高麗， 姜美楊

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

1 引 言

不定方程也常稱為丟番圖方程，早在公元3世紀(jì)古希臘丟番圖就已經(jīng)開始了對不定方程研究，到如今不定方程的內(nèi)容已經(jīng)十分豐富[1-4].

設(shè)C,D,E∈N，C為無平方因子，關(guān)于不定方程

Cx2+D=Eyn(x,y,n∈N,n≥2)

的求解問題是數(shù)論中的一個重要問題，許多研究者發(fā)現(xiàn)若是用代數(shù)數(shù)論的方法解決這類不定方程，會取得較好的結(jié)果[5-11],本文運(yùn)用同余理論以及代數(shù)數(shù)論等方法證明了不定方程x2+4096=4y13無整數(shù)解.

2 主要引理

引理1[4]設(shè)M是唯一分解整環(huán)，α,β∈M,(α,β)=1,若αβ=γk,γ∈M,正整數(shù)k≥2則，

α=ε1μk,β=ε2νk,μν∈M

其中ε1,ε2是M中的單位元素，并且ε1ε2=εk,ε為單位元素.

引理2[10]不定方程

x2+1 024=y13

無整數(shù)解.

3 定理及證明

定理不定方程

x2+4 096=4y13

(1)

沒有整數(shù)解.

證明下面分為x≡1(mod2),x≡0(mod2) 兩種情況討論.

(1) 當(dāng)x≡1(mod2)時，在Z[i]中，(1)式可寫為

(x+64i)(x-64i)=4y13,x,y∈Z

設(shè)δ=(x+64i,x-64i),由δ|(2x,128i)=2, 可知δ只能取1,1+i,2;由于x≡1(mod2) ，所以x+64i≡1(mod2),因此δ≠2;如果δ=1+i,則N(1+i)|N(x+64i),即2|X2+4 096;然而這與x≡1(mod2)矛盾;所以δ=1.因而由引理1可知

x+64i=4(a+bi)13,x,a,b∈Z

因此

x=4(a13-78a11b2+715a9b4-1 716a7b6+1 287a5b8-286a3b10+13ab12)

64=4b(13a12-286a10b2+1 287a8b4-1 716a6b6+715a4b8-78a2b10+b12)

(2)

所以易得b=±1,±2,±4,±8,±16.

b=1時，由(2)式可知

15=13(a12-22a10+99a8-132a6+55a4-6a2)

上式若要成立，那么必須有13|15,矛盾，因此b≠1.

b=-1時，由(2)式可知

-17=13(a12-22a10+99a8-132a6+55a4-6a2)

上式若要成立，那么必須有13|-17,矛盾，因此b≠-1.

b=2時，由(2)式可知

8-212=13(a12-88a10+1 584a8-8 448a6+14 080a4-6 144a2)

上式若要成立，那么必須使得13|8-212，矛盾，因此b≠2.

b=-2時， 由(2)式可知

-8-212=13(a12-88a10+1 584a8-8 448a6+14 080a4-6 144a2)

上式若要成立，那么必須使得13|-8-212,矛盾，因此b≠-2.

當(dāng)b=4時，由(2)式可知

4-412=13(a12-352a10+25 344a8-540 672a6+3 604 480a4-6 291 456a2)

上式若要成立，那么必須使得13|4-412,矛盾，所以b≠4.

當(dāng)b=-4時，由(2)式可知

-4-412=13(a12-352a10+25 344a8-540 672a6+3 604 480a4-6 291 456a2)

上式若要成立，那么必須使得13|-4-412，矛盾，所以b≠-4.

當(dāng)b=8時，由(2)式可知

2-812=13(a12-22a1082+99a884-132a686+55a488-6a2810)

上式若要成立，那么必須使得13|2-812，矛盾，所以b≠8.

當(dāng)b=-8時，由(2)式可知

-2-812=13(a12-22a1082+99a884-132a686+55a488-6a2810)

上式若要成立，那么必須使得13|-2-812,矛盾，所以b≠-8.

當(dāng)b=16時，由(2)式可知

1-1612=13(a12-22a10162+99a8164-132a6166+55a4168-6a21610)-

21 651 921 285 435=a12-352a10+25 344a8-540 672a6+3 604 480a4-

6 291 456a2-21 651 921 285 435=-32×5×7×17×97×41 683 601=

a2(a10-22a8162+99a6164-132a4166+55a2168-6×1610)

上式若要成立，則a=±1或a=±3.

當(dāng)a=±1時，代入上式得

a2(a10-22a8162+99a6164-132a4166+55a2168-6×1610)=

-6 363 054 675 527≠-21 651 921 285 435

矛盾，所以a≠±1.

當(dāng)a=±3時，代入上式得

a2(a10-22a8162+99a6164-132a4166+55a2168-6×1610)=

-41 811 750 382 095≠-21 651 921 285 435

矛盾，所以a≠±3.

所以b≠16.

當(dāng)b=-16時，由(2)式可知

-1-1612=13(a12-22a10162+99a8164-132a6166+55a4168-6a21610)

上式若要成立，那么必須使得13|-1-1612，矛盾，所以b≠-16.

所以當(dāng)x≡1(mod2)時，不定方程(1)無整數(shù)解.

(2)當(dāng)x≡0(mod2)時，設(shè)x=2x1,x1∈Z, 代入(1)時可得

x12+1 024=y13

由引理2的結(jié)果可以知x12+1 024=y13無整數(shù)解，即x≡0(mod2)時，方程(1)沒有整數(shù)解.

綜上可以得到，不定方程x2+4 096=4y13無整數(shù)解.