顧錫陽，俞竹青

（常州大學 機械工程學院，常州 213100）

在軍事領域上，火炮的自動裝彈是實現(xiàn)軍事裝備自動化的重要一環(huán)。裝彈機器人將炮彈準確裝填入炮管需要合理的軌跡規(guī)劃[1]與控制方法。炮彈在裝填進炮管的過程中應盡可能避免發(fā)生碰撞，所以裝彈機器人的關節(jié)在運動過程中必須保持平穩(wěn)、準確，啟動與停止時的沖擊需要盡可能地減小。文獻[2]采用三次非均勻B 樣條插值方法進行軌跡規(guī)劃，雖然速度曲線連續(xù)， 但由于加速度曲線存在突變，容易在啟動和停止時造成振動。文獻[3]使用七次樣條曲線進行規(guī)劃， 得到光滑的速度和加速度曲線，但高次插值易發(fā)生“龍格”現(xiàn)象[4]，且多項式的插值次數(shù)越高，約束條件和計算量也越大，對處理器的性能要求也越高。文獻[5]使用數(shù)字式PID 控制器控制關節(jié)型機器人，然而該控制器[6]雖然控制簡單，但控制裝彈機器人等復雜對象時， 難以做到實時控制， 面對復雜系統(tǒng)時可能無法滿足控制系統(tǒng)對于穩(wěn)、快、準的要求。針對以上問題，在此提出基于五次多項式插值與神經(jīng)網(wǎng)絡PID 的裝彈機器人控制方法。

1 機器人運動學規(guī)劃

1.1 機器人軌跡規(guī)劃

關節(jié)式機器人一般采用關節(jié)空間的軌跡規(guī)劃。首先將路徑點轉換成關節(jié)角度值，然后將每一個關節(jié)變量映射成一個光滑時間函數(shù)， 從起始點開始，依次通過所有路徑點，最后到達目標點。每個關節(jié)的時間函數(shù)相互獨立，但總的運動時間相同。在此所設計的裝彈機器人采用五次多項式插值。

五次多項式插值通式為

式中：t 為時間；a0，a1，…，a5為系數(shù)。為求解多項式的系數(shù)，需要滿足以下條件：

1.2 插值算法的實現(xiàn)

伺服電機旋轉角度由單片機發(fā)出的脈沖個數(shù)決定，轉速由占空比決定，故單片機可以將關節(jié)角度換算為對應的脈沖值，通過控制脈沖的個數(shù)與頻率使電機轉過指定角度。故插值通式可轉化為

式中：P（t）為t 時刻對應的脈沖值。將方程（14）離散化，各插值點處的脈沖值為

式中：i 為插值次數(shù)；Δt 為插值周期。各插值點處的頻率為

脈沖輸出形式采用PWM 波輸出， 芯片采用STM32F103RCT6，通過配置各個通用定時器輸出占空比不同的PWM 波，通過調整PWM 波產(chǎn)生的周期可以調整脈沖輸出頻率。PWM 波輸出的理論脈沖頻率值f0為

式中：fclk為定時器時鐘頻率；Rar為ARR（auto reload register）自動重裝載計數(shù)器值。實際由于ARR 值為整型類型，輸出的脈沖頻率會大于或等于理論脈沖頻率。如果相隔固定的插補周期改變輸出脈沖頻率，會使單個插值周期內產(chǎn)生的脈沖數(shù)與實際需要的脈沖數(shù)不相等， 因而造成電機轉動角度的誤差。在此采用變插值周期的插值方法來保證單個插值周期內輸出的脈沖個數(shù)，即到達各插值點脈沖值時計算下一個插值點所需頻率值，通過控制插值點處脈沖值來調整插值周期，使插值點脈沖值始終落在曲線上，實際插值時間是一個變化的接近Δt 的數(shù)。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡PID 控制器設計

2.1 建立伺服電機模型

裝彈機器人所采用的直流伺服電機為固定定子勵磁電壓，通過控制電樞電壓改變電機轉速和角度。其數(shù)學模型為

式中：Ra為轉子線圈電阻；J 為轉子總慣量；θ 為電動機轉角；f 為總阻尼系數(shù)；KT為力矩系數(shù)；Ke為反電動勢常數(shù)；Va為電樞電壓。

令電樞輸入電壓和電動機轉角的初始值為0，其關系如圖1所示。可求出以θ 為輸出、Va為輸入的傳遞函數(shù)，即對式（18）兩邊取拉氏變換，得

其中

由于電機輸出轉矩Ta=Jθ+ fθ˙，兩邊取拉氏變換，可得

該裝彈機器人所選用伺服電機參數(shù)如下：額定電壓為48 V；額定電流為2.1 A；額定轉速為3000 r/min；轉子線圈電阻為0.63 Ω；轉子總慣量為0.153×10-4kg·m2；總阻尼系數(shù)為4.831×10-5N·s/m；力矩系數(shù)為0.495 N·m/A； 反電動勢常數(shù)為0.233 V·s/rad。計算可得控制對象的傳遞函數(shù)為

圖1 電樞電壓與輸出角的關系Fig.1 Relation between armature voltage and output angle

2.2 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡算法設計

PID 控制器要取得較好的控制效果， 必須調整好Kp，Ki，Kd的控制作用，這3 個控制量既相互配合又相互制約，屬于線性組合。其算法為

式中：Kp，Ki，Kd分別為比例、積分、微分系數(shù)；e（k）為當前采樣時刻的期望輸出與實際輸出之差；u（k）為當前采樣時刻的控制量。

神經(jīng)網(wǎng)絡具有任意非線性表達能力，通過對系統(tǒng)性能的學習實現(xiàn)最佳的PID 控制，因此可以根據(jù)系統(tǒng)的運行狀態(tài)在線調整3 個可調參數(shù)Kp，Ki，Kd，以達到某種性能指標的最優(yōu)化。輸出層的3 個輸出對應PID 控制器的3 個參數(shù)，通過神經(jīng)網(wǎng)絡的加權系數(shù)調整和自學習，使輸出層輸出滿足某種最優(yōu)控制規(guī)律下的PID 控制器參數(shù)。采用BP 網(wǎng)絡可以建立PID 控制器參數(shù)自學習的方法，PID 控制器直接對控制對象進行閉環(huán)控制。BP-PID 控制系統(tǒng)結構如圖2所示。

圖2 BP-PID 結構Fig.2 BP-PID structure

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入為

式中：M 為輸入變量的個數(shù)，取決于系統(tǒng)的復雜程度。隱含層的輸入、輸出為

隱含層神經(jīng)元的變換函數(shù)一般取正負對稱的Sigmoid 函數(shù)，即

輸出層的輸入、輸出為

則有

輸出層神經(jīng)元活化函數(shù)為

取性能指標函數(shù)為

按照梯度下降法修正網(wǎng)絡的加權系數(shù)，即按加權系數(shù)的負方向搜索調整，并附加一個使搜索快速收斂全局極小的慣性項，則輸出層的加權系數(shù)修正公式為

式中：η 為學習速率；α 為慣性系數(shù)。

由于?y（k）/?Δu（k）未知，因此使用符號函數(shù)sgn［?y（k）/?Δu（k）］近似取代，通過調整學習速率η補償由此帶來的計算的不精確。

由式（22）～式（37），可得到以下關系式：

綜上，可得到輸出層權值的學習算法為

同理，可得隱含層加權系數(shù)為

其中

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡PID 控制算法可總結如下：

步驟1首先確定BP 網(wǎng)絡的結構，即輸入層節(jié)點數(shù)M 和隱含層的節(jié)點個數(shù)Q，選取各層加權系數(shù)的初值wij（0），wli（0），選定學習速率η 和慣性系數(shù)α，此時k=1；

步驟2采樣給定和反饋信號r（k）和y（k），計算誤差

步驟3確定輸入量；

步驟4根據(jù)式（38）～式（45），計算各層神經(jīng)元的輸入、輸出，神經(jīng)網(wǎng)絡輸出層即為PID 控制器的3個可調參數(shù)Kp，Ki，Kd；

步驟5由增量式PID 控制公式， 計算PID 控制器的控制輸出u（k）；

步驟6進行神經(jīng)網(wǎng)絡學習， 實時自動調整輸出層和隱含層的加權系數(shù)，wli（k）和wij（k），實現(xiàn)PID 控制參數(shù)的自適應調整；

步驟7令k=k+1，返回步驟2。

3 仿真實驗與分析

3.1 軌跡規(guī)劃仿真

假定，裝彈機器人由靜止開始運行時，關節(jié)角速度為0，角加速度為0，由初始位置（0，0）加速運動至中間點（0，75），然后減速運動至目標點（0，25）處停止。3 s 時加速運動至中間點1；6 s 時加速到達中間點2；9 s 時減速到達中間點3；12 s 時減速到達中間點4；14 s 時到達目標點停止，此時速度與加速度均為0。三次多項式與五次多項式位移、速度和加速度仿真曲線如圖3，圖4所示。

圖3 三次多項式軌跡規(guī)劃仿真曲線Fig.3 Simulation curve of cubic polynomial trajectory planning

圖4 五次多項式軌跡規(guī)劃仿真曲線Fig.4 Simulation curve of quintic polynomial trajectory planning

由圖3可見，雖然三次多項式規(guī)劃末端位移平穩(wěn)，速度變化均勻，但由于沒有考慮到加速度，所以加速度曲線在3，6，9，12 s 時發(fā)生了突變，在實際工況中此時會對電機產(chǎn)生較大的沖擊。

由圖4可見，五次多項式插值在保證末端位移平穩(wěn)、速度變化曲線平緩的同時，加速度曲線變化較為平滑，雖在3 s 和12 s 時存在較小的波動，但符合五次多項式插值理論變化趨勢，能有效減少加減速對裝彈機器人關節(jié)電機的沖擊。因此五次多項式插值具有較好的適應性。

3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡PID 仿真

神經(jīng)網(wǎng)絡控制利用MatLab 自帶的Simulink 仿真模塊搭建數(shù)字式PID 控制模型與BP-PID 控制模型，并編寫S 函數(shù)將程序引入控制模型，進行電機PID 仿真，如圖5，圖6所示。

仿真的采樣時間設為0.01 s，隱含層層數(shù)設置為8 層，設置學習速率η=0.3，慣性系數(shù)初值α=0.02，對電機的響應速度進行仿真，并觀測系統(tǒng)的輸出響應曲線。BP-PID 控制器與傳統(tǒng)PID 控制器比較如圖7所示。

由圖7可見， 數(shù)字式PID 控制器響應時間為0.25 s，穩(wěn)態(tài)時間為1.5 s，而神經(jīng)網(wǎng)絡PID 控制器響應時間為0.2 s，穩(wěn)態(tài)時間1.1 s。顯然，神經(jīng)網(wǎng)絡PID控制器優(yōu)于數(shù)字式PID 控制器，并且最大超調量比數(shù)字式PID 減小了10%，幾乎沒有振蕩，在用于裝彈機器人的關節(jié)伺服電機控制時具有較好的魯棒性與適應性。

圖5 Simulink 控制模型Fig.5 Simulink control model

圖6 BP-PID 控制器內部封裝Fig.6 BP-PID controller internal packaging

綜上，仿真結果證明五次多項式插值的運行曲線平穩(wěn)， 可以在保證插值曲線足夠平滑的情況下，減少對處理器資源的占用。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡PID 相較于數(shù)字式PID 能自適應調整PID 的3 個參數(shù)，可以有效提高電機的響應速度，同時具有較好的穩(wěn)定性。

4 結語

針對裝彈機器人關節(jié)轉向精度的問題，提出了基于BP-PID 與五次多項式的關節(jié)伺服控制方法，在關節(jié)空間內給定的起點與終點坐標的情況下，規(guī)劃五次多項式插值的位移、 角速度與角加速度，通過BP 神經(jīng)網(wǎng)絡控制器控制伺服電機旋轉； 通過MatLab Simulink 模塊進行仿真。仿真結果表明，五次多項式插值可以保證關節(jié)角速度和角加速度變化是連續(xù)的，減小電機啟動與停止時的沖擊，使裝彈機器人關節(jié)更加平穩(wěn)的運行，各方面優(yōu)于三次多項式插值；神經(jīng)網(wǎng)絡PID 控制器比數(shù)字式PID 控制器響應迅速，誤差超調量較小，曲線變化平穩(wěn)，更快達到穩(wěn)態(tài)值，在裝彈機器人領域相較于數(shù)字式PID 控制器有更廣泛的應用價值。