蘭瑋琦，姚激，黃坤

(昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

曲線箱梁因占地面積小、抗扭剛度大、自重輕等優(yōu)點(diǎn)，在城市橋梁建設(shè)中被廣泛應(yīng)用。但是箱型截面的應(yīng)力分布相比實(shí)心截面的更復(fù)雜，特別是剪力滯效應(yīng)。曲線梁橋中，由于曲率的影響，曲線簡支梁橋會(huì)受到彎曲、扭轉(zhuǎn)、剪力滯及剪切耦合作用，相比于直線梁橋的受力更加復(fù)雜。許多學(xué)者對(duì)曲線箱梁的動(dòng)力分析進(jìn)行了大量的研究[1?3]，研究結(jié)果表明：剪力滯效應(yīng)在箱型梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析中，會(huì)產(chǎn)生較大影響。

Reissner[4]首次使用能量變分法，建立了閉合矩形箱梁的剪力滯效應(yīng)微分方程。Chen[5]等人利用能量變分法，推導(dǎo)出簡支波紋鋼腹板和桁架組合箱梁橋的剪力滯系數(shù)實(shí)用計(jì)算公式。Gyani[6]等人對(duì)復(fù)合材料懸臂箱梁的剪力滯效應(yīng)進(jìn)行分析，推導(dǎo)出懸臂梁的控制微分方程，并進(jìn)行了求解。潘旦光[7]等人基于模態(tài)攝動(dòng)法，將變高度箱梁剪力滯微分方程組轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進(jìn)行求解，簡化了部分復(fù)雜箱梁剪力滯系數(shù)的計(jì)算。藺鵬臻[8?9]等人分析了拋物線型縱向位移函數(shù)中產(chǎn)生的附加軸力，建立了截面應(yīng)力自平衡的縱向位移函數(shù)，對(duì)剪力滯效應(yīng)中翼緣板縱向位移函數(shù)的選取有重要參考價(jià)值。時(shí)元緒[10]等人將箱梁的翼緣板簡化為一定剛度彈簧連接的彈性體，結(jié)合變分原理，推導(dǎo)出不同的縱向位移函數(shù)，并帶入剪力滯效應(yīng)微分方程進(jìn)行求解，將其計(jì)算結(jié)算與實(shí)測值和有限元模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。盧海林[11]等人基于能量原理，推導(dǎo)出懸臂箱形梁的剪力滯系數(shù)計(jì)算公式，揭示了剪力滯效應(yīng)沿曲線箱梁全跨的分布規(guī)律。實(shí)際橋梁工程中，其動(dòng)力特性較為復(fù)雜，學(xué)者們進(jìn)行許多研究。蔡恒[3,11?12]等人考慮剪力滯效應(yīng)對(duì)自振頻率的影響，運(yùn)用能量變分法，推導(dǎo)出不同翼緣板縱向位移函數(shù)的微分方程，并利用伽遼金法進(jìn)行近似求解。陳玉驥[14?15]等人分別假設(shè)不同的翼緣板縱向位移函數(shù)，采用能量變分原理，推導(dǎo)出彎、扭、剪力滯效應(yīng)耦合作用下的幾何非線性控制方程。馬馳[16]等人結(jié)合能量變分原理，考慮剪力滯效應(yīng)和翼緣板不同材料的屬性，推導(dǎo)出箱梁的微分方程。但這些研究成果都沒有考慮到剪切變形的影響。而曲線箱梁在彎、扭耦合作用下出現(xiàn)破壞，是因?yàn)橄淞焊拱灞∪酰辜裟芰Σ蛔?。所以在結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析中，對(duì)剪切變形的考慮十分必要。針對(duì)腹板的剪切變形和剪力滯后雙重效應(yīng)作用下，結(jié)構(gòu)自振頻率的研究較少。因此，作者擬基于能量變分原理和哈密頓原理，推導(dǎo)出彎、扭、剪力滯效應(yīng)和剪切耦合作用下簡支曲線箱梁的自由振動(dòng)微分方程，并根據(jù)假設(shè)模態(tài)法對(duì)微分方程分離參數(shù)進(jìn)行近似求解。依據(jù)本研究推導(dǎo)公式，利用MATLAB 編程進(jìn)行求解，得到自振頻率，并將其與ANSYS 有限元模計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

1 振動(dòng)微分方程及邊界條件

1.1 基本假定

分析曲線箱梁自由振動(dòng)，需要進(jìn)行假定：①無阻尼影響，材料處于線彈性階段；②箱梁翼緣板不滿足平截面，箱梁腹板滿足平截面；③翼緣板縱向位移函數(shù)沿板寬按三次拋物線分布；④忽略翼緣板平面外的橫向應(yīng)變和剪應(yīng)變[8]。

簡易曲線箱梁截面示意圖如圖1 所示，坐標(biāo)軸采用曲線坐標(biāo)軸，x 軸為順橋向，y 軸指向圓心，z軸為豎向。所有參數(shù)取值與坐標(biāo)軸的方向箭頭指向一致為正，相反則為負(fù)。在圖1 中，h1、h2、h3、h4分別為頂板厚度、懸臂板厚度、底板厚度、腹板厚度；b1、b2、b3、b4分別為頂板寬度、懸臂板寬度、底板寬度、腹板高度。

圖1 曲線箱梁截面示意Fig.1 Section of curved box beam

假設(shè)翼板的縱向位移為：

其中，

式中：u(x)為翼緣板和腹板之間剪切轉(zhuǎn)角最大值；fi(y,z)為縱向位移分布函數(shù)；Zi為上下翼緣板距形心的距離。

式(1)中，當(dāng)i=1 時(shí)，為頂板的；i=2 時(shí)，為懸臂板的；i=3 時(shí)，為底板的；i=4 時(shí)，為腹板的。

在彎扭耦合作用下，箱梁的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

箱梁的切應(yīng)變?yōu)椋?/p>

1.2 箱梁的應(yīng)變能和動(dòng)能

頂板彎曲應(yīng)變能為：

式中：E 是彈性模量；G 是剪切模量。

同理可得，懸臂板彎曲應(yīng)變能：

底板彎曲應(yīng)變能為：

腹板彎曲應(yīng)變能為：

箱梁腹板的剪切應(yīng)變能為：

式中：A4為腹板面積；θ 為截面轉(zhuǎn)角。

自由扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為：

式中：It為橋梁抗扭慣性矩；

式中：Iw為橋梁扇形慣性矩；

整理可得，箱梁總應(yīng)變能為：

式中：Is為翼緣板慣性矩，Is1為翼緣板廣義慣性矩。

箱梁的動(dòng)能（僅考慮豎向振動(dòng)）為：

式中：m 為單位長度質(zhì)量，t 為時(shí)間。

外荷載所做的功為：

式中：P(w, t)為外荷載。

1.3 振動(dòng)微分方程及其邊界條件

由于自由振動(dòng)，無外荷載做功，可根據(jù)哈密頓原理得到：

式中：t1、t2為積分的起始時(shí)間和終止時(shí)間。

整理得到曲線箱梁的振動(dòng)微分方程為：

其中，

式中：I 為箱梁截面慣性矩，I=I1+I2+I3+I4。

2 自振頻率的計(jì)算

由于彎、扭、剪切及剪力滯效應(yīng)耦合的偏微分微分方程求解難，因此，利用假設(shè)模態(tài)法對(duì)其分離變量近似計(jì)算。假設(shè)曲線箱梁的位移場函數(shù)為：

式中：Wn為振動(dòng)角頻率；φ 為振動(dòng)的初相角；n 為振型階數(shù)；l 為跨徑；w0為豎向位移幅值；0φ 為扭轉(zhuǎn)角幅值；u0為剪切轉(zhuǎn)角幅值；θ0為轉(zhuǎn)角幅值。

將式（17）帶入式（15），化簡可得到：

式（18）是關(guān)于w0、u0、0φ 、θ0的齊次方程組，其有意義的條件是方程組有非零解，即系數(shù)行列式為零。其計(jì)算式為：

其中，

可以求出曲線箱梁的自振頻率為：

式中：μ1為剪滯效應(yīng)影響系數(shù)；μ2為剪切效應(yīng)影響系數(shù)。

其中，a1=l2/r2；a2=Iw/Il2；a3=GIt/EI；a4=Is/I；a5=GIs1/EI；a6=GA4/EI；D1=9 a24/16；D2=π2a2+a3+1；D3=π4a2+π2a3+a1；D4=9a4/14+9a5l2/5π2。

當(dāng)r→∞時(shí)，曲線箱梁自振頻率與文獻(xiàn)[17]相同。

當(dāng)μ1、μ2為0 時(shí)，即不考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形，箱梁的自振頻率與初等梁理論的簡支梁自振頻率相同為：

表明：考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形推導(dǎo)出的公式具有一定的通用性。

3 算例

采用簡支箱型截面梁為例，具體尺寸標(biāo)注如圖1 所示，幾何參數(shù)和材料參數(shù)為：彈性模量E 為3.5×1010Pa，泊松比為0.3，b1=2 m，b2=1.5 m，b3=2 m，b4=2 m，h1=0.3 m，h2=0.3 m，h3=0.3 m，h4=0.3 m，密度=2 500 kg/m3，截面面積A=4.59 m2。根據(jù)式(20)，利用MATLAB 計(jì)算的值與ANSYS 軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。模型如圖2 所示。在ANSYS 建模分析過程中，采用solid185 單元，自底向上的建模方式，邊界條件為簡支。其計(jì)算結(jié)果見表1。

圖2 ANSYS 模型Fig.2 The ANSYS model

表1 自振頻率計(jì)算結(jié)果表Table 1 Calculation result of natural frequency

由表1 可知，推導(dǎo)公式的求解值大于ANSYS有限元計(jì)算值。在振型階數(shù)為一階時(shí)，相對(duì)誤差較小，為4.182%；在振型階數(shù)為三階時(shí)，相對(duì)誤差較大，為22.167%。當(dāng)振型階數(shù)為一階和二階時(shí)，振型周期以平動(dòng)為主；當(dāng)振型階數(shù)為三階時(shí)，橫向振動(dòng)和箱梁畸變、翹曲變形對(duì)振型周期的參與系數(shù)變大。由于本研究只考慮了豎向彎曲振動(dòng)，未考慮對(duì)于橫向振動(dòng)、箱梁畸變和翹曲變形，導(dǎo)致推導(dǎo)公式所得結(jié)果與ANSYS 結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。表明：在振型階數(shù)為一階時(shí)，該方法得到曲線箱梁的自振頻率，精確度較高且有一定程度的實(shí)用性。

利用MATLAB 編制程序，分別計(jì)算跨徑30,35,40,45,50 m 和曲率半徑為50,100,150,200 m 時(shí)20 種工況曲線箱梁的自振頻率、剪滯效應(yīng)貢獻(xiàn)度及剪切變形貢獻(xiàn)度。

3.1 跨寬比

采用控制變量法，對(duì)同一曲率半徑的不同跨徑曲線箱梁的ANSYS 計(jì)算結(jié)果和推導(dǎo)公式解進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖3,4 所示。從圖3 可以看出，自振頻率隨著跨寬比的增大而降低。當(dāng)跨寬比為4.29 時(shí)，一階自振頻率為5.096 9 Hz；跨寬比為7.14 時(shí)，一階自振頻率為2.104 3 Hz。表明：跨寬比越大，橋梁結(jié)構(gòu)的相對(duì)剛度越低，柔度增加使得自振頻率降低。從圖4 可以看出，剪力滯效應(yīng)貢獻(xiàn)度隨著跨寬比的增大而增加，但剪切效應(yīng)貢獻(xiàn)度隨著跨寬比的增大而降低。當(dāng)跨寬比為4.29 時(shí)，剪力滯效應(yīng)貢獻(xiàn)度和剪切變形貢獻(xiàn)度分別為10.48%和13.62%；當(dāng)跨寬比為7.14 時(shí)，剪力滯效應(yīng)貢獻(xiàn)度和剪切變形貢獻(xiàn)度分別為22.42%和13.67%。表明：在跨寬比較小時(shí)，剪切變形對(duì)自振頻率的影響較大，使得曲線箱梁的相對(duì)剛度減小，剪力滯效應(yīng)對(duì)自振頻率的影響較小。但剪切變形貢獻(xiàn)度約為14%時(shí)，剪力滯效應(yīng)貢獻(xiàn)度隨著跨寬比的增大而大幅度上升。

圖3 跨寬比對(duì)自振頻率的影響Fig.3 The influence of span-width ratio on natural frequency

圖4 剪力滯效應(yīng)和剪切變形貢獻(xiàn)度Fig.4 The contribution of shear lag effect and shear deformation

3.2 曲率半徑

同一半徑3 種不同曲率的ANSYS 結(jié)果和推導(dǎo)公式解如圖5,6 所示。

圖5 曲率半徑對(duì)自振頻率的影響Fig.5 Influence of curvature radius on natural frequency

圖6 剪力滯效應(yīng)和剪切變形貢獻(xiàn)度Fig.6 Contribution of shear lag effect and shear deformation

從圖5 可以看出，自振頻率隨著曲率半徑的增大而增加，但是增加幅度不大。當(dāng)曲率半徑為50 m時(shí)，一階自振頻率為2.259 3 Hz；當(dāng)曲率半徑為200 m 時(shí)，一階自振頻率為3.175 4 Hz。從圖6 可以看出，曲率半徑越大，剪力滯效應(yīng)貢獻(xiàn)度減小，剪切變形效應(yīng)貢獻(xiàn)度小幅度減小，大約穩(wěn)定在14%。當(dāng)曲率半徑50～100 m 時(shí)，剪力滯效應(yīng)貢獻(xiàn)度急劇減小，從29.73%降至15.3%；當(dāng)曲率半徑100～200 m時(shí)，剪力滯效應(yīng)貢獻(xiàn)度從15.3%下降到9.5%。表明：曲線箱梁的剪切變形對(duì)剛度的影響，不完全取決于曲率半徑的變化。剪力滯效應(yīng)對(duì)剛度的影響，會(huì)因?yàn)榍拾霃降脑龃蠖鴾p小。因?yàn)榍拾霃降脑龃?，?huì)導(dǎo)致曲線箱梁的應(yīng)力分布接近于直線箱梁。此時(shí)，彎扭耦合作用程度的減小，引起剪力滯效應(yīng)不明顯，進(jìn)而使得剪力滯效應(yīng)對(duì)相對(duì)剛度的影響減弱，從而導(dǎo)致自振頻率有小幅度增加。

5 結(jié)論

通過對(duì)簡支曲線箱梁的自振特性分析，得到的結(jié)論為：

1) 在振型階數(shù)為一階時(shí)，推導(dǎo)公式的計(jì)算值與ANSYS 有限元的計(jì)算結(jié)果較為吻合。表明：該推導(dǎo)公式具有一定的通用性和準(zhǔn)確度。

2) 剪切變形對(duì)曲線箱梁自振頻率的影響隨著跨寬比的升高和曲率半徑的增加而減弱。但是剪切變形貢獻(xiàn)度變化幅度不大，大約為14%。

3) 剪力滯效應(yīng)對(duì)曲線箱梁自振頻率的影響隨著跨寬比的降低和曲率半徑的增大而減弱。但是曲率半徑在50～100 m 時(shí)，剪力滯效應(yīng)對(duì)自振頻率的影響急劇減小，剪力滯效應(yīng)貢獻(xiàn)度在15%～30%；曲率半徑在100～200 m 時(shí)，剪力滯效應(yīng)貢獻(xiàn)度在10%到15%。

4) 曲線箱梁的自振頻率，會(huì)隨著跨寬比的升高和曲率半徑的降低而降低，主要取決于跨寬比的影響。

本推導(dǎo)公式只考慮了豎向彎曲振動(dòng)，對(duì)于橫向振動(dòng)、箱梁畸變和翹曲變形的分析，有待進(jìn)一步地研究。