王正旭， 高德利 2

（1. 石油工程教育部重點實驗室（中國石油大學（北京）），北京 102249；2. 油氣資源與工程國家重點實驗室（中國石油大學（北京）），北京 102249）

隨著常規(guī)油氣資源被持續(xù)開發(fā)、剩余資源日益減少，國民經(jīng)濟發(fā)展對油氣需求不斷增長，以及勘探開發(fā)技術不斷提高，地質儲量豐富的稠油資源將是未來的接替能源之一，具有廣闊的開發(fā)利用前景。目前采用的稠油蒸汽熱采技術存在諸多缺陷：蒸汽在管線及非儲層區(qū)域熱損失大；深層、薄層及裂縫性儲層的原油動用難度大[1-3]；地面蒸汽生產(chǎn)設備消耗大量天然氣并導致溫室氣體過度排放，最終導致開采成本過高和環(huán)境污染嚴重[4-5]。為此，國內(nèi)外開展了諸多稠油開采新技術研究[6-7]，電磁加熱法是其中一種有效的稠油開采技術[8-10]。

1956 年，H. W. Ritchey[11]提出了電磁加熱法稠油開采技術；隨后，多位學者對該技術進行了廣泛的理論研究[12-16]。近年來，因高頻電磁加熱具有加熱快和可以體積加熱、內(nèi)外同時加熱的特點，也符合環(huán)保要求[17-18]，基于高頻波段（大于100 kHz[19]）的電磁加熱法得到了高度關注[20-24]。一些學者利用數(shù)值模擬方法分析了高頻電磁加熱過程中損耗多孔媒質的熱傳遞過程，比較了電磁加熱和其他加熱法的加熱性能，并計算了電磁加熱用于超稠油開采的溫度分布結果[25-28]，但忽略了電磁加熱過程中儲層性質一直處于動態(tài)變化的情況[2]，導致計算結果出現(xiàn)偏差，不能準確反映電磁加熱過程。因此，為了準確計算電磁加熱過程中稠油儲層的溫度分布，筆者采用喇叭天線來輻射高頻電磁波，建立了考慮稠油儲層性質變化的溫度分布數(shù)學模型，通過求解該模型來分析稠油儲層溫度分布的影響因素，以期為高頻電磁加熱技術的現(xiàn)場應用提供理論依據(jù)。

1 電磁加熱機理

稠油儲層是損耗媒質，電磁波在其內(nèi)傳播時會產(chǎn)生電磁損耗，最終電磁能在儲層內(nèi)轉化為熱能，實現(xiàn)原油增溫降黏的目的。稠油儲層內(nèi)主要含有油、水和巖石（見圖1），由于各組分存在性質差異，它們對電磁波的吸收能力也有所不同。

一般情況下，水的吸收能力較強，這是由于水分子是極性分子，置于外加電場后，每個水分子的正負電荷受到外電場力的作用，形成偶極子；當外電場按照一定頻率發(fā)生變化時，偶極子被反復極化，分子的劇烈運動引起分子間摩擦并最終產(chǎn)生熱能[19]。因此，當電磁波穿過儲層內(nèi)部時，水吸收較多電磁能，并在儲層內(nèi)部通過熱傳導作用加熱其周圍的油和巖石。

2 電磁加熱模型

2.1 物理模型

為研究高頻電磁加熱過程中稠油儲層溫度分布的影響因素，建立了三維幾何模型，如圖2 所示。該模型包括喇叭天線、腔體及稠油儲層。其中，喇叭天線的作用是輻射一定頻率和功率的電磁波，腔體將電磁波從喇叭天線傳輸至稠油儲層。圖2 中，喇叭天線尺寸：La=200.0 mm，Lh=54.6 mm，Wh=109.0 mm，Wa=200.0 mm，Hh=50.0 mm 和Ha=300.0 mm；腔體尺寸：Lc=388.0 mm，Wc=470.0 mm，Hc=200.0 mm；稠油儲層尺寸：Lr=388.0 mm，Wr=470.0 mm，Hr=450.0 mm。坐標原點位于腔體和儲層交界面的中心位置，喇叭天線及腔體內(nèi)部充滿空氣，并假設其壁面為理想導體，稠油儲層均勻分布且具有各向同性。

圖 2 電磁加熱稠油儲層三維幾何模型Fig.2 Three-dimensional geometric model of a heavy oil reservoir under electromagnetic heating

圖 1 電磁加熱稠油儲層示意Fig.1 Schematic of heavy oil reservoir under electromagnetic heating

2.2 儲層性質

高頻電磁加熱過程中，儲層的性質會發(fā)生動態(tài)變化，為此，分別分析了儲層電導率、相對介電常數(shù)隨電磁波頻率的變化規(guī)律和導熱系數(shù)、比熱容隨溫度變化的特性。

電磁波頻率對儲層電導率和相對介電常數(shù)的影響規(guī)律如圖3 所示[29]。

圖 3 電磁波頻率對儲層電導率和相對介電常數(shù)的影響Fig.3 Changing laws of electric conductivity and relative permittivity of reservoir with frequency

通過最小二乘擬合法，可以得到儲層電導率和相對介電常數(shù)關于電磁波頻率的函數(shù)表達式，其相對誤差分別為3.3%和4.2%。

儲層電導率的計算公式為：

式中：σ 為儲層的電導率，S/m；f 為電磁波頻率，Hz。相對介電常數(shù)的計算公式為：

式中：εr為儲層的相對介電常數(shù)。

儲層導熱系數(shù)和比熱容與溫度的關系可表示為[2]：

式中：k 為導熱系數(shù)，W/（m·℃）；T 為溫度，℃；c 為比熱容，J/（kg·℃）。

此外，儲層密度ρ 為恒定值1 950 kg/m3，且初始溫度T0設為25 ℃。

2.3 電磁場與電磁熱源

電磁波在損耗媒質中傳播時，呈現(xiàn)逐漸衰減的特點（見圖4），其中E 和H 分別為電場強度和磁場強度，且電磁波沿z1方向傳播[25]。

因此，根據(jù)損耗媒質中的麥克斯韋方程[30]，可推導出該情況下的齊次亥姆霍茲方程[31]：

圖 4 電磁波衰減示意Fig. 4 Schematic of electromagnetic waves attenuation

式中：E 為媒質中電場強度，V/m；kc為損耗媒質中的波數(shù)，rad/m。

kc為復數(shù)，也稱為復數(shù)波，其表達式為[31]：

式中：ω 為角頻率，rad/s；μ 為損耗媒質的磁導率，H/m；εc為復介電常數(shù)。

其中，復介電常數(shù)和角頻率的表達式分別為：

式中：ε 為損耗媒質的介電常數(shù)，F(xiàn)/m；j 為虛數(shù)單位；σ 為媒質的電導率，S/m。

根據(jù)式（6）和式（8），可知真空中的波數(shù)k0為：

式中：ε0為真空介電常數(shù)，F(xiàn)/m；μ0為真空磁導率，H/m。將式（6）—式（9）代入式（5），得：

式中：μr為相對磁導率，即媒質磁導率μ 與真空磁導率μ0之比，由于假定儲層是無磁的，μr=1.0；εr為相對介電常數(shù)，即損耗媒質介電常數(shù)ε 與真空介電常數(shù)ε0之比。

此外，對于電磁強度E，有如下關系：

在無源的麥克斯韋表達式中， ?·E為0，再將式（11）代入式（10），得到電場在儲層內(nèi)傳播時的計算表達式：

式（12）中，儲層的相對介電常數(shù)和電導率是關于電磁波頻率的函數(shù)。

在儲層內(nèi)，電磁波單位體積損耗功率的表達式為[2]：

式中：Q 為電磁波單位體積的損耗功率，W/m3。

式中：t 為加熱時間，s；ρ 為儲層密度，kg/m3；T 為儲層被加熱時間t 后的溫度，℃；q 為內(nèi)熱源強度，W/m3，表示單位體積單位時間內(nèi)所吸收的熱量。

利用式（12）求得儲層內(nèi)電場，然后代入式（13），計算得到的Q 項等于式（14）中的內(nèi)熱源強度q[32]，即Q=q。其中，儲層不同溫度下的導熱系數(shù)和比熱容分別利用式（3）和式（4）進行計算。最后，求解式（14）可得到儲層的溫度分布。

初始溫度設為恒定值，即：

此外，稠油儲層外表面均是絕熱的，根據(jù)傅里葉定律，該表面上溫度梯度為0，邊界條件表示為：

式中：s 為儲層外表面；n 為s 面的法向量。

采用多物理場模擬軟件COMSOL 求解上述數(shù)學模型，為了提高計算精度，對物理模型交界區(qū)域進行了網(wǎng)格加密處理（見圖5）。

圖 5 電磁加熱稠油儲層物理網(wǎng)格劃分Fig.5 Grid partition of the heavy oil reservoir under electromagnetic heating

3 電場和溫度場分布

電磁波頻率為1.6 GHz、功率為1.5 kW 時，稠油儲層加熱6 h 后，模擬喇叭天線和稠油儲層的電場分布，結果見圖6。從圖6 可知：電場強度在喇叭天線端口處較大且電磁波沿著z 軸方向向儲層傳播；在電磁波入射的儲層面上，與y 軸平行的兩邊附近區(qū)域的電場強度較大，且電場在電磁波入射的儲層面內(nèi)沿y 軸對稱分布。

圖 6 電場分布模擬結果Fig.6 Calculation results of electric field distribution

儲層溫度分布隨時間的變化情況如圖7 所示。從圖7 可以看出：電磁波入射面的儲層溫度也呈現(xiàn)沿y 軸對稱分布的特點，這與圖6（b）所示的電場分布規(guī)律類似；加熱初期，在電磁波入射的儲層面內(nèi)，平行于y 軸的兩邊附近區(qū)域的溫度較高，隨著加熱時間增長，電磁波入射儲層面中心區(qū)域的溫度逐漸升高，接近上述兩邊附近的溫度，且沿加熱深度逐步擴大。這是由于在熱傳導的作用下，加熱時間延長，導致加熱范圍逐步擴大。

4 影響因素分析

高頻電磁加熱過程中，稠油儲層溫度分布的影響因素主要包括電磁波功率和頻率，儲層的導熱系數(shù)、比熱容、相對介電常數(shù)和電導率。

圖 7 儲層溫度隨時間的變化規(guī)律Fig.7 Changing relationship of reservoir temperature with time

圖 8 不同電磁波功率下儲層溫度分布三維圖Fig.8 Three-dimensional map of reservoir temperature distribution under different electromagnetic wave powers

4.1 電磁波功率和頻率

在加熱時間恒為6 h 時，電磁波功率對儲層溫度分布的影響見圖8。從圖8 可以看出，隨著電磁波功率增大，儲層加熱深度增大，電磁波入射儲層面的溫度分布也趨于均勻。由此可知，電磁波功率增大，能使更多的電磁能轉化為儲層內(nèi)的熱能，儲層的高溫區(qū)域增大。

電磁波頻率對儲層溫度分布的影響研究分2 種情況進行：1）基于實際情況，考慮頻率變化引起儲層電導率和相對介電常數(shù)的變化，其變化規(guī)律符合式（1）和式（2）；2）儲層電導率和相對介電常數(shù)不受頻率影響，始終為0.08 S/m 和12.5。

根據(jù)以上2 種情況，一方面分析電磁波頻率對儲層溫度分布的影響規(guī)律，另一方面對2 種情況下的儲層溫度分布結果進行比較和分析。電磁波頻率分別選取1.4，1.6 和1.8 GHz，對應的儲層電導率分別為0.080，0.082 和0.085 S/m，相對介電常數(shù)分別為12.5，12.9 和13.2。

在情況2）的條件下，儲層沿深度的溫度分布受電磁波頻率的影響規(guī)律如圖9 所示。

從圖9 可以看出，電磁波頻率增大，能夠使入射波儲層面區(qū)域的溫度急劇升高，但隨著加熱深度增加，溫度急劇下降。因此，增大電磁波頻率，有助于快速升溫，但不利于增大加熱距離。

通過求解數(shù)學模型，分別得到了2 種情況下儲層溫度沿深度的變化情況，見圖10（圖10 中，綠色曲線表示電磁波頻率從1.4 GHz 變?yōu)?.6 GHz 或者1.8 GHz、而電導率和相對介電常數(shù)恒為1.4 GHz 時的恒定值（即0.080 S/m 和12.5）的計算結果，藍色曲線表示根據(jù)式（1）和式（2）計算該頻率下對應電導率和相對介電常數(shù)時的結果）。由圖10 可知：在不考慮儲層電導率和相對介電常數(shù)隨電磁波頻率變化的情況下，儲層溫度計算結果偏高，即儲層性質不變時的溫度計算結果要大于現(xiàn)場實際加熱過程中的儲層溫度。

圖 11 儲層導熱系數(shù)和比熱容隨溫度變化和恒定時的溫度分布對比Fig.11 A comparison of temperature distributions based on the constant and variable thermal conductivity and specific heat of reservoir with temperature

圖 10 儲層電導率和相對介電常數(shù)隨電磁波頻率變化和恒定時的溫度分布對比Fig.10 A comparison of temperature distributions based on the constant and variable electrical conductivity and relative permittivity of reservoir with temperature

4.2 儲層導熱系數(shù)和比熱容

在加熱時間恒為6 h 的條件下，分2 種情況進行研究：1）基于實際情況，考慮溫度變化引起儲層導熱系數(shù)和比熱容改變，其變化規(guī)律依據(jù)式（3）和式（4）計算分析；2）儲層導熱系數(shù)和比熱容不受溫度影響，其值恒為0.2 W/（m·℃）和800 J/（kg·℃）。

通過求解數(shù)學模型，分別得到了2 種情況下的儲層溫度分布情況，如圖11 所示。

從圖11 可以看出：情況1）下的儲層溫度分布曲線與情況2）下的儲層溫度分布曲線存在交點；在該交點橫坐標左側的區(qū)域內(nèi)，情況2）下的儲層溫度較高；在該交點橫坐標右側的一段區(qū)域內(nèi)，情況1）下的儲層溫度較高。這說明在不考慮儲層導熱系數(shù)和比熱容隨溫度變化的情況下，接近波源儲層區(qū)域溫度的計算結果高于儲層實際溫度，遠離波源一定距離儲層區(qū)域內(nèi)溫度的計算結果低于儲層實際溫度；隨著儲層深度進一步增大，2 條曲線同時下降，并趨于重合。以上溫度分布曲線與文獻[2]中溫度分布曲線基本吻合，驗證了以上結果的正確性，同時也驗證了數(shù)學模型的有效性。

4.3 儲層相對介電常數(shù)和電導率

研究不同稠油儲層的相對介電常數(shù)和電導率對溫度分布的影響規(guī)律時，電磁波頻率恒為1.6 GHz，儲層相對介電常數(shù)及電導率的取值范圍可參考文獻[29]。假設儲層的相對介電常數(shù)分別為8.5，12.5和16.5，計算不同相對介電常數(shù)下的溫度分布曲線，結果見圖12。由圖12 可知：不同相對介電常數(shù)下的儲層溫度隨深度增大而降低，3 條溫度分布曲線隨著深度增大逐漸趨于重合；儲層相對介電常數(shù)從8.5 增至16.5 時，儲層深度小于0.15 m 時其溫度均升高，表明儲層相對介電常數(shù)越大，對電磁波加熱開采稠油越有利。

假設儲層電導率分別為0.01，0.08 和0.15 S/m，計算不同電導率下的溫度分布曲線，結果如圖13 所示。從圖13 可以看出：隨著電導率增大，沿深度方向的儲層溫度也明顯升高，這與圖12 中的溫度分布曲線變化規(guī)律相似。以上研究表明，稠油儲層相對介電常數(shù)和電導率在一定范圍內(nèi)增大，可以提高儲層溫度。

圖 12 儲層相對介電常數(shù)對溫度分布的影響Fig. 12 The influence of reservoir relative permittivity on temperature distribution

圖 13 儲層電導率對溫度分布的影響Fig. 13 The influence of reservoir electric conductivity on temperature distribution

5 結論與建議

1）儲層的加熱深度隨電磁波功率增大而增大；波源附近儲層溫度隨頻率升高而升高；考慮儲層性質隨溫度或頻率變化時的溫度計算結果與儲層性質恒定時的計算結果不同；在一定變化范圍內(nèi)，增大儲層相對介電常數(shù)和電導率，可以提高儲層溫度。

2）當電磁波頻率達到吉赫茲（GHz）數(shù)量級時，電磁加熱稠油儲層的加熱距離較短，難以滿足現(xiàn)場遠距離加熱的需求。

3）本文也是基于電磁場和傳熱理論來描述電磁加熱稠油儲層的過程，但建立的數(shù)學模型考慮了儲層性質的動態(tài)變化，利用該模型求得的溫度分布結果對于準確預測實際加熱過程中的儲層溫度分布具有一定的指導作用。

4）井下電磁加熱技術是一種多學科結合的新型稠油熱采技術，涉及電磁場和溫度場的耦合作用，建議開展室內(nèi)實驗來確定儲層性質隨溫度和頻率的變化規(guī)律，并對理論模型進行驗證，以準確預測電磁加熱過程中的儲層溫度分布。