)恢復(fù)系數(shù)和動(dòng)量守恒定理確定碰撞前后的瞬時(shí)速度關(guān)系［3-4］。該模型不必考慮碰撞力和時(shí)間的關(guān)系，計(jì)算效率較高。但是模型中的恢復(fù)系數(shù)依賴(lài)于實(shí)驗(yàn)，缺乏完備的理論支持，也不能描述碰撞力持續(xù)時(shí)間和作用過(guò)程。2）鉸鏈的實(shí)體接觸模型［5］，可充分地考慮復(fù)雜形狀和局部變形，分析碰撞力的時(shí)間歷程與空間分布規(guī)律［6］。但是由于處理接觸過(guò)程的繁雜性和計(jì)算效率低等，在復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析中應(yīng)用較少。3）連續(xù)接觸碰撞力模型，包括Kelvin-Voigt 線(xiàn)性彈簧 阻尼模型［7］、Hertz 接觸模型［8］、Hunt-Crossley 模 型、Lankarani-Nikravesh（LN）模型、改進(jìn)L-N 模型、Bai 小間隙接觸模型［9］等。這些模型簡(jiǎn)單方便，可以描述壓縮和恢復(fù)過(guò)程，考慮了接觸力的大小和接觸碰撞的時(shí)間歷程，但是各有適用條件。由于空間可展開(kāi)機(jī)構(gòu)大多工作在真空環(huán)境中，運(yùn)動(dòng)副清潔表面直接接觸，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生干摩擦。摩擦分析模型分為靜態(tài)摩擦模型和動(dòng)態(tài)摩擦模型兩類(lèi)［10］。靜態(tài)模型將摩擦力描述為相對(duì)速度的函數(shù)，而動(dòng)態(tài)模型描述為相對(duì)速度和位移的函數(shù)。靜態(tài)模型包括：庫(kù)倫模型、靜摩擦與庫(kù)倫模型、Stribeck 模型、狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型、Armstrong七參數(shù)模型等。動(dòng)態(tài)模型包括：Dahl 模型、Bliman-Sorine 模型、Oden 模型、復(fù)位積分器模型、鬃毛模型、LuGre 模型［12］、Leuven 模型［11］等。對(duì)于間隙鉸鏈中的摩擦，應(yīng)采用動(dòng)態(tài)模型。

現(xiàn)有的間隙鉸鏈分析模型大多為二維模型，但是實(shí)際的間隙鉸鏈均為三維結(jié)構(gòu)，間隙鉸鏈中不僅存在銷(xiāo)軸徑向接觸碰撞，而且在銷(xiāo)軸軸向也存在接觸碰撞，銷(xiāo)軸軸線(xiàn)和軸套軸線(xiàn)還存在夾角。針對(duì)典型的圓柱狀鉸鏈中發(fā)生軸向和側(cè)向耦合碰撞的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，本文提出了更為合理的含間隙鉸鏈分析模型，并將其應(yīng)用于含間隙鉸鏈桁架的動(dòng)力學(xué)建模與仿真中。

1 含間隙鉸鏈非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型

1.1 “T”字型等效梁模型

含間隙鉸鏈運(yùn)動(dòng)副包括銷(xiāo)軸和軸套，實(shí)體模型如圖1 所示，可將銷(xiāo)軸簡(jiǎn)化為圓柱體，軸套內(nèi)表面簡(jiǎn)化為圓柱面。接觸碰撞力的作用點(diǎn)并不在銷(xiāo)軸或軸套的軸線(xiàn)上，為了建立含間隙鉸鏈分析模型，含間隙鉸鏈可簡(jiǎn)化為如圖2 所示的兩個(gè)相互作用的“T”字型等效梁模型。圖2中，等效梁模型中的梁12 代表銷(xiāo)軸，梁45 代表軸套，點(diǎn)1、2 是銷(xiāo)軸的端點(diǎn)，點(diǎn)3為銷(xiāo)軸中點(diǎn)，點(diǎn)4、5 是軸套的端點(diǎn)，點(diǎn)6為軸套中點(diǎn)，銷(xiāo)軸和軸套分別通過(guò)點(diǎn)7、8 和其他構(gòu)件相連接。梁13、23、37、46、56、68 都用三維梁?jiǎn)卧獊?lái)離散建模。在該分析模型中，側(cè)向、徑向碰撞力都只能施加在銷(xiāo)軸和軸套梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)上。

圖1 含間隙鉸鏈實(shí)體Fig.1 An entity with clearance joints

圖2 “T”字型梁模型Fig.2 T-type beam model

理想的鉸鏈中沒(méi)有間隙，銷(xiāo)軸和軸套只存在繞公共軸線(xiàn)的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)二維平面間隙鉸鏈，銷(xiāo)軸與軸套之間存在銷(xiāo)軸徑向的間隙。而實(shí)際含間隙鉸鏈結(jié)構(gòu)中同時(shí)存在側(cè)向和徑向間隙，如圖3所示。當(dāng)軸套與銷(xiāo)軸擋塊發(fā)生碰撞時(shí)，稱(chēng)為側(cè)向碰撞（如圖3（a）所示）；當(dāng)軸套與銷(xiāo)軸發(fā)生沿徑向的碰撞時(shí)，稱(chēng)為徑向碰撞（如圖3（b）所示）。而且側(cè)向和徑向碰撞還可能同時(shí)發(fā)生，導(dǎo)致在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中銷(xiāo)軸和軸套的軸線(xiàn)并不重合，甚至兩者可能不在同一個(gè)平面內(nèi)。銷(xiāo)軸和軸套的接觸狀態(tài)取決于該時(shí)刻兩者的空間相對(duì)位置，而銷(xiāo)軸和軸套分別與空間可展開(kāi)機(jī)構(gòu)的其他構(gòu)件相連，故銷(xiāo)軸和軸套的接觸狀態(tài)取決于各自所在的桿件的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。為了分析鉸節(jié)點(diǎn)中銷(xiāo)軸和軸套的接觸碰撞過(guò)程，需要判斷銷(xiāo)軸和軸套之間的接觸碰撞狀態(tài)和潛在接觸點(diǎn)。

圖3 側(cè)向碰撞和徑向碰撞Fig.3 Lateral collision and radial collision

1.2 三維間隙鏈動(dòng)力學(xué)方程

本小節(jié)推導(dǎo)考慮含間隙鉸鏈后的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析過(guò)程。如前所述，將含間隙鉸鏈的實(shí)體模型圖（如圖1 所示）簡(jiǎn)化為如圖2 所示的兩個(gè)相互作用的“T”字型模型，銷(xiāo)軸中心點(diǎn)的位矢為Ri，軸套中心點(diǎn)的位矢為Rj，其中，銷(xiāo)軸中的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為1、2、3、7，對(duì)應(yīng)的軸套中節(jié)點(diǎn)為4、5、6、8。

模型中的桿13、23、37 和46、56、68 都用有限元法的歐拉梁?jiǎn)卧獊?lái)離散建模，可以得到一個(gè)“T”字型模型的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為

式中：M、C、K分別為不考慮鉸鏈間隙時(shí)的結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣。

由梁?jiǎn)卧嚓P(guān)矩陣集成得到廣義位移矢量為

F為外載荷節(jié)點(diǎn)力矢量，F(xiàn)a為附加的非線(xiàn)性鉸鏈力矢量，可通過(guò)后續(xù)的含間隙鉸鏈接觸力分析模型得到。

式（1）即為含間隙鉸鏈的動(dòng)力學(xué)模型，可以方便地集成到總體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程中。采用相應(yīng)的數(shù)值積分算法如Newmark 法，即可進(jìn)行含間隙鉸鏈結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析。

2 含間隙鉸鏈接觸力分析模型

2.1 接觸碰撞檢測(cè)算法

如圖1 所示的含間隙鉸鏈，將銷(xiāo)軸簡(jiǎn)化為圓柱體，軸套內(nèi)表面簡(jiǎn)化為圓柱面，銷(xiāo)軸和軸套在1 節(jié)點(diǎn)側(cè)接觸碰撞分析模型如圖4 所示。銷(xiāo)軸兩端面圓心分別為點(diǎn)1 和2，點(diǎn)3為銷(xiāo)軸軸線(xiàn)12 的中點(diǎn)。軸套兩端面圓心分別為點(diǎn)4 和5。銷(xiāo)軸中心點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)為Ri，軸套中心點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)為Rj。

圖4 左側(cè)接觸碰撞分析模型Fig.4 Analysis model for the contact collision on the left side

推導(dǎo)徑向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)和最小距離，軸套端面圓周上的某一點(diǎn)與銷(xiāo)軸圓柱外表面間的距離是軸套與銷(xiāo)軸間的最小距離，且在同一時(shí)刻軸套的兩個(gè)端面圓周都有可能與銷(xiāo)軸發(fā)生接觸，即潛在接觸點(diǎn)必然位于軸套兩端面的圓周上。圖4中，已知銷(xiāo)軸兩端節(jié)點(diǎn)1、2、3 在絕對(duì)坐標(biāo)系下的位矢分別為R1i、R2i、R3i，和軸套兩端節(jié)點(diǎn)4、5 在絕對(duì)坐標(biāo)系下的位矢分別為R4i、R5j。還已知銷(xiāo)軸外徑為Ri，軸套內(nèi)徑為rj，外半徑為Rj。接下來(lái)分步驟說(shuō)明：

步驟1確定切平面?T1T'1。

如圖4 所示，銷(xiāo)軸軸線(xiàn)矢量r12=R2i?R1i，由軸套一端面圓心4 點(diǎn)向銷(xiāo)軸軸線(xiàn)單位矢量作垂線(xiàn)，垂足記為4'，在矢量三角形△344'中有

其絕對(duì)坐標(biāo)R4'為

則4 點(diǎn)和4'點(diǎn)的連接矢量為

其單位矢量為e44'。延長(zhǎng)線(xiàn)44'與銷(xiāo)軸圓柱體在4'處的橫截面圓周相交于點(diǎn)T1，點(diǎn)T1的絕對(duì)坐標(biāo)RT1為

過(guò)點(diǎn)T1作銷(xiāo)軸圓柱體外表面的切平面，記為YT1T'1，方程為

切平面中既垂直于44'，又垂直于銷(xiāo)軸軸線(xiàn)矢量r12的一條直線(xiàn)矢量rT1T1'為

步驟2確定徑向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)。

過(guò)點(diǎn)4 作銷(xiāo)軸切平面?T1T'1的平行平面?τ1，平面?τ1中過(guò)點(diǎn)4 并和rT1T1'平行的直線(xiàn)為4Q1，線(xiàn)4Q1的矢量為r4Q1=rT1T1'。徑向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)位于和平面?τ1平行的軸套切平面上，在以點(diǎn)4為圓心的軸套端面內(nèi)圓周上，則線(xiàn)4-的矢量為

潛在碰撞點(diǎn)在線(xiàn)44'上的投影位于線(xiàn)44'的延長(zhǎng)線(xiàn)，故如果 滿(mǎn)足r4n′j1·e44'＞0，點(diǎn)的位矢即 可求得

如果滿(mǎn)足r4n′j1·e44'＜0，點(diǎn)的位矢為

步驟3確定徑向碰撞的間隙大小和方向。

如果軸套上點(diǎn)嵌入銷(xiāo)軸，下式為負(fù)號(hào)；如果軸套和銷(xiāo)軸處于分離狀態(tài)，下式為正號(hào)。

軸套和銷(xiāo)軸在該端部的徑向接觸碰撞最小距離為

如果S1＜0 發(fā)生接觸碰撞，該端部接觸碰撞力在軸套上的作用點(diǎn)在點(diǎn)，在軸套上的作用點(diǎn)在點(diǎn)ni1，作用方向沿著44'矢量方向，銷(xiāo)軸對(duì)軸套的非線(xiàn)性接觸力作用方向e44'。整理上述公式得到軸套和銷(xiāo)軸在該端部的徑向接觸碰撞最小距離為

式中的各項(xiàng)均為銷(xiāo)軸、軸套的軸線(xiàn)矢量及截面尺寸，故徑向接觸碰撞最小距離為銷(xiāo)軸、軸套的軸線(xiàn)節(jié)點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)及截面尺寸的函數(shù)。

步驟4確定側(cè)向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)。

接下來(lái)推導(dǎo)側(cè)向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)和最小距離，側(cè)向碰撞發(fā)生在軸套外表面和銷(xiāo)軸擋板之間。以點(diǎn)4為圓心的軸套端面和以點(diǎn)4'為圓心的銷(xiāo)軸截面相交于過(guò)點(diǎn)4 的直線(xiàn)4P1，該直線(xiàn)分別和銷(xiāo)軸、軸套軸線(xiàn)垂直，矢量4P1為

側(cè)向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)在以點(diǎn)4為圓心的軸套端面外圓周上，且距離銷(xiāo)軸擋板最小，等效于距離以點(diǎn)4'為圓心的銷(xiāo)軸截面最大。故線(xiàn)4-垂直于交線(xiàn)4P1，同時(shí)垂直于軸套軸線(xiàn)45，有

側(cè)向碰撞的潛在碰撞點(diǎn)在軸線(xiàn)12 上的投影位于點(diǎn)4'的左側(cè)，故如果滿(mǎn) 足r4nj″1·e12＞0，點(diǎn)的位矢即可求得

式中：Rj為軸套外半徑。

潛在碰撞點(diǎn)在軸套上，對(duì)應(yīng)的銷(xiāo)軸上的潛在碰撞點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)為

步驟5確定側(cè)向碰撞的間隙大小和方向。

記銷(xiāo)軸軸線(xiàn)長(zhǎng)度為L(zhǎng)i=|r12|，點(diǎn)和點(diǎn)3 的連線(xiàn)矢量為銷(xiāo)軸擋板平面的法矢即銷(xiāo)軸軸線(xiàn)矢量r12，如果軸套上點(diǎn)嵌入銷(xiāo)軸擋板平面，下式為負(fù)號(hào)；如果軸套和銷(xiāo)軸擋板平面處于分離狀態(tài)，下式為正號(hào)。

則軸套和銷(xiāo)軸在該端部的側(cè)向接觸碰撞最小距離為

如果S3＜0 發(fā)生接觸碰撞，該端部接觸碰撞力在軸套上的作用點(diǎn)在點(diǎn)，在銷(xiāo)軸擋板上的作用點(diǎn)在點(diǎn)，作用方向沿著銷(xiāo)軸軸線(xiàn)方向，銷(xiāo)軸對(duì)軸套的非線(xiàn)性接觸力作用方向?yàn)閑12。整理上述公式得到軸套和銷(xiāo)軸在該端部的側(cè)向接觸碰撞最小距離為

側(cè)向接觸碰撞最小距離也為銷(xiāo)軸和軸套的軸線(xiàn)節(jié)點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)及截面尺寸的函數(shù)。

采用同樣方法可以進(jìn)行2 節(jié)點(diǎn)側(cè)的潛在接觸碰撞檢測(cè)。

2.2 含間隙鉸鏈接觸力分析模型

含間隙鉸鏈接觸碰撞的類(lèi)型按銷(xiāo)軸和軸套軸線(xiàn)是否平行可分為兩大類(lèi)：如果銷(xiāo)軸和軸套軸線(xiàn)平行，徑向碰撞為線(xiàn)碰撞，側(cè)向碰撞為面碰撞，其中線(xiàn)碰撞可簡(jiǎn)化為二維碰撞，按點(diǎn)碰撞處理；如果銷(xiāo)軸和軸套軸線(xiàn)不平行，徑向碰撞為點(diǎn)碰撞，側(cè)向碰撞為點(diǎn)碰撞或者點(diǎn)-面斜碰撞。

2.2.1 點(diǎn)碰撞力分析

在圖4中，接觸碰撞對(duì)點(diǎn)ni和點(diǎn)的碰撞截面是過(guò)點(diǎn)ni的銷(xiāo)軸截面，其受力狀態(tài)按以下模型近似處理。根據(jù)間隙尺寸的不同，可以按以下兩種碰撞力假設(shè)模型建模：小間隙的鉸鏈徑向非線(xiàn)性接觸模型和大范圍間隙的鉸鏈徑向非線(xiàn)性接觸模型。

1）小間隙的鉸鏈徑向非線(xiàn)性接觸模型。

對(duì)于小間隙接觸碰撞，由于接觸碰撞載荷的作用，將導(dǎo)致間隙鉸軸與軸承間的接觸面積增大，進(jìn)一步將導(dǎo)致間隙鉸軸與軸承的接觸為協(xié)調(diào)接觸。采用改進(jìn)的非線(xiàn)性連續(xù)接觸力模型來(lái)描述小間隙的鉸鏈接觸碰撞作用［9］，其表達(dá)式如下：

式中：δ為接觸點(diǎn)穿透深度為相對(duì)碰撞速度；K為碰撞體的非線(xiàn)性剛度系數(shù)；ξ為改進(jìn)的阻尼系數(shù)。式中右邊第一項(xiàng)代表碰撞過(guò)程的彈性變形力，第二項(xiàng)為碰撞過(guò)程中的阻尼力項(xiàng)，則述了碰撞過(guò)程中的能量損失行為。在圖4中，F(xiàn)N的作用方向沿著44'矢量方向。

碰撞體的非線(xiàn)性剛度系數(shù)為［13］

式中：R1、R2為接觸對(duì)在接觸點(diǎn)處的曲率半徑，當(dāng)小間隙時(shí)，銷(xiāo)軸和軸套的軸線(xiàn)夾角不大，軸套和銷(xiāo)軸的彈性變形較小，可以視為軸套和銷(xiāo)軸的幾何半徑；E'為復(fù)合彈性模量。

改進(jìn)的阻尼系數(shù)ξ為

式中：ce為恢復(fù)系數(shù)為接觸點(diǎn)的初始相對(duì)速度。該阻尼系數(shù)不受碰撞恢復(fù)系數(shù)的限制。

2）大范圍間隙的鉸鏈徑向非線(xiàn)性接觸模型。

協(xié)調(diào)接觸模型和非協(xié)調(diào)接觸模型中的大間隙和小間隙假設(shè)，限制了接觸模型在不同間隙下的適用性。因此，為了建立更加精確的接觸模型，需要從精確的接觸深度和接觸半角關(guān)系著手［15］。鉸鏈中單耳板和銷(xiāo)軸間隙接觸時(shí)，鉸鏈接觸力和接觸點(diǎn)穿透深度的關(guān)系為

該接觸碰撞模型的假設(shè)與接觸體之間的間隙大小無(wú)關(guān)，適用于大范圍間隙下的鉸鏈接觸。

2.2.2 摩擦模型

含間隙鉸鏈存在干摩擦，Coulomb 摩擦模型是應(yīng)用最為廣泛的鉸鏈間摩擦模型，其形式如下：

式中：μd為滑動(dòng)摩擦系數(shù)；FN為法向接觸力；vt為接觸過(guò)程中的相對(duì)切向速度。摩擦力總是阻礙運(yùn)動(dòng)，與運(yùn)動(dòng)速度vt相反，其大小為常值。

運(yùn)動(dòng)副元素在切向接觸時(shí)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)會(huì)出現(xiàn)粘滯等現(xiàn)象，并且在數(shù)值計(jì)算時(shí)摩擦力會(huì)隨著速度方向的變化而突變。為了解決切向速度為零時(shí)摩擦力狀態(tài)轉(zhuǎn)換的問(wèn)題，采用一種修正的Coulomb 摩擦力模型［14］，該模型中摩擦系數(shù)隨切向滑動(dòng)速度動(dòng)態(tài)變化，摩擦力計(jì)算公式為

該模型中摩擦系數(shù)μ是滑動(dòng)摩擦系數(shù)μd和動(dòng)態(tài)修正系數(shù)cd的函數(shù)，μ=μdcd，

式中：v0、v1為給定的切向速度限值；vt=|vt|。

2.2.3 面碰撞力分析

當(dāng)銷(xiāo)軸和軸套的軸線(xiàn)平行（R12//R45）時(shí)，軸套和銷(xiāo)軸側(cè)板之間的接觸類(lèi)型為面接觸，接觸面域?yàn)閳A環(huán)，面積為

接觸碰撞力可表示為［16］

式中：Ej為軸套材料的彈性模量；Rj為軸套外半徑；rj為內(nèi)徑；lj為軸套 長(zhǎng)度。

3 非線(xiàn)性鉸鏈力施加方法

3.1 點(diǎn)碰撞的等效施加

3.1.1 徑向接觸力的等效施加

如圖5 所示，銷(xiāo)軸和軸套在1 節(jié)點(diǎn)側(cè)發(fā)生了徑向碰撞，該端部接觸碰撞力在軸套上的作用點(diǎn)在點(diǎn)，在軸套上的作用點(diǎn)在點(diǎn)ni1。銷(xiāo)軸和軸套在建模時(shí)分別用桿單元12 和45代替，軸套45在接觸點(diǎn)處受到的徑向碰撞力FN1，銷(xiāo)軸12在點(diǎn)ni1受到碰撞力FN1，徑向碰撞力必位于點(diǎn)1、2、4所在的平面Y124內(nèi)。

圖5 徑向接觸力等效施加Fig.5 Equivalent application of the radial contact force

根據(jù)力的等效原理，在平面?124 上，如果將軸套45 在點(diǎn)所受的碰撞力平移到點(diǎn)4，需要在點(diǎn)4上施加力Fj4，還需要同時(shí)施加如圖5 所示的力矩Mj4：

同樣，將銷(xiāo)軸在接觸點(diǎn)ni受到的碰撞力進(jìn)行等效平移到點(diǎn)1，需要同時(shí)施加如圖5 所示的力Fi1和力矩Mi1：

3.1.2 側(cè)向接觸力的等效施加

如圖6 所示，如果銷(xiāo)軸和軸套在一端發(fā)生了側(cè)向碰撞，考慮實(shí)際中軸套的壁厚，接觸點(diǎn)為點(diǎn)銷(xiāo)軸和軸套在建模時(shí)分別用桿單元12 和45 代替，軸套45 在接觸點(diǎn)受到的側(cè)向碰撞力FN3，銷(xiāo)軸擋板在點(diǎn)點(diǎn)受到碰撞力FN3。

圖6 側(cè)向接觸力等效施加Fig.6 Equivalent application of the lateral contact force

采用相同的等效方法，在平面?124 上，將軸套45 在點(diǎn)所受的碰撞力平移到點(diǎn)4，需要在點(diǎn)4 上施加力Fj4，還需要同時(shí)施加如圖6 所示的力矩Mj4：

將銷(xiāo)軸擋板在接觸點(diǎn)受到的碰撞力平移到點(diǎn)1，需要同時(shí)施加如6 圖所示的力Fi1和力矩Mi1：

接觸點(diǎn)處的摩擦力等效和接觸力類(lèi)似。

3.2 面碰撞的等效施加

當(dāng)銷(xiāo)軸擋板和軸套發(fā)生面碰撞時(shí)，采用相同的等效方法，在平面?124 上，將軸套45 所受的碰撞力FN平移到點(diǎn)4，得

銷(xiāo)軸所受的碰撞力FN平移到點(diǎn)1，得

3.3 含間隙鉸鏈碰撞合力模型

當(dāng)含間隙鉸鏈存在N個(gè)接觸碰撞點(diǎn)，等效施加后，各節(jié)點(diǎn)上附加的非線(xiàn)性鉸鏈力由上述各種碰撞類(lèi)型的碰撞力集成得到，如“T”字型等效梁模型中節(jié)點(diǎn)1、4、2、5 上作用總的接觸碰撞力為

然后將非線(xiàn)性鉸鏈力等效施加到圖2中“T”字型模型的節(jié)點(diǎn)1、2 和4、5 上，得

式中：Fi、Mi見(jiàn)式（38）。

4 含間隙鉸鏈數(shù)值仿真

4.1 含間隙鉸鏈模型驗(yàn)證

為了研究間隙的存在對(duì)含間隙鉸鏈結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性和響應(yīng)的影響，設(shè)計(jì)如圖7 所示的含間隙鉸鏈“T”字型模型作為研究對(duì)象，黑色線(xiàn)條表示銷(xiāo)軸，紅色線(xiàn)條表示軸套。含間隙鉸鏈模型的軸向?yàn)閦向，長(zhǎng)度為1.0 m，在中點(diǎn)處有一個(gè)含間隙鉸鏈。模型的頂點(diǎn)No.7 節(jié)點(diǎn)6 自由度固定約束，下部節(jié)點(diǎn)No.8 施加外部激勵(lì)。銷(xiāo)軸的兩端節(jié)點(diǎn)編號(hào)分別為No.1 和No.2，中點(diǎn)編號(hào)為No.3，銷(xiāo)軸中點(diǎn)和頂點(diǎn)No.1 連接。軸套的兩端節(jié)點(diǎn)編號(hào)分別為No.4 和No.5，中點(diǎn)編號(hào)為No.6，軸套中點(diǎn)和下部節(jié)點(diǎn)No.8相連。銷(xiāo)軸的長(zhǎng)度為0.04 m，軸套的長(zhǎng)度為0.038 m。初始時(shí)刻，銷(xiāo)軸和軸套軸線(xiàn)重合。

圖7 含間隙鉸鏈分析模型Fig.7 Analysis model with clearance joints

銷(xiāo)軸半徑為0.047 m，軸套內(nèi)半徑為0.05 m，軸套外半徑為0.055 m。梁37 和68 的材質(zhì)為復(fù)合材料（彈性模量E=45 GPa，泊松比為0.34）。銷(xiāo)軸和軸套的材質(zhì)為不銹鋼（彈性模量E=206 GPa，泊松比為0.3）。

在下部節(jié)點(diǎn)No.8 施加軸向的脈沖激勵(lì)

總分析時(shí)長(zhǎng)為5.0 s，作瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)時(shí)程如圖8 所示，其中脈沖激勵(lì)作用過(guò)程0 ≤t≤0.01 s 時(shí)間段各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)時(shí)程被放大顯示。

圖8 各節(jié)點(diǎn)UZ 位移響應(yīng)Fig.8 UZ displacement response of each node

與ANSYS 軟件仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，含間隙鉸鏈模型仿真得到的自由端No.8 節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于ANSYS 軟件分析模型中的No.5節(jié)點(diǎn)，兩者仿真結(jié)果中UZ位移響應(yīng)如圖9所示，可以看出響應(yīng)曲線(xiàn)形狀非常相近。

圖9 No.8 節(jié)點(diǎn)UZ 位移響應(yīng)Fig.9 UZ displacement responses of No.8 node

節(jié)點(diǎn)No.3 和No.6 的初始z向間距為1 mm，徑向間隙大小為3 mm。鉸鏈模型中節(jié)點(diǎn)No.3 和No.6 之間的UZ位移差響應(yīng)時(shí)程如圖10 所示，可見(jiàn)位移差在?2～4 mm 之內(nèi)，從而驗(yàn)證了前述含間隙鉸鏈模型采用施加附加非線(xiàn)性力來(lái)處理間隙的方法的正確性。

圖10 節(jié)點(diǎn)No.3 和No.6 的UZ 位移差響應(yīng)時(shí)程Fig.10 UZ displacement difference response of No.3 and No.6 nodes

在軸向振動(dòng)過(guò)程中，1 節(jié)點(diǎn)附近發(fā)生徑向碰撞，各個(gè)時(shí)刻碰撞點(diǎn)的z坐標(biāo)隨時(shí)間變化情況如圖11 所示。可見(jiàn)大部分時(shí)間沒(méi)有發(fā)生徑向碰撞，發(fā)生碰撞時(shí)徑向碰撞點(diǎn)的z坐標(biāo)為?0.547 和?0.453 m。其中，脈沖激勵(lì)作用過(guò)程0 ≤t≤0.01 s 時(shí)間段碰撞點(diǎn)的z坐標(biāo)隨時(shí)間變化情況如圖11（b）所示，發(fā)生碰撞時(shí)徑向碰撞點(diǎn)的z坐標(biāo)為?0.547 m?？紤]到銷(xiāo)軸軸線(xiàn)的初始z坐標(biāo)為0.5 m，軸套的內(nèi)半徑為0.047 m，從而驗(yàn)證了前述推導(dǎo)的接觸碰撞分析和潛在碰撞點(diǎn)公式的正確性。

圖11 徑向碰撞點(diǎn)Z 坐標(biāo)變化情況Fig.11 Changes of the Z coordinates of the radial collision points

圖12 基本桁架單元Fig.12 Basic truss unit

計(jì)算效率方面，由于本算例模型比較簡(jiǎn)單，自編程序和ANSYS 軟件的計(jì)算時(shí)間相當(dāng)。對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型，自編程序的計(jì)算時(shí)間更長(zhǎng)，后續(xù)需要改進(jìn)自編程序的動(dòng)力學(xué)時(shí)程積分算法及程序?qū)崿F(xiàn)。

4.2 有間隙桁架天線(xiàn)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)仿真

超大尺寸桁架天線(xiàn)一共有18 個(gè)如圖12 所示的基本桁架單元，建立含間隙鉸鏈的超大尺寸桁架天線(xiàn)的一個(gè)單元模型，如圖13 所示。模型中一個(gè)隔板下有兩根連梁，該連梁中有兩個(gè)含間隙鉸鏈，另一個(gè)隔板下也有兩根連梁，該連梁中有一個(gè)含間隙鉸鏈。模型左端隔板3 個(gè)頂點(diǎn)固定約束。

圖13 含間隙鉸鏈的桁架天線(xiàn)模型Fig.13 Truss antenna model with clearance joints

在桁架天線(xiàn)的自由端截面頂點(diǎn)施加脈沖激勵(lì)

作瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析，得到各個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)程，包括位移、速度、加速度等。模型自由端截面連梁中，含間隙鉸鏈1 銷(xiāo)軸中點(diǎn)No.98 的位移時(shí)程曲線(xiàn)如圖14 所示。銷(xiāo)軸中點(diǎn)No.98 和軸套中點(diǎn)No.101 之間的位移差時(shí)程曲線(xiàn)如圖15 所示。

桁架天線(xiàn)的自由端截面頂點(diǎn)No.37 的振動(dòng)位移時(shí)程曲線(xiàn)如圖16 所示。各關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)速度和加速度時(shí)程曲線(xiàn)同樣也可以得到。

圖14 點(diǎn)No.98 的位移時(shí)程曲線(xiàn)Fig.14 Displacement curves of No.98 node

圖15 位移差時(shí)程曲線(xiàn)Fig.15 Displacement difference curves

圖16 點(diǎn)No.37 的位移時(shí)程曲線(xiàn)Fig.16 Displacement curve of No.37 node

由分析結(jié)果可知：在外部載荷作用下，桁架開(kāi)始振動(dòng)。由于間隙的存在，面陣保持靜止。0.013 9 s 左右時(shí)，含間隙鉸鏈1中銷(xiāo)軸和軸套的徑向位移差超過(guò)了預(yù)設(shè)的間隙大小，含間隙鉸鏈銷(xiāo)軸和軸套發(fā)生碰撞，鉸鏈中產(chǎn)生非線(xiàn)性附加力，使得面陣開(kāi)始振動(dòng)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，上、下部節(jié)點(diǎn)的位移差又小于間隙，含間隙鉸鏈處于分離狀態(tài)，此時(shí)非線(xiàn)性附加力為零，桁架和面陣分別獨(dú)立振動(dòng)。隨著時(shí)間推移，含間隙鉸鏈不斷在接觸和分離兩個(gè)狀態(tài)中變換。在此過(guò)程中，含間隙鉸鏈銷(xiāo)軸和軸套中點(diǎn)的位移差一直在間隙大小±3 mm 之內(nèi)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了含間隙鉸鏈的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型，將含間隙鉸鏈等效為“T”字型模型，研究了鉸鏈中各部件的碰撞檢測(cè)算法，發(fā)展了不同狀態(tài)的接觸力分析模型及非線(xiàn)性鉸鏈力施加方法。分析了“T”字型等效梁模型在軸向沖擊載荷下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，得到位移、速度、加速度時(shí)程曲線(xiàn)，并可得到碰撞狀態(tài)和碰撞點(diǎn)、碰撞力等信息。與ANSYS 軟件中組合單元模型的分析結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文提出的含間隙鉸鏈非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型的有效性。基于該模型，分析了含多個(gè)含間隙鉸鏈的可展開(kāi)桁架結(jié)構(gòu)在沖擊載荷下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，結(jié)果表明：采用含間隙鉸鏈的動(dòng)力學(xué)模型可以得到位移、速度、加速度等動(dòng)力學(xué)行為。

后續(xù)將針對(duì)不同的含間隙鉸鏈，發(fā)展更合理的非線(xiàn)性接觸力分析模型，并將本文提出的含間隙鉸鏈非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型應(yīng)用于機(jī)構(gòu)多體動(dòng)力學(xué)分析中。含間隙鉸鏈的試驗(yàn)研究困難較大，將發(fā)展含間隙鉸鏈的試驗(yàn)測(cè)試技術(shù)，測(cè)試出不同類(lèi)型載荷下鉸鏈中的瞬態(tài)碰撞狀態(tài)和碰撞力、摩擦力等，并和本文仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。