李湘江

(長沙理工大學(xué)工程訓(xùn)練中心,湖南 長沙 410114)

卵圓又稱卵形線,是鳥類、禽類和爬行動(dòng)物的卵,以及人和許多動(dòng)物眼球中玻璃體的縱截面形狀,是我們生活中常見的圖形。人類對卵形線的直觀認(rèn)識(shí)由來已久,但對它的研究進(jìn)展卻較緩慢。有名的卵形線主要有:

(1) 笛卡爾卵形線[1]:A,B是平面內(nèi)2個(gè)定點(diǎn),m,n,b是3個(gè)固定正數(shù),平面內(nèi)滿足m·PA+n·PB=b的點(diǎn)P的軌跡稱為笛卡爾卵形線。若定義焦距2a,中點(diǎn)為原點(diǎn),則笛卡爾卵形線方程為

(2) 卡西尼卵形線[2]:A,B是平面內(nèi)2個(gè)定點(diǎn),a,c是2個(gè)正數(shù),AB=2c,平面內(nèi)滿足PA·PB=a2的點(diǎn)P的軌跡稱為卡西尼卵形線,即到兩定點(diǎn)距離的乘積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,其方程為

(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4。

然而這些卵形線的參數(shù)范圍限制較大,其應(yīng)用受到很大制約。現(xiàn)今,由于科學(xué)及工程學(xué)的發(fā)展需要,特別是道路工程、建筑工程、醫(yī)學(xué)眼科領(lǐng)域中卵形線的應(yīng)用日益廣泛,實(shí)際應(yīng)用中卵形線大都是通過圓和橢圓的拼湊或組合形式即分段函數(shù)的形式給出[3-5],或者從生物學(xué)角度給出一類卵方程[6]。但至今對卵圓還沒有一個(gè)明確的定義,仍然停留在圓和橢圓階段[7-8]。

研究提出卵圓的一種精確定義,并且為了敘述方便,將新定義的卵圓取名為李氏卵圓。

1 定義

定義1平面曲線L,若滿足如下條件:

①L有一條對稱軸且是閉合的;

②L處處光滑;

③L上有唯一一對對稱點(diǎn),設(shè)為S、T,其到對稱軸的距離最大;

④L與其對稱軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),設(shè)為P、Q,又PQ與ST交于一點(diǎn),設(shè)為O,且OP>OQ;

⑤L為凸曲線,且不含直線段,

則稱曲線L為李氏卵圓，稱點(diǎn)O為李氏卵圓的卵心，分別稱點(diǎn)P、Q為李氏卵圓的小端點(diǎn)和大端點(diǎn)，稱點(diǎn)S、T為李氏卵圓的對稱端點(diǎn)，稱PQ的中點(diǎn)O′為李氏卵圓的軸心，過O′作對稱軸的垂線交李氏卵圓于S′和T′，分別稱線段OP、OQ、OS(或OT)、O′P(或O′Q)、O′S′(或O′T′)、OO′為李氏卵圓的長半徑、短半徑、對稱半徑、軸半徑、次對稱半徑、偏心距，其長度分別記為a、b、c、e、g、h，并把正數(shù)a、b、c、e、g、h稱為李氏卵圓的6個(gè)元素，而把a(bǔ)、b、c稱為李氏卵圓的3個(gè)特征參數(shù)。

若取李氏卵圓的卵心為坐標(biāo)系原點(diǎn),小端點(diǎn)方向作為x軸的正向,則李氏卵圓在直角坐標(biāo)系的示意圖如圖1所示。

圖1 李氏卵圓及其在直角坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Li’s oval and its diagrammatic drawing on rectangular coordinate system

2 一類三次李氏卵圓方程

定理1設(shè)

a,b,c均>0,且a>b,

(1)

(2)

(3)

(a-b)xy2+c2x2+aby2-(a-b)c2x-

abc2=0,x∈[-b,a]

(4)

(5)

(6)

(a-b)x2y-abx2-c2y2-(a-b)c2y+

abc2=0,y∈[-a,b]

(7)

(8)

則方程(2)～方程(8)都是相互等價(jià)的,分別以a、b、c(a>b)為長、短、對稱半徑的李氏卵圓方程。

為了證明定理1,先證明如下引理。

引理1若方程(1)成立,則方程(2)～方程(8)互相等價(jià)。

證明由方程(2)經(jīng)過恒等變形即可得到方程(3)和方程(4),故方程(2)～方程(4)互為等價(jià)。又將坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,則方程(2)～方程(4)分別變成方程(5)～方程(7),故方程(2)～方程(7)是互為等價(jià)的。

將方程(8)的第2式兩邊平方并化簡,得

(9)

又將方程(8)的第2式代入-(a-b)y+ab,得

(10)

由方程(9)和方程(10)得

y2=[-(a-b)y+ab]sin2t?

(11)

又由方程(8)的第1式得

(12)

將方程(11)與方程(12)相加即得方程(5),故方程(8)是方程(5)的參數(shù)式方程,即方程(8)與方程(5)是等價(jià)的。故方程(2)～方程(8)是相互等價(jià)的。

引理2將參數(shù)方程(8)所確定的函數(shù)y(x)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別記為y′x(t)和y″x(t),則

y′x(t)=h(t)·u(t),

(13)

y″x(t)=w(t)·u(t)·v(t),

(14)

其中:

(15)

(16)

u(t)=(a-b)2sin2t+2ab-(a-b)sint·g(t),

(17)

v(t)=g2(t)+2(a-b)sintcos2t·g(t)+

(a-b)2sin2tcos2t,

(18)

(19)

證明由方程(8)得

y′x(t)=

上式化簡得

[(a-b)2sin2t+2ab-

(20)

又

(21)

將方程(20)代入方程(21),并化簡得

(22)

由式(20)及式(22)即得式(13)～式(19)。

引理3設(shè)式(1)成立,g(t)由式(19)所得，u(t)由式(17)所得，v(t)由式(18)所得，w(t)由式(16)所得，則

(ⅰ)

g(t)>0,t∈[0,2π]

(23)

(ⅱ)

u(t)>0,t∈[0,2π]

(24)

(ⅲ)

v(t)>0,t∈[0,2π]

(25)

(ⅳ)

w(t)<0,t∈(0,π)

(26)

w(t)>0,t∈(π,2π)。

(27)

證明(ⅰ)由式(19)和式(1)顯然有

t∈[0,2π]

故式(23)成立。

(ⅱ)當(dāng)t∈[π,2π]時(shí),有sint≤0,則由式(17)、式(23)和式(1),得

u(t)≥2ab>0,t∈[π,2π]。

(28)

當(dāng)t∈(0,π)時(shí),有sint>0,則由式(17)及式(23),得

u(t)>0?(a-b)2sin2t+2ab>(a-b)sint·

g(t)?[(a-b)2sin2t+2ab]2>

(a-b)2sin2t·g2(t)?(a-b)4sin4t+

4ab(a-b)2sin2t+4a2b2-

(a-b)2sin2t[(a-b)2sin2t+4ab]>0?

4a2b2>0。

由式(1)知,上式的最后不等式顯然成立,于是得

u(t)>0,t∈(0,π)

(29)

又

u(0)=2ab>0,

(30)

由式(28)～(30)即知式(24)成立。

(ⅲ)由式(18)知v(t)可視為g(t)的二次函數(shù),且二次項(xiàng)系數(shù)=1>0,其判別式

Δ=4(a-b)2sin2tcos4t-4(a-b)2sin2tcos2t=

4(a-b)2sin2tcos2t(cos2t-1)=

-4(a-b)2sin4tcos2t,

由上式及式(1)知,當(dāng)

時(shí),有Δ<0,從而v(t)>0。

v(2π)=g2(2π)>0。

綜上即知式(25)成立。

(ⅳ) 當(dāng)t∈(0,π)時(shí),有 sint>0;當(dāng)t∈(π,2π)時(shí),有 sint<0,于是由式(16)、式(23)及c>0得

w(t)<0,t∈(0,π),w(t)>0,t∈(π,2π)。

故式(26)和式(27)成立。

引理4設(shè)式(1)成立,y″x(t)是由參數(shù)式方程(8)所確定的函數(shù)y(x)的二階導(dǎo)數(shù),則

y″x(t)<0,t∈(0,π)

(31)

y″x(t)>0,t∈(π,2π)。

(32)

證明由引理2與引理3,即由式(14)、式(24)和式(26)得式(31),由式(14)、式(24)和式(27)得式(32)。

定理1的證明首先證明方程(3)的圖形曲線L滿足定義1的條件①～④。

為此,先考察式(3)的帶“+”號(hào)的函數(shù)

(33)

求出函數(shù)(33)的導(dǎo)數(shù),并化簡,得

x∈[-b,a]

(34)

由式(3)知,其圖形曲線L顯然關(guān)于x軸對稱且是閉合的,故L滿足定義1的條件①。

由式(34)知,式(33)的函數(shù)y(x)的導(dǎo)數(shù)y′(x)在區(qū)間(-b,a)內(nèi)處處有限存在,在端點(diǎn)x=-b,x=a處均為,故知函數(shù)(33)的曲線即L的上半部在x∈[-b,a]上處處存在切線,從而是處處光滑的。由對稱性知,整個(gè)曲線L在x∈[-b,a]上也是處處光滑的,故L滿足定義1的條件②。

又由式(34),令y′(0)=0,得式(33)的函數(shù)y(x)在x∈[-b,a]上僅有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)x=0,且由式(34)知

y′(x)>0,x∈(-b,0)

y′(x)<0,x∈(0,a)。

故x=0是函數(shù)(33)在區(qū)間x∈[-b,a]的唯一極大值點(diǎn)[9],也是最大值點(diǎn),且由函數(shù)(33)知最大值y(0)=c,由對稱性知,L上存在唯一一對對稱點(diǎn)S(0,c)、T(0,-c),到對稱軸x軸的距離最大,且最大距離為c。所以L滿足定義1的條件③。

在方程(3)中令y=0,得x=a及x=-b,故L與其對稱軸x軸有且僅有2個(gè)交點(diǎn)P(a,0)、Q(-b,0),又PQ與ST相交于坐標(biāo)系原點(diǎn)O(0,0),且OP=a>b=OQ,故L滿足定義1的條件④。

由引理1知,方程(2)～方程(8)均為相互等價(jià)的,故方程(2)～方程(8)的圖形曲線L均滿足定義1的條件①～④。

其次證明方程(8)的圖形曲線L是凸的,且不含直線段。由引理4,即式(31)知,曲線L在t∈[0,π]上即L的上半部是上凸的且不含直線段[9],由式(32)知,曲線L的下半部是下凸的且不含直線段。故整個(gè)曲線L是凸的且不含直線段,即L滿足定義1的條件⑤。

綜上,即知方程(8)的圖形曲線L確實(shí)是滿足定義1的李氏卵圓。方程(8)為李氏卵圓方程。再由引理1即知定理1成立。

由定理1,給出如下定義。

定義2設(shè)方程(1)成立,則:

① 稱方程(2)為標(biāo)準(zhǔn)李氏卵圓方程;

② 稱方程(2)和方程(5)為對稱式李氏卵圓方程;

③ 稱方程(3)和方程(6)為顯函數(shù)式李氏卵圓方程;

④ 稱方程(4)和方程(7)為一般式李氏卵圓方程;

⑤ 稱方程(8)為參數(shù)式李氏卵圓方程;

⑥ 稱方程(2)～方程(4)為橫向李氏卵圓方程;

⑦ 稱方程(5)～方程(8)為縱向李氏卵圓方程。

注1在方程(2)中,令b=a,則方程(2)變成

上式顯然為一橢圓方程。故三次李氏卵圓方程(2)～方程(8)是橢圓的推廣。

定理2設(shè)

A,B,C>0,

(35)

則

Axy2+Bx2+Cy2-ABx-BC=0

(36)

為李氏卵圓方程,且卵圓的長、短、對稱半徑為

(37)

證明考察如下的三次方程:

Axy2+Bx2+Cy2-Dx-E=0。

(38)

比較方程(38)與方程(4)的系數(shù),得

A=a-b,

(39)

B=c2,

(40)

C=ab,

(41)

D=(a-b)c2,

(42)

E=abc2。

(43)

由式(39)、式(40)和式(42)得

D=AB。

(44)

由式(40)、式(41)和式(43)得

E=BC。

(45)

將式(44)和式(45)代入式(38)即得式(36)。

由式(39)～式(41)聯(lián)立并反解即得式(37)。

由式(35)和式(37)得a、b、c均>0且a>b,即式(1)成立,從而由定理1知,式(4)為李氏卵圓方程,故式(38)為李氏卵圓方程,從而式(36)為李氏卵圓方程,且式(37)成立。

3 三次李氏卵圓的切線方程和法線方程

定理3設(shè)(x0,y0)是三次李氏卵圓(2)上的一點(diǎn),則三次李氏卵圓(2)過點(diǎn)(x0,y0)處的切線方程和法線方程分別為

(46)

(47)

證明由方程(2),令

則

故

(48)

又過點(diǎn)(x0,y0)且斜率為y′x(x0,y0)的直線為

y-y0=y′x(x0,y0)(x-x0)。

(49)

將式(48)代入式(49)即知式(46)成立。同理可知式(47)成立。

4 三次李氏卵圓旋轉(zhuǎn)卵球體的體積

定理4設(shè)三次李氏卵圓(3)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的卵球體的體積為V,則

(50)

證明由方程(3)得

(51)

由旋轉(zhuǎn)體的體積公式[9]及式(51)得

故式(50)成立。

注2令b→a,用洛必達(dá)法則[9],由式(50),可得

所得結(jié)果正是旋轉(zhuǎn)橢球體的體積公式。這也佐證了式(50)的正確性。

5 實(shí)例與仿真驗(yàn)證

5.1 實(shí)例

以下給出一個(gè)具體的三次李氏卵圓方程,比如取a=5、b=4、c=3,代入式(2) 得李氏卵圓方程

(52)

用計(jì)算機(jī)繪制的圖形如圖2所示。

5.2 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證研究所建三次李氏卵圓方程圖形與真實(shí)卵形對比效果,用計(jì)算機(jī)編寫了一個(gè)仿真繪圖程序。取一張雞蛋照片作為繪圖程序界面上繪圖區(qū)的背景。通過像素分析和計(jì)算,獲得圖片中雞蛋圖像橫向最大像素為386,縱向最大像素為294,在雞蛋圖片橫向和縱向最大像素處畫2條直線作為x軸、y軸,x軸與y軸的交點(diǎn)即為雞蛋的卵心,并將卵心位置設(shè)定為繪圖區(qū)的原點(diǎn)。程序界面如圖3所示。

圖2 方程(52)圖形Fig.2 Equation (52) graph

圖3 繪圖程序界面Fig.3 Drawing program interface

按卵圓方程的需求量取雞蛋以像素為單位的長、短、對稱半徑3個(gè)參數(shù)值,得出a=206、b=180、c=147。則由式(3)得其李氏卵圓方程

x∈[-180,206]。

(53)

繪圖程序使用方程(53)進(jìn)行計(jì)算并通過描點(diǎn)法繪制圖形。程序界面右側(cè)文本框中顯示方程取點(diǎn)的計(jì)算值。繪圖程序運(yùn)行結(jié)果如圖4所示。

圖4中雞蛋外輪廓的黑色圖線是繪圖程序根據(jù)李氏卵圓方程(53)繪制的卵圓圖形,黑色卵圓圖線與圖片中雞蛋外輪廓高度吻合。

圖4 繪圖程序運(yùn)行結(jié)果Fig.4 Running results of the drawing program

6 結(jié)語

眾所周知,圓只有一個(gè)參數(shù)(半徑r),橢圓有2個(gè)參數(shù)(半長軸p,半短軸q),而卵圓與它們的主要區(qū)別在于它有3個(gè)參數(shù)(長半徑a,短半徑b,對稱半徑c),研究所提出的李氏卵圓的定義正是抓住了卵圓的這種本質(zhì)特征。當(dāng)然符合所述定義的李氏卵圓方程不是唯一的,其他滿足李氏卵圓定義的方程有待進(jìn)一步研究。

二次方程已經(jīng)被研究得非常徹底,凡二次方程均為圓錐曲線或直線或空集[10],故從二次方程中不可能得到卵圓方程。歷史上一些有名的卵形線,如卡西尼卵形只有2個(gè)參數(shù),笛卡爾卵形線雖然有3個(gè)參數(shù),但參數(shù)范圍限制較大,其應(yīng)用受到很大制約。到目前為止,所發(fā)現(xiàn)的卵形線方程均不低于4次,而研究證得的這類三參數(shù)李氏卵圓方程僅為3次,比其他所有卵形線方程的次數(shù)均低,且更簡單,只要三參數(shù)a、b、c均為正且a>b即可。利用它可以快速繪制出精確的卵圓圖形,同時(shí)也給卵圓及其應(yīng)用研究提供了理論基礎(chǔ)。