黃欽華 高遠(yuǎn) 袁海英 文家燕

摘要：為提高Boost變換器輸出電壓的控制性能和抗干擾性，提出一種電壓環(huán)和電流環(huán)均采用分?jǐn)?shù)階比例積分（PI）控制器的雙閉環(huán)控制方法。該方法在建立的雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，結(jié)合控制系統(tǒng)頻域設(shè)計(jì)理論設(shè)計(jì)出電流環(huán)、電壓環(huán)的分?jǐn)?shù)階PI控制器參數(shù)，并利用Bode圖分析了被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。Boost變換器的雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制仿真結(jié)果表明，即使在電源電壓、負(fù)載，以及期望輸出電壓的變化條件下，相比雙閉環(huán)整數(shù)階PI，以及電壓環(huán)分?jǐn)?shù)階PI、電流環(huán)整數(shù)階PI的兩種控制情形，該方法能實(shí)現(xiàn)變換器具有更好的輸出電壓性能和控制魯棒性。

關(guān)鍵詞：Boost變換器;分?jǐn)?shù)階：雙閉環(huán);比例積分控制器：魯棒性

中圖分類號(hào)：TM46DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2020.01.002

0引言

Boost變換器是DC-DC變換器的一種重要類型，通過對(duì)其開關(guān)器件的通斷控制，可實(shí)現(xiàn)對(duì)直流電源的升壓變換輸出;在電動(dòng)汽車、光伏發(fā)電系統(tǒng)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景Ⅲ?？刂撇呗允菍?shí)現(xiàn)DC-DC變換器高性能電壓輸出的重要保證。然而，DC-DC變換器固有的非線性和非最小相位特性，以及系統(tǒng)參數(shù)、外部電源和負(fù)載的時(shí)變性，會(huì)使得基于電壓單閉環(huán)控制的系統(tǒng)電壓輸出不能有效滿足高性能要求的應(yīng)用工況。近年來，有學(xué)者提出了電壓和電流反饋的雙閉環(huán)控制策略，把對(duì)變換器電容電壓的控制問題轉(zhuǎn)化為對(duì)電感電流的控制問題，在一定程度上可降低系統(tǒng)非最小相位特性和時(shí)變干擾對(duì)控制性能的不良影響。如文獻(xiàn)[6]對(duì)Boost變換器采用雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)一種基于電流模式的非線性控制器，不僅控制輸出電壓具有良好的動(dòng)靜態(tài)性能，而且對(duì)電源輸入電壓的變化也有著較強(qiáng)的輸出控制魯棒性。

目前，DC-DC變換器大都采用整數(shù)階的控制方法。自本世紀(jì)以來，人們研究發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階控制相比傳統(tǒng)的整數(shù)階控制情形，被控系統(tǒng)具有更好的動(dòng)態(tài)性能和魯棒性等特點(diǎn)，這極大促進(jìn)了分?jǐn)?shù)階理論在電機(jī)、飛行器等控制工程領(lǐng)域中的應(yīng)用。在DC-DC變換器控制領(lǐng)域，基于電壓單閉環(huán)的分?jǐn)?shù)階控制已有報(bào)道，且可獲得相比整數(shù)階控制更好的效果。為克服Boost變換器PI^λD^μ控制器的多控制參數(shù)（包含兩個(gè)分?jǐn)?shù)階次參數(shù)）整定困難，文獻(xiàn)[10]通過定義控制性能指標(biāo)函數(shù)，采用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化搜索獲取控制器參數(shù)，研究結(jié)果顯示PI^λD^μ控制能有效提高變換器的電壓輸出品質(zhì)，以及降低系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)控制的不良影響。文獻(xiàn)[11]通過設(shè)計(jì)外部負(fù)載參數(shù)的自適應(yīng)估計(jì)律，以及構(gòu)建分?jǐn)?shù)階PI滑模函數(shù)，推導(dǎo)出Boost變換器的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑模控制器，可使系統(tǒng)具有良好的電壓輸出瞬態(tài)響應(yīng)和抗負(fù)載變化能力。

為提高Boost變換器的控制性能和魯棒性，鑒于系統(tǒng)雙閉環(huán)控制和分?jǐn)?shù)階控制的優(yōu)勢(shì)特點(diǎn)，提出一種電壓一電流雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階比例積分（PI）控制方法，并根據(jù)建立的雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，采用頻域設(shè)計(jì)理論，通過分步混合式的設(shè)計(jì)過程，整定出電流環(huán)和電壓環(huán)的分?jǐn)?shù)階PI控制器參數(shù)。Boost變換器的雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制仿真對(duì)比結(jié)果驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

1Boost變換器雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模

圖1為包括了Boost變換器的電壓、電流雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)原理圖。圖1中，υ_o和i_L分別為變換器實(shí)際的輸出電壓和電感電流，υ_ref、i_Lref分別表示期望的輸出電壓和電感電流;電流控制誤差e_i（t）=i_Lref-i_L和電壓控制誤差e_υ（t）=υ_ref-υ_o，分別為電流環(huán)控制器和電壓環(huán)控制器的輸入信號(hào)，u（t）、i_Lref則分別是電流環(huán)控制器和電壓環(huán)控制器的輸出信號(hào);d（t）為u（t）與三角波信號(hào)調(diào)制作用產(chǎn)生的脈沖寬度調(diào)制（PWM）信號(hào)，其體現(xiàn)為控制主電路開關(guān)器件S通斷變化的占空比。假定Boost變換器處電流連續(xù)工作模式，利用開關(guān)平均建模方法，可獲得如下形式的占空比-電流傳遞函數(shù)G_id（s）和電感電流一輸出電壓傳遞函數(shù)G_voiL（s）。

式中，D、V_o分別為Boost變換器在穩(wěn)態(tài)工作情況下的占空比和輸出電壓，并有關(guān)系V_o=V_in/（1-D）。

圖2是Boost變換器雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型框圖。圖2中G_c1（s）、G_c2（s）分別表示電流環(huán)分?jǐn)?shù)階控制器和電壓環(huán)分?jǐn)?shù)階控制器;G_m（s）=1/V_m是PWM調(diào)制器的傳遞函數(shù)，其中載波幅值V_m通常取值為1V。為實(shí)現(xiàn)高性能的輸出電壓控制，電流環(huán)和電壓環(huán)的分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)是技術(shù)關(guān)鍵。

1.1雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制器

本文為降低雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計(jì)復(fù)雜性，電流環(huán)和電壓環(huán)均采用分?jǐn)?shù)階PI控制器，控制器對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為

式中，k_p1、k_p2為控制器的比例控制參數(shù)，k₁₁、k₁₂為控制器的積分控制參數(shù);λ₁、λ₂∈（0，1）表示分?jǐn)?shù)階積分的階次參數(shù)。相比整數(shù)階PI控制器，分?jǐn)?shù)階次參數(shù)引入使得控制器具有更好的控制靈活性，特別是當(dāng)階次參數(shù)為1時(shí)，控制器將退變?yōu)閭鹘y(tǒng)的整數(shù)階PI控制形式。上述的分?jǐn)?shù)階PI控制器具有的頻率特性如下規(guī)律：

根據(jù)式（5），可進(jìn)一步求出對(duì)應(yīng)的相頻和幅頻特性數(shù)學(xué)表達(dá)式：

1.2雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)圖2，結(jié)合式（1）、式（3）可求得電流環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)G_iB（s）：

利用式（8）和式（2）可求出電壓環(huán)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)數(shù)學(xué)模型G_v（s）：

G_v（s）=G_iB（s）G_voiL（s）=

進(jìn)一步可獲得G_v（s）的相頻特性和幅頻特性：

結(jié)合上述的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，對(duì)電壓環(huán)和電流環(huán)的分?jǐn)?shù)階PI控制器參數(shù)進(jìn)行合理的綜合設(shè)計(jì)是實(shí)現(xiàn)變換器獲得優(yōu)良控制性能的重要保證。

2雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制器設(shè)計(jì)

由控制系統(tǒng)的頻域設(shè)計(jì)理論可知，對(duì)于被控系統(tǒng)G（s），當(dāng)給定期望的截止頻率W_c相位裕度ψ_m，根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性的要求，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)、G_o（s）應(yīng)滿足如下的頻域設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：

1）相位裕度準(zhǔn)則

2）魯棒性準(zhǔn)則

3）幅值準(zhǔn)則

鑒于雙閉環(huán)的分?jǐn)?shù)階PI控制器存在6個(gè)待設(shè)計(jì)參數(shù)，若直接從雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，利用以上3個(gè)頻域設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行嚴(yán)格的解析求解較為困難。因此，為降低控制器參數(shù)綜合設(shè)計(jì)的復(fù)雜性，同時(shí)有別于現(xiàn)有基于智能搜索算法的多參數(shù)一步設(shè)計(jì)方法，本文采取如下具有分步混合特點(diǎn)的設(shè)計(jì)步驟對(duì)雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制器的參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

Step 1設(shè)計(jì)電流環(huán)整數(shù)階PI控制器

令式（3）中λ₁=1，取超調(diào)量≤5%，阻尼比為0.707的性能要求，結(jié)合式（8），采用文獻(xiàn)[15]的仿真輔助設(shè)計(jì)方法，可設(shè)計(jì)出電流環(huán)整數(shù)階PI控制器的k_P1和k_I1參數(shù)，即有：

因此，在電流環(huán)整數(shù)階PI控制條件下，式（11）可簡化為：

進(jìn)一步可求得G_v（s）的相頻特性和幅頻特性：

Step 2根據(jù)頻域設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，設(shè)計(jì)電壓環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制器

選取期望的截止頻率ω_c和相位裕度ω_m，結(jié)合式（18）和式（6），分別根據(jù)相位裕度準(zhǔn)則式（13）和魯棒性準(zhǔn)則式（14），可求出如下λ_I2與λ₂關(guān)系式：

結(jié)合式（19）和式（7），根據(jù)幅值準(zhǔn)則（15）可得到關(guān)于K_P2的數(shù)學(xué)表達(dá)式：可首先利用式（20）和式（21）繪制K_I2-λ₂曲線取交點(diǎn)的方法確定k_I2與λ₂，然后再根據(jù)式（22）求出k_P2數(shù)值。對(duì)于λ₂=1的電壓環(huán)整數(shù)階PI控制情形，可直接通過求解式（20）得到k₁₂。

Step 3選擇恰當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)階次參數(shù)λ₁。，對(duì)電流環(huán)整數(shù)階PI控制器進(jìn)行分?jǐn)?shù)階化

以Step 1所得k_P1和K_I1參數(shù)作為電流環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制器的比例和積分控制參數(shù)，結(jié)合電壓環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖，在保持控制穩(wěn)定性條件下，以增強(qiáng)系統(tǒng)控制魯棒性為目的，選擇恰當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)階次參數(shù)λ₂，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)電流環(huán)整數(shù)階PI控制器的分?jǐn)?shù)階化。

3設(shè)計(jì)實(shí)例

以系統(tǒng)參數(shù)為V_in=60v，，L=2.5mH，C=440uF，R=120Q的Boost變換器為例，并假定變換器處于V₀=120v，D=0.5的穩(wěn)態(tài)工作情況。根據(jù)Step 1方法，可設(shè)計(jì)出電流環(huán)整數(shù)階PI控制器表達(dá)式：

根據(jù)Step 2過程，選擇ω_c=8300rad/s、ψ_m=π/3，由式（20）和式（21）繪制出如圖3所示的K_I2-λ₂的關(guān)系曲線圖，并由該圖交點(diǎn)確定k_I2=94.51、λ₂=0.8后，再根據(jù)式（22）可求出k_p2=2.6528.因此，所設(shè)計(jì)的電壓環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制器為：

G_c2（s）=2.6528（1+94.51s^-0.8） （24）

當(dāng)λ₂=1時(shí)，根據(jù)式（20）和式（22）可直接設(shè)計(jì)得到電壓環(huán)整數(shù)階PI控制器：

G_c2（s）=2.7114（1+543.5226^-1） （25）

依照Step 3的控制器分?jǐn)?shù)階化方法，選取電流環(huán)控制器的分?jǐn)?shù)階次參數(shù)λ₁=0.25，繪制如圖4所示的電壓環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖。由圖4可見，Boost變換器雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制（λ₁=0.25，λ₂=0.8），相比傳統(tǒng)的雙閉環(huán)整數(shù)階PI控制（λ₁=1，λ₂=1），以及電流環(huán)整數(shù)階PI、電壓環(huán)分?jǐn)?shù)階PI的控制情形（λ₁=1，λ₂=0.8），對(duì)應(yīng)的截止頻率ω_c和相位裕度ψ_m均符合設(shè)計(jì)要求，且相位曲線在截止頻率的平坦范圍變寬，這表明λ₁=0.25時(shí)，可使得雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制系統(tǒng)具有更強(qiáng)的控制魯棒性。因此，可設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階電流環(huán)PI控制器為：

4控制仿真結(jié)果及分析

在MATLAB/Simulink環(huán)境下，搭建Boost變換器的雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制系統(tǒng)仿真模型，其中分?jǐn)?shù)階積分?jǐn)?shù)值運(yùn)算采用Oustaloup濾波算法實(shí)現(xiàn)。設(shè)置仿真模型的PWM工作頻率為40kHz，電源輸入電壓V_in=60v，負(fù)載電阻R=120Ω，期望輸出電壓V_ref=120v。

為驗(yàn)證所提控制方法的有效性和先進(jìn)性，仿真過程中分別考慮了變換器系統(tǒng)期望輸出電壓、電源電壓和負(fù)載電阻的變化運(yùn)行情況，同時(shí)還對(duì)比系統(tǒng)雙閉環(huán)整數(shù)階PI，以及電流環(huán)整數(shù)階PI、電壓環(huán)分?jǐn)?shù)階PI的控制仿真結(jié)果。圖5示出了調(diào)壓情況下（V_ref在1.2s時(shí)刻由120v跳變至140v）Boost變換器的輸出電壓響應(yīng)曲線。圖6是負(fù)載電阻跳變情況下（R在1.2s時(shí)刻由120Ω跳變至100Ω，2.2s時(shí)刻再由100Ω跳變至150Ω）的輸出電壓圖。圖7給出了電源電壓變化時(shí)（V_in在1.2s時(shí)刻由60v跳變至70v，2.2s時(shí)刻再由70v跳變至50v）的輸出電壓變化情況。

由圖5-圖7看出，即使在期望輸出電壓、電源電壓和負(fù)載電阻的變化情況下，相比雙閉環(huán)整數(shù)階PI，以及電流環(huán)整數(shù)階PI、電壓環(huán)分?jǐn)?shù)階PI的控制情形，雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制方法能使得Boost變換器的輸出電壓具有較快的控制響應(yīng)速度、更好的對(duì)期望輸出電壓穩(wěn)定跟蹤控制性能，以及抗電源輸入電壓和外部負(fù)載的變化干擾能力。

5結(jié)語

針對(duì)Boost變換器控制問題，本文提出一種電流環(huán)、電壓環(huán)的雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制方法，并建立Boost變換器雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。將數(shù)學(xué)模型與頻域設(shè)計(jì)理論相結(jié)合，提出采用一種分步混合式方法設(shè)計(jì)出電流環(huán)和電壓環(huán)的分?jǐn)?shù)階PI控制器參數(shù)。該參數(shù)設(shè)計(jì)方法有別于現(xiàn)有基于智能優(yōu)化搜索算法的一步設(shè)計(jì)‘方法，不需要計(jì)算機(jī)大量運(yùn)算;同時(shí)可兼顧參數(shù)設(shè)計(jì)的解析性，以及可降低多閉環(huán)系統(tǒng)控制參數(shù)綜合設(shè)計(jì)過程的復(fù)雜性。Boost變換器雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的控制仿真對(duì)比結(jié)果表明，本文所提出的雙閉環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制方法具有更優(yōu)的期望輸出電壓跟蹤控制性能和魯棒性。此外，分?jǐn)?shù)階PI控制器與整數(shù)階PI控制器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)類似，且分?jǐn)?shù)階積分環(huán)節(jié)可采用逼近的數(shù)字濾波器技術(shù)實(shí)現(xiàn)。因此，研究結(jié)果為探索DC-DC變換器高性能的控制策略，提供了有用的控制理論方法參考。