楊召

摘 ?要：文章主要研究了多自主體動(dòng)態(tài)系統(tǒng)里二階共識(shí)的一些充分必要條件，首先，進(jìn)行了基本理論分析，二階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的每個(gè)自主體是由位置和速度或者漸近速度描述的，給出一個(gè)充要條件是為了確保二階共識(shí)，發(fā)現(xiàn)相應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣的特征值的實(shí)部和虛部在達(dá)到共識(shí)發(fā)揮了關(guān)鍵性的作用?；谶@個(gè)結(jié)果，從有信息延遲的多自主體系統(tǒng)里我們獲取了一個(gè)二階共識(shí)算法，給出一個(gè)充要條件，說(shuō)明包含一個(gè)有向生成樹的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型的多自主體系統(tǒng)里的二階共識(shí)能被獲得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)間延遲是小于某個(gè)評(píng)定值。最后，給出模擬性的例子驗(yàn)證理論分析。

關(guān)鍵詞：二階共識(shí);多自主體;生成樹網(wǎng)絡(luò);拉普拉斯矩陣

中圖分類號(hào)：TP11 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? ? ? 文章編號(hào)：2095-2945（2020）02-0045-02

Abstract： This paper mainly studies some necessary and sufficient conditions for the second-order consensus in multi-agent dynamic systems. Firstly， the basic theoretical analysis is carried out. Each self-agent of the second-order dynamic system is described by position and velocity or asymptotic velocity. A necessary and sufficient condition is given in order to ensure the second-order consensus， and it is found that the real and imaginary parts of the eigenvalues of the Laplace matrix of the corresponding network play a key role in reaching the consensus. Based on this result， a second-order consensus algorithm is obtained from multi-agent systems with information delay， and a necessary and sufficient condition is given. It is shown that the second-order consensus in a multi-agent system with a network configuration of a directed spanning tree can be obtained if and only if the time delay is less than a certain value. Finally， a simulation example is given to verify the theoretical analysis.

Keywords： second-order consensus; multi-agent; spanning tree network; Laplace matrix

引言

在近幾年，多自主體動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的模型已越來(lái)越廣泛應(yīng)用在生物，社會(huì)和工程系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，像動(dòng)物群，高級(jí)網(wǎng)絡(luò)，機(jī)器組等等。研究者特別有興趣在多自主體動(dòng)態(tài)系統(tǒng)里研究怎樣協(xié)調(diào)群行為和學(xué)習(xí)達(dá)到共識(shí)及其重要的作用。共識(shí)問(wèn)題已經(jīng)引起很多關(guān)注，部分因?yàn)閬?lái)自于代數(shù)圖論的工具已被成功引進(jìn)，構(gòu)成通過(guò)和它們的鄰居分享信息而達(dá)到共識(shí)。已被證明帶有動(dòng)態(tài)改變的構(gòu)型的網(wǎng)絡(luò)里共識(shí)能被達(dá)到當(dāng)且僅當(dāng)隨時(shí)間變化的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型包含了生成樹。

在關(guān)于共識(shí)問(wèn)題的文章里，自主體通常被認(rèn)為是由一階動(dòng)力學(xué)所控制。同時(shí)，也可認(rèn)為所有自主體由二階動(dòng)力學(xué)控制的共識(shí)算法。本文考慮二階共識(shí)問(wèn)題怎樣在由二階動(dòng)力學(xué)控制的一階自動(dòng)化的自主體達(dá)到共識(shí)。二階共識(shí)問(wèn)題的研究可能導(dǎo)致更多現(xiàn)實(shí)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)被引用到多自主體系統(tǒng)的大概框架的每個(gè)自主體模型，它對(duì)工程網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)里合作控制策略的執(zhí)行有特別的意義。已被說(shuō)明，對(duì)比一階共識(shí)問(wèn)題，盡管網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型有一個(gè)有向的生成樹，依然不能得到二階動(dòng)力學(xué)的自主體的共識(shí)。盡管已得到達(dá)到二階共識(shí)的某些充分條件，它仍舊在一般條件驗(yàn)證必要條件是一個(gè)難題。這篇文章的主要貢獻(xiàn)是獲得在包含有向生成樹的網(wǎng)絡(luò)里的二階共識(shí)的充要條件，我們發(fā)現(xiàn)在達(dá)到二階共識(shí)，網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣的特征值的實(shí)部和虛部起到了關(guān)鍵性的作用。

另一方面，在生物，物理，化學(xué)和電子系統(tǒng)里時(shí)間延遲無(wú)處不在，在生物和信息網(wǎng)絡(luò)里，由于自主體之間相互作用的緩慢致使時(shí)間延遲是不可避免的。從許多次的試驗(yàn)中觀察到?jīng)]有考慮時(shí)間延遲的共識(shí)算法可能導(dǎo)致預(yù)料不到的不穩(wěn)定性。這篇論文考慮了延遲對(duì)二階共識(shí)的影響?；谶@一點(diǎn)，在有有向生成樹的延遲的多自主體系統(tǒng)的二階共識(shí)被獲得的充要條件是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)間延遲是少于某個(gè)評(píng)定值。

這篇論文的結(jié)構(gòu)如下：在第二部分，給出關(guān)于圖論和模型公式的一些預(yù)備知識(shí)。在第三部分，討論了在有向網(wǎng)絡(luò)和延遲有向網(wǎng)絡(luò)里的多自主體系統(tǒng)的二階共識(shí)算法。最后給出了總結(jié)。

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