汪文琪 李宗春 程志峰 張冠宇

(1 中國人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學地理空間信息學院鄭州450052)

(2 中國電子科技集團第五十四研究所石家莊050081)

1 引言

隨著近代電磁學和無線電技術(shù)的發(fā)展, 反射面天線作為通信、廣播、雷達、制導和射電天文等領(lǐng)域的關(guān)鍵設備得到了廣泛的應用[1].天線反射面種類繁多, 本文主要關(guān)注旋轉(zhuǎn)拋物面天線.標準拋物面天線由拋物線繞焦軸旋轉(zhuǎn)而成, 設計原理簡單, 但標準拋物面天線對口徑的均勻照射與邊緣的能量漏溢存在矛盾, 限制了天線效率的提高, 由此通過修改反射面形狀提升天線效率的賦形反射面天線應運而生[2].天線的面型精度是衡量、評價天線質(zhì)量的重要指標, 它不僅直接影響天線的口面效率, 決定天線可工作的最短波長, 還影響天線方向圖的主瓣寬度和旁瓣結(jié)構(gòu)[3].旋轉(zhuǎn)拋物面天線解析方程通過母線的旋轉(zhuǎn)得到, 是評價反射面面型精度的基礎.在處理反射面測量數(shù)據(jù)、評價面型精度中, 文獻[3–4]對于旋轉(zhuǎn)拋物面天線測量數(shù)據(jù)處理和面型精度評價的方法有較為詳細的介紹; 另外, 文獻[5]分別對比了以軸向偏差、徑向偏差、法向偏差和焦距偏差為最小量的4種擬合原則下反射面的擬合情況; 文獻[6–7]則以半光程差為最小量對反射面進行擬合.天線的理論設計反射面利用母線設計方程表示, 通過實際反射面與設計反射面的比對可以分析反射面的變形情況, 進而調(diào)整反射面的形狀和位置實現(xiàn)對變形的補償, 主反射面調(diào)整一般用于含有主動面系統(tǒng)的大型天線, 如國內(nèi)的中國科學院上海天文臺65 m射電望遠鏡[8–9], 國外的GBT (Green Bank Telescope)望遠鏡[10]、LMT (Large Millimeter Telescope)望遠鏡[11]和SRT (Sardinia Radio Telescope)望遠鏡[12]等; 另一方面, 通過調(diào)整副反射面或饋源位置對變形進行補償更適用于一般的天線, 文獻[13–15]給出了一種通過調(diào)整副面位置實時補償賦形卡式天線主面變形的方法; 文獻[16]通過擬合的方法調(diào)整饋源的位置和指向?qū)崿F(xiàn)補償.由此可見, 獲取旋轉(zhuǎn)拋物面天線解析方程在處理反射面相關(guān)問題時十分必要.

標準拋物面天線的解析方程直接由母線的方程旋轉(zhuǎn)得到, 而對于賦形反射面天線來說, 其理論數(shù)學模型復雜, 通常用一組離散點表示[17].為了實現(xiàn)賦形反射面測量數(shù)據(jù)的處理和面型精度的評定, 需要對母線離散點數(shù)據(jù)進行擬合.目前, 針對賦形反射面母線離散點數(shù)據(jù)擬合常用的方法主要有兩種: 一種是直接利用多項式對離散點數(shù)據(jù)進行整體擬合, 如文獻[18]中利用19階多項式對口徑13 m以內(nèi)的天線母線數(shù)據(jù)進行了擬合, 這種方法不需要考慮離散點數(shù)據(jù)的特點, 擬合思路簡單直接, 對于擬合點來說能夠達到較高精度, 但多項式階數(shù)較高, 擬合計算工作量大, 而且利用高階多項式擬合曲線容易振蕩,導致擬合結(jié)果在邊緣處不穩(wěn)定; 另一種是通過等間隔分段的方式利用低階多項式對母線數(shù)據(jù)進行擬合, 文獻[13–16]均采用了這種方法, 等間隔分段擬合在一定程度上可以降低高階多項式擬合的不穩(wěn)定性, 但這種分段方式具有一定的盲目性, 容易導致分段數(shù)過多,造成擬合參數(shù)量過大、母線擬合光滑性差的問題.

針對以上方法在賦形反射面母線擬合中存在的問題, 本文提出了一種基于母線擬合殘差分布的自適應分段擬合方法, 這種母線自適應分段擬合的方法包括兩步—初始整體擬合和分段擬合.初始整體擬合為分段擬合確定了殘差的分布情況, 依據(jù)母線擬合殘差分布的特點, 通過設置一定的閾值找出擬合殘差不同分布的節(jié)點; 分段擬合參照初始整體擬合的結(jié)果進行擬合, 利用節(jié)點劃分殘差的范圍, 以此為依據(jù)對母線離散點數(shù)據(jù)進行分段, 再分別采用低階多項式進行擬合.

2 傳統(tǒng)母線擬合方法

2.1 多項式整體擬合

賦形反射面母線通過離散點的坐標數(shù)據(jù)表示, 多項式整體擬合方法[18]直接利用多項式對離散點數(shù)據(jù)進行擬合以獲取母線的方程, 如(1)式所示:

式中, a0,a1,a2,··· ,an為多項式系數(shù), 也就是母線擬合參數(shù), n為多項式階數(shù).

擬合時, 首先利用母線設計時給出的m個離散點數(shù)據(jù)列出m個誤差方程, 如(2)式所示:

式中, (xi,yi)為母線離散點坐標, vi為yi的改正數(shù), 也就是殘差; 然后利用最小二乘原理即可求得母線參數(shù)a0,a1,a2,··· ,an.在擬合過程中, 按照由小到大的順序依次增大多項式的階數(shù), 直到多項式擬合的精度滿足母線擬合要求.為了使擬合結(jié)果達到精度要求, 所采用的多項式階數(shù)往往較高.

2.2 等間隔分段擬合

將表示理論母線的一組離散點數(shù)據(jù)進行分段, 分別用低階多項式對各段進行擬合[13–16], 以此來得到賦形反射面的母線方程.賦形反射面母線的離散點數(shù)據(jù)為m個, 共劃分k段, 令前k–1段的離散點個數(shù)相同.在擬合過程中應該保證相鄰分段函數(shù)的連續(xù)性,為此相鄰分段間應具有一個公共點, 在公共點處兩個函數(shù)的函數(shù)值相同.公共點處函數(shù)值相同相當于在利用最小二乘原理進行擬合時增加了限制條件, 對于這種含有限制條件的擬合, 本文采用具有約束條件的參數(shù)平差[19]予以實現(xiàn).按照這種劃分方法相當于每兩段之間增加了一個離散點, 則母線總的離散點個數(shù)增加k–1個, 前k–1段上每段包含離散點的數(shù)目為

式中, [·]表示按四舍五入取整.

第k段離散點數(shù)為mk=m+k ?1 ?mk?1(k ?1).利用分段方法對賦形反射面擬合時宜采用循環(huán)迭代的方式, 逐次增加分段數(shù)直至滿足母線擬合的精度要求.隨著分段數(shù)目的增加, 母線擬合的參數(shù)增多, 擬合處理過程中計算復雜程度也隨之提升.

3 自適應分段擬合

前文已經(jīng)提及, 傳統(tǒng)的兩種母線擬合方法均存在一定的不足之處.本文結(jié)合這兩種方法的特點, 在此基礎上提出了一種自適應分段擬合的方法.自適應分段擬合方法由初始整體擬合和分段擬合兩部分組成, 不同于等間隔分段中直接將母線數(shù)據(jù)按長度均勻分段的方法, 該方法先進行初始整體擬合, 然后參照初始整體擬合結(jié)果殘差的分布特點自適應地選擇分段的節(jié)點, 對母線離散點數(shù)據(jù)進行分段擬合.具體流程如下:

(1)選擇某一低階多項式對母線數(shù)據(jù)進行初始整體擬合, 由(2)式計算各擬合點的vi,并取其絕對值|vi|.

(2)設置一定的閾值t, 當|vi| t時將該點標記為0, 否則標記為1, 如下所示, 由此得到擬合殘差絕對值的0–1分布:

(3)根據(jù)擬合殘差的0-1分布狀態(tài)對母線數(shù)據(jù)進行分段, 將殘差相同的區(qū)域分為一段,如圖1所示, 圖1 (a)中l(wèi)1部分全為0, l2部分全為1, 由此可將母線數(shù)據(jù)分為2段, 同理圖1(b)中數(shù)據(jù)可分為3段; 同時, 設定分段最低要求點數(shù)為d, 當段中離散點個數(shù)小于d時, 不滿足分段最低點數(shù)要求, 將此段數(shù)據(jù)與相鄰兩段數(shù)據(jù)合并成一段.不滿足分段最低點數(shù)要求的情況只有兩種, 分別如圖2 (a)和圖2 (b)所示, 圖2 (a)和圖2 (b)中的l2段離散點個數(shù)小于d, 在擬合過程中直接將l2段與相鄰兩段數(shù)據(jù)合為一段.

圖1 母線擬合殘差0–1分布狀態(tài)Fig.1 The 0–1 residual error distribution of generatrix fitting

圖2 母線擬合殘差0–1分布的特殊情況Fig.2 The special case of 0–1 residual error distribution of generatrix fitting

(4)采用低階多項式分段對母線數(shù)據(jù)進行擬合, 相鄰兩段之間采用公共點連接, 即在公共點處相鄰兩段母線擬合函數(shù)的函數(shù)值相同, 以確保母線擬合結(jié)果的連續(xù)性.

4 實例計算

母線擬合結(jié)果一般以最大逼近誤差(Maximum Approximate Error, MAE)作為評價標準, MAE即為擬合結(jié)果中殘差絕對值的最大值.工程測量中通常采用可忽略不計原則[20], 即當一種誤差等于或小于另一種誤差的1/3時, 這一誤差對總限差的影響可忽略不計.根據(jù)天線反射面的實際測量精度和工藝水平, 本算例設定測量誤差σ =0.050 mm,取MAE為σ/3=0.016 mm, 以此作為母線擬合結(jié)果的限定條件.

4.1 3種方法擬合結(jié)果

本文以某13 m賦形反射面天線母線數(shù)據(jù)為例對3種方法的擬合結(jié)果進行檢驗, 該母線數(shù)據(jù)由765個離散點組成.由于離散點坐標范圍變化較大, 為了防止擬合過程中求解法方程病態(tài), 可以先將坐標數(shù)據(jù)進行標準化處理, 常見的標準化方法有Min-Max標準化、Z-score標準化和小數(shù)定標標準化等.本文選擇Z-score標準化方法[21]分別將離散點x坐標和y坐標標準化, 標準化公式如下

將母線坐標數(shù)據(jù)按照(4)式標準化之后, 對標準化數(shù)據(jù)進行擬合, 最后再把擬合結(jié)果轉(zhuǎn)換回原始數(shù)據(jù).

4.1.1 多項式整體擬合結(jié)果

直接利用多項式對母線數(shù)據(jù)進行整體擬合, 逐次增加多項式的階數(shù), 直到母線擬合結(jié)果滿足限定條件.在多項式從低階到高階變化過程中, 分別統(tǒng)計出不同階次多項式擬合結(jié)果的MAE和擬合殘差的均方根值(Root Mean Square, RMS), 其中均方根公式為

擬合結(jié)果見表1, 從中可以看出, 母線擬合的RMS隨多項式階數(shù)的增加逐漸減小, 這表明對于離散點數(shù)據(jù), 高階多項式擬合的整體效果優(yōu)于低階多項式; MAE隨多項式階數(shù)的增加沒有單調(diào)下降, 而是略有波動, 但總體呈現(xiàn)出減小的趨勢, 并在階數(shù)達到13階時滿足母線擬合的限定條件.

表1 不同階次多項式擬合結(jié)果Table 1 Fitting results of polynomials with different orders

4.1.2 等間隔分段擬合結(jié)果

按照等間隔的方式對母線離散點數(shù)據(jù)進行分段, 每段均采用3階多項式進行擬合.統(tǒng)計出不同分段下母線擬合結(jié)果的MAE和RMS, 結(jié)果如表2所示.從中可以看出, 隨著分段數(shù)的增加, 母線擬合的RMS逐漸減小, 說明分段越多, 母線擬合的整體效果越好;MAE與不同階次多項式擬合結(jié)果類似, 局部略有波動, 總體呈現(xiàn)出下降的趨勢, 并在分段數(shù)為7段時達到了母線擬合的精度要求.

表2 等間隔分段擬合結(jié)果Table 2 The result of equal-interval piecewise fitting

4.1.3 自適應分段擬合結(jié)果

按照自適應分段擬合的方法逐步進行:

(1)選擇3階多項式對母線數(shù)據(jù)進行初始整體擬合, 計算出各點擬合殘差的絕對值,結(jié)果如圖3所示.

(2)母線擬合MAE的限定值為0.016 mm, 可將閾值設置為MAE限定值的1/n, 使得擬合方法能夠根據(jù)限定條件自動設置閾值.因此t = 0.0053 mm, 由此得到的擬合殘差0–1分布結(jié)果如圖4所示.

(3)當段內(nèi)點數(shù)過少時不適合單獨進行擬合, 需要確定母線分段最低要求點數(shù)d.取一定比例s的母線長度作為單位母線長, 因為母線離散點分布均勻, 所以單位母線長所對應的離散點數(shù)即為分段最低要求點數(shù)d, 同時, 確定了單位母線長也意味著確定了母線所能分段的最大數(shù)目(母線長/單位母線長).為了方便不同口徑反射面天線的選取, s取值設置成一定的范圍1%–5%, 口徑越大的天線對應的s越小, 這樣所允許的母線最大分段數(shù)也越多, 符合現(xiàn)實情況.結(jié)合文獻[22]中對反射面天線大中小型的分類, 表3分別列出了各類天線所對應的比例s.

圖3 初始整體擬合殘差絕對值Fig.3 The absolute value of initial overall fitting residual error

圖4 初始整體擬合殘差0–1分布Fig.4 The 0–1 distribution of initial overall fitting residual error

從表3中可以看出, 本例中的天線所對應的s為4%, 則d = 765s = 30.6, 將d取為30.對于圖4中擬合殘差的分布, l3段和l5段中離散點個數(shù)均小于d, 將這兩段數(shù)據(jù)與相鄰段合并處理, 合并之后的殘差分布如圖5所示.其中, 658號點是殘差分布變化的節(jié)點, 由此可將母線數(shù)據(jù)分為兩段, 前658個點作為第1段, 后107個點作為第2段, 其中, 658號點作為兩段的公共點.

表3 不同口徑天線對應的比例sTable 3 The ratio s of antennas with different apertures

圖5 合并后殘差的0–1分布Fig.5 The 0–1 distribution of residual error after mergence

(4)分別采用3階多項式對兩段數(shù)據(jù)進行擬合, 計算出擬合結(jié)果的MAE和RMS.

經(jīng)過上述流程的擬合計算, 母線數(shù)據(jù)總體分段數(shù)為2段, 擬合結(jié)果的MAE為0.014 mm, 滿足擬合精度要求, 具體結(jié)果見表4.

表4 自適應分段擬合結(jié)果Table 4 The result of adaptive piecewise fitting

4.1.4 結(jié)果分析

3種方法擬合得到的參數(shù)數(shù)目如表5所示, 從中可以看出, 在滿足母線擬合同一精度要求的情況下, 3種方法中本文提出的自適應分段擬合方法所用到的參數(shù)最少, 僅用到了8個, 簡化了母線的表達形式, 方便了后續(xù)計算.另外, 自適應分段擬合第1段中包含了658個離散點, 而與之范圍相近的離散點數(shù)據(jù)利用等間隔分段擬合方法卻分了6段進行擬合, 大大增加了擬合參數(shù)的數(shù)目, 由此可以看出等間隔分段擬合方法的盲目性; 同時,在擬合過程中只保證了擬合曲線的連續(xù)性, 各連接點左右兩側(cè)導數(shù)并不相同, 這會影響到擬合結(jié)果的光滑性; 隨著分段數(shù)的增加, 連接點數(shù)目增多, 母線擬合結(jié)果的整體光滑性逐漸變差.

3種方法的母線擬合結(jié)果如圖6所示, 兩端點中間的母線部分3者相近, 基本重合; 在擬合邊界部分, 多項式整體擬合曲線的斜率有一個明顯增大的趨勢, 反映了高階多項式擬合的不穩(wěn)定性, 這會給后續(xù)的天線反射面擬合帶來不利的影響.

綜合以上內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn), 母線擬合的3種方法各有特點:

(1)多項式整體擬合的方法, 擬合過程簡單直接, 但往往導致擬合多項式階次過高、計算量大, 且高階多項式在邊緣處擬合結(jié)果不穩(wěn)定;

(2)等間隔分段擬合, 擬合多項式采用低階次多項式, 計算簡單但分段不合理, 循環(huán)次數(shù)多, 導致擬合結(jié)果分段數(shù)較多、擬合參數(shù)量大, 而且較多的分段會造成擬合曲線不光滑的現(xiàn)象;

(3)自適應分段擬合的方法兼顧了2者的優(yōu)點, 初始整體擬合確定殘差的分布, 分段擬合參照殘差的特點進行分段, 分段合理、操作簡便, 能夠以較少的參數(shù)滿足母線擬合的要求.

表5 不同方法擬合參數(shù)的數(shù)目Table 5 The number of fitting parameters in different methods

圖6 3種方法的母線擬合結(jié)果Fig.6 Generatrix fitting results of three methods

4.2 方法擴展

為了進一步提升自適應分段擬合方法的擬合效果, 本文繼續(xù)在多項式階次和公共點限制條件兩個方面進行探究.

4.2.1 擬合多項式的選擇

4.1.3節(jié)中利用了3階多項式對母線數(shù)據(jù)進行了分段擬合, 為了進一步驗證多項式階次不同對母線擬合結(jié)果的影響, 這里采用了2階、4階和5階多項式對母線離散點數(shù)據(jù)進行擬合, 擬合結(jié)果見表6.從中可以看出, 隨著多項式階數(shù)的增加, 自適應分段擬合效果有了明顯的提升; 但當擬合精度達到一定程度之后, 再增加多項式的階數(shù)沒有明顯的意義, 這一點可以從4階多項式和5階多項式擬合結(jié)果的對比中看出.因此, 在符合母線擬合精度的條件下, 擬合多項式宜選擇低階次; 當擬合結(jié)果不能滿足母線擬合要求時, 適當增加多項式階數(shù)可以改善擬合的結(jié)果.

表6 不同階次多項式母線擬合結(jié)果Table 6 Generatrix fitting results of polynomials with different orders

4.2.2 公共點限制條件

4.1.3節(jié)中為了保證母線擬合的連續(xù)性, 相鄰兩段母線數(shù)據(jù)中采用了公共點進行連接.相鄰兩段母線擬合函數(shù)在公共點處的函數(shù)值相同確保了母線擬合的連續(xù)性, 但公共點處的光滑性沒能得到保證.母線擬合的光滑性與公共點兩端的導數(shù)有關(guān), 兩端相等導數(shù)的階次越高, 母線擬合結(jié)果越光滑.因此, 本文以4次多項式擬合為例, 逐次增加公共點處導數(shù)相等的限制條件.

其中, ①條件表示公共點(xc,yc)處左右兩端擬合函數(shù)的函數(shù)值相同, ②③④條件分別表示公共點處左右兩側(cè)的1階導數(shù)、2階導數(shù)和3階導數(shù)相同.

表7為不同階次多項式母線擬合結(jié)果.從表7中可以看出, 隨著公共點處限制條件的增加, 擬合得到的MAE和RMS增大, 說明擬合精度變差.分析其原因, 公共點處限制條件越多, 相鄰兩段之間的聯(lián)系越為密切, 不利于各自分段的擬合, 從而導致擬合精度的下降.因此, 可以在保證滿足精度要求的前提下, 適當增加公共點處的限制條件, 以提升母線擬合結(jié)果的光滑性.

表7 不同公共點限制條件的擬合結(jié)果Table 7 Fitting results of constraint conditions with different common points

5 總結(jié)

賦形反射面母線傳統(tǒng)擬合方法存在不足之處: 多項式整體擬合的方法階次高、計算量大, 擬合結(jié)果不穩(wěn)定; 等間隔分段擬合方法分段不合理、分段數(shù)過多, 導致擬合參數(shù)多、擬合曲線不光滑.本文提出的自適應分段擬合方法, 以初始整體擬合結(jié)果的殘差分布為基礎進行分段, 分段方式合理, 采用低階多項式逐段進行擬合, 計算簡單, 能夠以較少的參數(shù)滿足母線擬合的要求, 方便了后續(xù)面型精度的評價.相比于其他方法, 本文方法更適合于賦形反射面天線母線的擬合.同時, 在滿足擬合精度的基礎上, 選擇恰當?shù)臄M合多項式、增加公共點限制條件, 可以進一步提升母線擬合結(jié)果的質(zhì)量.