秦 進, 郝麗娜, 毛成輝, 徐 彥, 曾藝佳, 胡心磊

(1. 中南大學 交通運輸工程學院, 湖南 長沙 410075; 2. 中國國家鐵路集團有限公司, 北京 100844)

我國目前已擁有全世界最大規(guī)模的高速鐵路(以下簡稱高鐵)網(wǎng)絡，然而在高鐵快速發(fā)展并得到市場高度認可的同時，仍然存在部分線路客座率隨時間波動較大而導致運力不足或運力浪費的現(xiàn)象，高鐵最大化收益未能得到實現(xiàn)。另外，我國鐵路客運票價目前總體上仍實行政府指導定價原則，仍采用固定基準票價率和“遞遠遞減”的原則來確定高鐵票價。在市場經(jīng)濟環(huán)境下，固定票價方式很難適應市場的發(fā)展和動態(tài)的旅客需求，不能實現(xiàn)客流的引導和調(diào)節(jié)，自然也就難以實現(xiàn)收益的最大化。因此，研究在運力資源配置基本不變的前提下，制定科學合理的高鐵定價機制和靈活的票額分配體系，提高運力資源的利用率，已經(jīng)成為我國高鐵未來發(fā)展中亟待解決的關鍵問題。

收益管理理論的思想是“在合適的時間，將合適的產(chǎn)品，以合適的價格賣給合適的人”，從而實現(xiàn)系統(tǒng)收益最大化。動態(tài)定價作為實施收益管理的重要手段，能夠起到引導和調(diào)節(jié)需求的作用。該理論早已廣泛應用于航空、酒店、汽車租賃等行業(yè)，均取得顯著效果。如果能在高鐵售票過程中根據(jù)時變的需求動態(tài)地調(diào)節(jié)客票價格，以實現(xiàn)“合適的價格”適應客運市場變化，調(diào)節(jié)運力資源與需求之間的匹配關系，就能夠達到提高運力資源利用率和高鐵收益的目的。

交通運輸動態(tài)定價問題早已得到國內(nèi)外學者的關注。文獻[1]發(fā)現(xiàn)當折扣票的收益不小于將來發(fā)售全價票的期望收益時，在當前出售該折扣票可以獲取最大收益。文獻[2]根據(jù)邊際收益和枚舉法的原理，運用收益管理的思想分析了航班定價問題。文獻[3]在假設顧客到達服從泊松分布的基礎上研究動態(tài)定價問題。文獻[4]假設需求是票價的線性函數(shù)，再基于最優(yōu)控制理論，研究收益管理系統(tǒng)中的動態(tài)定價問題。文獻[5]利用馬氏過程描述鐵路動態(tài)票價問題，根據(jù)動態(tài)規(guī)劃最優(yōu)化原理，探索最優(yōu)策略下的動態(tài)定價遞推公式。文獻[6]考慮票價對客流的影響規(guī)律，據(jù)此建立了高鐵定價與航空定價的博弈模型。文獻[7]應用最大凹向包絡理論，對建立的馬爾科夫模型進行仿真，分析潛在客票需求量與運營部門收益之間的關系，進行高速鐵路動態(tài)定價。

文獻[8]指出，由于鐵路運輸?shù)奶厥庑?，在進行高鐵動態(tài)定價的同時，必須考慮高鐵票額分配問題。文獻[9]研究了兩級票價體制下單列車的席位控制問題。文獻[10]對印度旅客列車的客票超售問題進行分析。文獻[11]研究了考慮旅客選擇行為的票額分配方法。文獻[12]利用超分方程求解多時段下多列車的高鐵最優(yōu)票價與票額分配的聯(lián)合優(yōu)化方案，文獻[13]研究了在某一時段內(nèi)多列車多停站方案下的票額分配方法。但是，既有的對高鐵票額的研究中，通常不考慮價格對需求的影響，忽視票價對需求的調(diào)節(jié)引導作用。

綜上所述，高鐵動態(tài)定價方面的研究才剛剛起步，目前仍處于理論探索階段，且一般將其與票額分配分開研究。然而在實際中，動態(tài)定價與票額分配是相互關聯(lián)相互影響的兩個方面。本文針對需求的不確定性及目前票額分配不能滿足需求波動的問題，以客票收益最大化為目標，基于收益管理思想，同時考慮高鐵旅客的彈性需求特征，構(gòu)建高鐵動態(tài)定價和票額分配的聯(lián)合優(yōu)化模型。

1 變量定義與假設

將高鐵客票預售期劃分為K個時段，考慮客流隨票價變化而發(fā)生彈性變化，本文的研究目標就是為每個OD在相應的售票時段內(nèi)制定票價，并分配相應的票額，使總收益最大。

為簡化問題，不考慮高鐵售票過程中的退票和改簽等情況。

變量及其含義見表1。

2 模型構(gòu)建

由于高鐵要兼顧社會效益，政府將設定票價上限，即公布的價格。高鐵定價規(guī)則是在公布票價的基礎上進行打折以獲得執(zhí)行價格，折扣是中間變量。公布的價格是已知的，代表了列車之間的最高價格。

事先給定可選折扣集α={α1，α2，…，αn}，其中n為可選折扣的數(shù)目，不失一般性，假定：αmin≤α1<α2<…<αn≤1。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

表1 變量定義

在充分競爭的客運市場中，客流需求對價格特別敏感。當運輸產(chǎn)品或服務的價格變動時，市場對該產(chǎn)品或服務的需求也會發(fā)生變動，所以，考慮旅客出行需求為彈性需求。OD對(r,s)的全部高鐵列車共同的彈性需求函數(shù)為[14]

(7)

采用Logit分配法得到(r,s)間列車h在售票時段k的客流分攤率為

(8)

(9)

1≤k≤K(r,s)∈Wh∈H

(10)

在第k售票時段，列車h在(r,s)的客票期望收益為

1≤k≤K(r,s)∈Wh∈H

(11)

1≤j

(12)

在既有固定的運輸能力下，需求不確定條件下的高速鐵路票價與票額聯(lián)合優(yōu)化模型為

(13)

1≤j

(14)

1≤i

(15)

1≤i

(16)

(17)

式(13)為高鐵總收益最大化目標函數(shù)。式(14)表示各列車分配的票額不能超過列車能力的約束。式(15)表示票價上下限約束。式(16)是對列車h是否能在(r,s)提供客運服務進行判斷。式(17)表示票額的非負整數(shù)約束。

3 求解算法

為了簡化目標函數(shù)并簡化后續(xù)求解，先將前面所構(gòu)建的聯(lián)合優(yōu)化模型，合理轉(zhuǎn)換為等效模型(Ⅰ)

(18)

1≤j

(19)

1≤i

(20)

1≤i

(21)

1≤i

(22)

1≤i

(23)

上述聯(lián)合優(yōu)化模型需要同時優(yōu)化票價和票額兩個變量，考慮到人工蜂群算法(Artificial Bee Colony，ABC)擅長解決多變量優(yōu)化問題，且已經(jīng)證明求解相關問題的效率較高[14]。因此這里將選擇基于ABC算法進行模型求解。

人工蜂群算法由Karaboga在2005年提出[15]，該算法參數(shù)較少，同時在計算過程中能高效的跳出局部最優(yōu)解，從而能夠很好的降低算法對群規(guī)模和初始解的依賴性。

(24)

采蜜蜂和觀察蜂進行鄰域搜索尋找各時段新票價組合的過程為

(25)

通過采蜜蜂和觀察蜂進行鄰域搜索后產(chǎn)生的新的票價組合為候選蜜源，并計算各候選蜜源的花蜜量，然后與原蜜源的花蜜量比較，基于貪婪原則選擇花蜜量相對更高的蜜源。一個蜜源被觀察蜂選擇的概率Pδ為

(26)

如果采蜜蜂和觀察蜂在同一蜜源連續(xù)停留的次數(shù)超過蜜源停留最大限制搜索次數(shù)Limit，仍未找到更高適應度的蜜源，則放棄該蜜源，生成偵查蜂隨機搜索生成新的折扣組合，并對應產(chǎn)生新蜜源。

算法具體步驟如下：

Step1選定優(yōu)化線路，根據(jù)該線路歷史售票數(shù)據(jù)，獲取該線路開行方案、各OD客流量等信息，給定該線路各OD在各售票時段的初始票額。

Step2設置初始參數(shù)：NSN、NBN、Llimit、最大迭代次數(shù)omax、迭代次數(shù)Niteration=0和每個蜜源連續(xù)停留次數(shù)Ntrial=0。

Step3隨機生成NSN個初始折扣組合，計算出相應的初始蜜源和對應的花蜜量。

Step4每個采蜜蜂根據(jù)式(25)尋找新蜜源，并計算出各新蜜源對應花蜜量，根據(jù)貪婪準則保留蜜源，并記錄Ntrial的值。

Step5每個觀察蜂根據(jù)式(26)選擇蜜源，并式(25)尋找新蜜源，并計算出各新蜜源對應的花蜜量，按照貪婪準則保留蜜源，記錄Ntrial的值。

Step6若某一蜜源對應的Ntrial值超過Llimit，則放棄該蜜源且對應的采蜜蜂變?yōu)閭刹榉?，隨機生成新的折扣組合，通過式(1)計算選擇新蜜源。

Step7記錄當前所有蜜源對應的花蜜量，更新迭代次數(shù)Niteration=Niteration+1，如果Niteration>omax，算法終止，轉(zhuǎn)Step8，否則，返回Step4。

Step8根據(jù)當前最大的花蜜量及其對應的蜜源，輸出與之對應的票價和票額分配的組合方案即為所求。

4 算例分析

4.1 基礎數(shù)據(jù)

以京滬高鐵上北京南開往上海虹橋的G21、G11、G7、G34列車在2017年6月5日—11日的客票收入為案例進行實證分析。路網(wǎng)見圖1。

圖1 案例路網(wǎng)示意圖

將預售時間定為開車前30 d，將售票時段分為開車前11 d至30 d(k=1)、開車前10 d至前3 d(k=2)、開車前2 d至前1 d(k=3)、開車當天(k=4)4個時段[14]?？紤]單一席別類型(二等座)，設列車總定員為1 066人。以公布票價為最高票價，公布票價的0.58為最低票價[8]，現(xiàn)行票價為公布票價的0.83。將票價折扣集α定為：{0.58,0.61, 0.64,0.67,0.70,0.73,0.76,0.79,0.82,0.85,0.88,0.91,0.94,0.97,1.00}。

根據(jù)文獻[11]，確定vhrs=36，θ=0.012 ，NSN=20，omax=500，Llimit=20。參數(shù)η的取值與購票旅客對于票價變動的敏感程度有關[16]，算例中研究對象為京滬高鐵，考慮到沿線城市經(jīng)濟較為發(fā)達，旅客對于票價變動的敏感性較低，因此η的取值應小于1，結(jié)合實際情況，確定η取值為0.8。

4.2 結(jié)果分析

運用Python語言編程對所建模型進行求解，得出四趟車總收益為2 213 077元，較原固定票價下總收益2 122 355.5元增加4.28%。表2給出了最大收益在4個售票時段對應的票價組合。以G7為例，圖2給出該列車各OD在固定票價和動態(tài)票價下在各售票時段的售票量對比情況。表3給出了各列車部分OD在固定票價和動態(tài)票價下的總客流量對比情況，圖3給出了各列車各區(qū)段在固定票價和動態(tài)定價下的客座率對比情況(圖表中A—G分別表示北京南、天津南、濟南西、曲阜東、徐州東、南京南、蘇州北，I表示上海虹橋)。將現(xiàn)有固定票價和票額分配下的方案作為對比的初始方案Ⅰ，將只優(yōu)化票價的方案作為對比的方案Ⅱ，本文提出的方案為既有方案Ⅲ，表4給出不同方案下的客票收益結(jié)果。

表2 各售票時段票價

模型能根據(jù)不同售票時段的客流需求特點并結(jié)合旅客需求隨票價波動產(chǎn)生的彈性變化在各售票時段為每個OD制定最優(yōu)的客票價格。由表2可知，4趟車各OD在各售票時段的高鐵客票以波動上行的票價售出。這符合收益管理的思想，收益管理的核心思想是“在合適的時間，將合適的產(chǎn)品，以合適的價格賣給合適的人”。在售票初期旅客對票價的敏感度較高，需求彈性較大，此時通過打折的方式將客票以較低的價格售出可以吸引更多的旅客購票，以提升收益。而越是臨近發(fā)車時刻購票的旅客，其票價的敏感度就越低，即其需求彈性就越小，也就意味著其可承受相對更高的票價，故在售票后期以較高的票價將客票售出，同樣能達到提升收益的作用。

圖2 兩種方案下G7各OD在各時段售票量對比情況

通過對不同售票時段內(nèi)的客票價格進行動態(tài)調(diào)整，會使得各OD的客運需求發(fā)生彈性變化，從而使得各OD不同售票時段分配的票額也隨之變化。如圖2所示，以G7為例可知，在售票初期(如k=1)各OD分配的票額比售票后期(如k=4)分得的票額少，這是因為根據(jù)收益管理的思想，將車票更多的分配給后期愿意花更高價格購買的旅客，可以幫助企業(yè)獲得更多的客票收益。同樣，可以看到在售票初期，由于票價打折，會吸引更多的人來購票(即在售票初期，動態(tài)票價的政策會吸引更多的人前來購票)。在單一固定票價下，旅客的購票需求多會受限于相應OD上分配的票額數(shù)，但是動態(tài)票價環(huán)境下，通過票價的單調(diào)動態(tài)變化，可以實現(xiàn)主動調(diào)節(jié)客流的目的。旅客有更多的票價選擇，可以根據(jù)自己的需求在合適的售票時段選擇購買合適的票價進行出行。同時，可以看到，本文提出的方案能夠優(yōu)先滿足長途旅客的出行需求(如AI：北京南—上海虹橋)，這同樣能達到增加收益的效果。

通過表3和圖3可知，實行動態(tài)定價后，各車各OD區(qū)段的客流和區(qū)段客座率有升有降，且對于席位能力的利用率較高。通過計算可知，在票價優(yōu)化前后，4趟列車的總客流量沒有發(fā)生太大的變化，但調(diào)價后的方案卻獲得了更大的收益，說明并不是客票賣得越多收益就會越高，而是將客票賣給更愿意支付高價的旅客獲得收益會更大。

表3 部分OD總客流量

圖3 各列車各區(qū)段客座率

表4 不同方案下的客票收益

由表4可知，進行動態(tài)定價和票額分配的聯(lián)合優(yōu)化模型比只考慮單一優(yōu)化的效果更好，能更大程度上地增加收益。

5 結(jié)論

本文提出了一種可以同時優(yōu)化高鐵票價與票額的創(chuàng)新模型，即在每個售票期間為每列車的每個OD確定最佳的票價和票額。首先根據(jù)歷史客票數(shù)據(jù)分析旅客的購票行為，并相應地劃分預售期。接下來，確定影響旅客選擇行為的關鍵因素，并構(gòu)建隨票價變化的彈性需求函數(shù)。然后，用Logit模型模擬旅客在列車中的選擇行為。之后，建立了高鐵票價和票額的聯(lián)合優(yōu)化模型，同時將其轉(zhuǎn)化為易于求解的等價模型，并根據(jù)模型的特點設計了一種啟發(fā)式算法對其進行求解。最后，用數(shù)值實驗來驗證所提出的模型和求解算法的可行性和有效性。主要結(jié)論如下：

(1)與現(xiàn)有的票價和票額方法相比，本文提出的聯(lián)合優(yōu)化方法考慮了受票價影響的彈性客流，可以通過制定動態(tài)票價來響應旅客的購買模式，從而積極引導和調(diào)節(jié)客流，同時使旅客對高鐵出行更滿意，更有利于高鐵的長遠發(fā)展。

(2)經(jīng)過數(shù)值驗證，發(fā)現(xiàn)與單一的價格優(yōu)化模型相比，本文提出的聯(lián)合優(yōu)化模型能產(chǎn)生更大的收益。這有助于為鐵路運營部門提供科學合理的決策建議，形成更加靈活的票價機制和科學的座位分配制度。這將有助于高鐵在未來提供更高質(zhì)量和更豐富的客運服務，實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展。

本文為鐵路運營部門合理制定動態(tài)票價增加收入提供了新思路，為鐵路可持續(xù)運營提供了科學依據(jù)。但是，本文是在不考慮旅客的退票和改簽行為的假設下進行的?，F(xiàn)實生活中的情況可能更復雜，這是未來研究的方向。