初紅艷 陳立博 丁瑞龍 蔡力鋼

(先進制造技術北京市重點實驗室 北京 100124) (北京工業(yè)大學先進制造與智能技術研究所 北京 100124)

0 引 言

當下社會經(jīng)濟在飛速發(fā)展，印刷品的質量越來越高。為了保證印刷品的質量，膠印機的輸墨系統(tǒng)需要在穩(wěn)定狀態(tài)下運行。在膠印機的輸墨系統(tǒng)中，鋼結構的硬質墨輥和橡膠層包裹鋼芯軸組成的軟質墨輥是交相排列的。油墨在墨輥間轉運，最終印到印刷品上，因此，印刷質量的好壞受到墨輥運動的影響[1]。文獻[2]分析了兩墨輥間無油墨狀態(tài)下軟質墨輥的受力變形，但沒有考慮油墨層對墨輥受力變形的影響。趙俊濤等人[3]通過用不同硬度橡膠層等效油墨層來分析軟質墨輥的受力及變形，但橡膠層與油墨層特性不同，與實際工況下軟質墨輥的變形有一定的偏差。佟維等人[4]對柴油機連桿動力學模型的研究中，將油膜按等效彈簧進行模型化處理，指出了用彈簧來等效油膜的思路。馬炳杰等人[5]通過將油膜等效為彈簧的方法，對內燃機曲柄連桿機構進行了沖擊動力學分析。葉紅玲等人[6]把非線性的油膜力等效簡化成彈簧阻尼器系統(tǒng)，對液體靜壓轉臺系統(tǒng)進行了諧響應分析，分析了油腔幾何參數(shù)對系統(tǒng)動力學特性的影響。葉榮學等人[7]通過油膜剛度計算公式分析了油膜剛度變化對轉子振動特性的影響。盛步云等人[8]將汽輪機轉子軸承支撐系統(tǒng)等效為彈簧阻尼系統(tǒng)，分析了支撐剛度對轉子動力學特性的影響規(guī)律。

本文通過結合機械振動相關基礎知識，推導出了鋼-橡膠墨輥對滾的動力學模型，利用ANSYS Workbench有限元分析軟件建立硬質墨輥與軟質墨輥之間含有等效彈簧，用彈簧的剛度和阻尼來分別等效油墨層彈性和粘性的模型，進行仿真分析。提取軟質墨輥的變形、應力及應變，分析油墨的剛度和阻尼對軟質墨輥變形及油墨層厚度的影響，并將仿真分析的結果與理論模型相對照。

1 系統(tǒng)動力學模型

膠印機所用油墨具有粘彈性，而印刷參數(shù)的變化又會引起油墨粘彈性質的變化。在印刷過程中，油墨的壓力引起軟質墨輥發(fā)生變形，而墨輥的變形又會使墨路通道中的墨量發(fā)生改變，由此進一步引起了油墨壓力的改變。這種情況下如果要仿真兩墨輥間的受力就要進行雙向流固耦合分析。但是雙向流固耦合設置比較復雜，一旦設置不合理很容易計算失敗[3]。因此，用近似的方法把油墨的粘彈性等效為接觸區(qū)內均勻分布的彈簧，即用彈簧的剛度來等效油墨彈性，用彈簧的阻尼來等效油墨粘性。同時認為工作狀態(tài)的油墨處于穩(wěn)定狀態(tài)，即能夠形成完整的油墨層，且油墨分布均勻。

圖1和圖2為簡化的墨輥線接觸副動力學模型。其中上面為硬質鋼輥，下面為軟質橡膠輥，兩墨輥間的油墨層的剛度為k1，阻尼為D1，橡膠輥的橡膠層的剛度為k2，阻尼為D2，Xi為硬質鋼輥的位移載荷，Xo為橡膠輥接觸區(qū)中間節(jié)點的位移。

根據(jù)受力平衡，有：

(1)

將上式進行拉普拉斯變換，得：

D1[sXi(s)-sX0(s)]+k1[Xi(s)-X0(s)]=D2sX0(s)+k2X0(s)

(2)

圖1 墨輥線接觸副的動力學模型

圖2 兩墨輥的動力學模型

整理后得：

(D1s+k1)[Xi(s)-X0(s)]=(D2s+k2)X0(s)

(3)

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(4)

文獻[9]分析了軟質墨輥接觸區(qū)中間1個節(jié)點在1個轉動周期內的變形特性，節(jié)點在未進入擠壓區(qū)時無變形，進入擠壓區(qū)后徑向變形增大達到最大值，而后減小，直到滾出擠壓區(qū)。為計算簡便，將1個節(jié)點的變形過程簡化為硬質墨輥在如圖3所示位移載荷下軟質墨輥的變形，其在0.1 s時位移達到最大為0.8 mm。

圖3 位移載荷圖

位移曲線可由三角函數(shù)擬合為

(5)

將上式進行拉普拉斯變換后得：

(6)

因此，由式(1)得：

(7)

將上式進行拉普拉斯逆變換得：

(8)

此式即為橡膠輥接觸區(qū)中間節(jié)點的運動時間方程，其結果受k1、D1、k2及D2的影響。

2 油墨剛度阻尼求解

由文獻[10]可知，油墨剛度即為油墨力對油墨厚度求導。文獻[11]分析了載荷對油墨層厚度的影響，穩(wěn)定運行時，油墨力與載荷相等，因此擬合載荷與油墨層厚度曲線并求導，即可得到油墨剛度。

文獻[12]提出了基于線接觸彈性流體動力潤滑理論的接觸副油膜阻尼計算模型，并擬合得到油墨阻尼經(jīng)驗公式：

c=DfR/(Bbur)

(9)

式中，f為外載荷，R為綜合曲率半徑，B為接觸長度，b為接觸半寬，ur為油墨卷吸速度，F(xiàn)為線載荷，E′為當量彈性模量，η0為油墨粘度，αl為油墨粘壓系數(shù)。

由油墨層剛度阻尼的計算方法，結合印刷過程中的實際工況，計算油墨粘度為30～54 Pa·s，墨輥外載荷為100～600 N，墨輥轉速為10～50 rad/s的條件下，油墨的剛度及阻尼值，其結果范圍如表1所示，表中列出了剛度和阻尼的最大值和最小值，以及取得最值時所對應的工況條件。

因此，在油墨剛度為300～20 000 N/mm，油墨阻尼為1～7 N·s/mm范圍內進行分析。

表1 剛度阻尼最大最小值

3 有限元仿真分析

墨輥的結構尺寸以實驗室鋼-橡膠對滾實驗平臺的硬質墨輥與軟質墨輥的尺寸作為參考。為了降低計算量，也為了建模的方便，軟質墨輥只建立橡膠層部分，內徑設定為45 mm，外徑設定為65 mm，材料選用邵氏硬度A40的橡膠，材料模型選用橡膠超-粘彈復合本構模型，其中橡膠超彈屬性由Mooney-Rivlin 2參數(shù)模型表征，參數(shù)C10=0.27 MPa，C01=0.027 MPa，粘彈屬性由廣義Maxwell模型表征，橡膠密度為1 100 kg/m3，內圈添加Cylindrical Support支撐。硬質墨輥為外徑為65 mm的圓柱體，它幾乎不發(fā)生變形，材料為普通鋼，其彈性模量為206 GPa，泊松比為0.33，密度為7 800 kg/m3。為了等效出接觸區(qū)的油墨層，兩輥在接觸位置各削去0.25 mm，以形成高度為0.5 mm的矩形接觸區(qū)。在2個面之間添加體對體(Body-Body)的彈簧(Spring)用于等效兩墨輥間的油墨層，即等效油墨層的厚度為0.5 mm。以彈簧剛度和阻尼來等效油墨的彈性和粘性。兩墨輥劃分網(wǎng)格相關度為100，采用自動網(wǎng)格劃分，相關度中心為稀疏，平滑度為中等，網(wǎng)格過渡為快速，最大膨脹層為5，生長率為1.2，網(wǎng)格劃分如圖4所示。

圖4 網(wǎng)格劃分后的模型

兩墨輥表面的接觸類型為摩擦接觸，定義摩擦因子為0.5。由于兩墨輥之間的接觸力為墨輥受到的主要力，因此將其他力忽略不計。對硬質墨輥施加如圖3的Y方向位移，在0.1 s時位移達到最大為0.8 mm，X、Z方向的位移約束為0。共10個載荷步，每個載荷步有2個子步，總計施加時間為0.2 s。

變形過程示意圖如圖5所示，左側為墨輥的初始狀態(tài)，此時油墨層厚度為h=0.5 mm。右側為0.1 s時刻，兩墨輥狀態(tài)。硬質墨輥位移為D=0.8 mm，d為0.1 s時刻軟質墨輥的變形量，H為0.1 s時刻油墨層厚度。由圖可知，d+h=D+H，因此可以得出：

H=d+h-D

(10)

圖5 變形示意圖

軟質墨輥在不同彈簧剛度和阻尼的變形、應變和應力云圖相似，數(shù)值不同。圖6為等效彈簧剛度為300 N/mm，等效彈簧阻尼為5 N·s/mm，分析時間為0.1 s，即硬質墨輥的位移最大時，軟質墨輥的變形、應變和應力云圖。變形、應變和應力的最大處均出現(xiàn)在接觸區(qū)，在橡膠層的內圈與鋼芯軸接觸處，應變和應力也呈現(xiàn)出較大的現(xiàn)象。

圖6 軟質墨輥變形、應變和應力云圖

4 剛度和阻尼對墨輥變形特性及油墨層厚度的影響

4.1 剛度對軟質墨輥變形及油墨層厚度的影響

等效彈簧的剛度是影響墨輥變形量的重要因素，本節(jié)分析彈簧剛度對軟質墨輥受力變形的影響，其中彈簧阻尼設置為2 N·s/mm時，分別設置剛度為300 N/mm，500 N/mm，800 N/mm，1 000 N/mm，2 500 N/mm，5 000 N/mm，10 000 N/mm，20 000 N/mm，提取接觸區(qū)中間點的變形，結果如圖7所示。

圖7表明，最大變形均出現(xiàn)在0.1 s，最大變形隨著剛度增大而增大，當彈簧剛度為300 N/mm時，接觸區(qū)中間點的最大變形為0.593 mm；當彈簧剛度為20 000 N/mm時，接觸區(qū)中間點最大變形為0.796 mm。

圖7 接觸區(qū)中間點變形

提取不同剛度0.1 s時的變形、應力及應變如圖8所示，隨著剛度的增大勻墨輥中間節(jié)點的變形也隨之增大，結合式(8)分析，由于接觸區(qū)中間節(jié)點的變形受到k1、D1、k2及D2多種因素的影響，這是一個復雜的耦合過程，本文重在分析油墨的剛度阻尼對節(jié)點變形的影響，因此將k2、D2看做定值，著重分析k1、D1的影響。由式(8)可知，當k1增大時，xo(t)會隨之增大。

圖8 接觸區(qū)中間點最大變形、應變和應力

當阻尼為2 N·s/mm時，隨著等效彈簧的剛度增大，其變形會減小，因此會引起軟質墨輥變形的增加。當彈簧剛度在300～5 000 N/mm這個范圍內變化時，接觸區(qū)中間點的變形上升得較快，當剛度超過5 000 N/mm時，變形的上升趨于平緩。即認為當?shù)刃椈蓜偠仍? 000 N/mm以內時，等效彈簧還是彈性體，彈簧的剛度變化對中間點的變形有較大的影響；當?shù)刃椈蓜偠瘸^5 000 N/mm時，等效彈簧可以視為剛性體，其中等效彈簧剛度為10 000 N/mm和20 000 N/mm時墨輥變形量分別為0.791 mm和0.795 mm，接近于鋼輥的位移0.8 mm。提取應力和應變，也有與變形相似的變化規(guī)律。

由式(10)可知，油墨層厚度與墨輥變形有相同的趨勢，會隨著剛度的增大而增大并逐漸接近于0.5 mm。這是因為墨輥運動會使剛度較小的油墨壓縮，油墨層厚度較小；當油墨剛度逐漸增大時，油墨不易被壓縮，油墨層厚度逐漸增大。

4.2 阻尼對軟質墨輥變形及油墨層厚度的影響

為探究阻尼的變化對軟質墨輥變形的影響，本節(jié)分別設置彈簧阻尼為1 N·s/mm，1.5 N·s/mm，2 N·s/mm，3 N·s/mm，4 N·s/mm，5 N·s/mm，6 N·s/mm，7 N·s/mm時進行仿真分析，等效彈簧剛度設置為300 N/mm，提取接觸區(qū)中間點的變形，結果如圖9所示。

圖9 接觸區(qū)中間點變形

圖9表明，最大變形均出現(xiàn)在0.1 s時刻，當阻尼為1 N·s/mm時，接觸區(qū)中間節(jié)點的變形量為0.588 mm，當阻尼為7 N·s/mm時，接觸區(qū)中間節(jié)點的變形量為0.625 mm，與剛度的影響不同，在0～0.1 s時段內(即加載階段)，阻尼越大，相同時刻下的節(jié)點變形越大，而在0.1～0.2 s時段內(即卸載階段)，阻尼越大，相同時刻下的節(jié)點變形越小，這是由于油墨層此時處于壓縮后恢復厚度階段，阻尼使油墨層恢復厚度的變形遲緩，從而引起橡膠層節(jié)點變形減小。

提取0.1 s時的節(jié)點變形、應變及應力如圖10所示。

從圖中可以看出，隨著油墨阻尼的增大，節(jié)點變形、應變及應力也會隨之增大，結合式(8)分析，當油墨剛度即k1一定時，油墨阻尼D1的增大會引起接觸區(qū)中間節(jié)點變形xo(t)增大。

與剛度對節(jié)點的變形、應變及應力影響相比，阻尼對這3個參數(shù)的影響較小。由阻尼計算結果可知，阻尼在不同印刷條件下的計算數(shù)值較小，在相同位移載荷下所產(chǎn)生的阻尼力較小，因此對軟質墨輥產(chǎn)生的影響較小。

圖10 接觸區(qū)中間點變形、應變和應力

由式(10)計算油墨層厚度，阻尼對油墨層厚度的影響同樣是隨著阻尼的增大油墨層厚度也在增大，可見阻尼增大會使等效彈簧變形減小，也即油墨層厚度變化減少，因此油墨層厚度隨阻尼的增大而增大。

5 結 論

利用ANSYS Workbench的彈簧單元來等效兩墨輥間油墨層，通過改變剛度和阻尼的大小，并將不同情況做對比，得出以下結論：

(1) 油墨層的剛度和阻尼越大，在膠印機印刷過程中，墨輥在載荷作用下所產(chǎn)生的變形、應力和應變也越大；油墨層厚度也隨之增大。同時，在考慮油墨層和橡膠層的粘彈性的情況下建立了兩輥對滾的動力學模型，與仿真結果對照取得一致的結果。

(2) 隨著油墨層剛度的增加，油墨層的受壓變形量逐漸減小，導致墨輥受到載荷所產(chǎn)生的變形、應力和應變呈現(xiàn)出先增大后趨于平穩(wěn)的趨勢。

(3) 在給定的印刷條件下，計算結果表明油墨等效剛度的變化范圍比等效阻尼更大，因此油墨剛度引起的軟質墨輥變形、應力和應變比油墨阻尼產(chǎn)生的影響更大。