王宏軍

（山西醫(yī)科大學(xué)汾陽(yáng)學(xué)院 山西省汾陽(yáng)市 032200）

在計(jì)算梯形明渠特征水深時(shí)，其均為隱函數(shù)的一元高次方程，并沒(méi)有進(jìn)行較為直接的解析，求解工作可以通過(guò)試算法或者圖解法進(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算上采取試算法十分麻煩，在對(duì)曲線進(jìn)行查詢時(shí)也極易出現(xiàn)誤差，對(duì)精度產(chǎn)生影響[1]。現(xiàn)報(bào)道如下：

1 梯形明渠水力計(jì)算的基本方程

1.1 梯形明渠均勻流水深的函數(shù)表達(dá)式

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)顯示，明渠均勻流流量的基本方程主要為：

過(guò)水面積：A=（b+mh）h

將上述各要素帶入（1）式中可得，

在計(jì)算梯形明渠正常水深時(shí)，已知參數(shù)包括粗糙系數(shù)n、邊坡系數(shù)m、底坡i、底寬b、設(shè)計(jì)流量Q，求水深h。

由此可見(jiàn)，在計(jì)算梯形明渠正常水深時(shí)，實(shí)質(zhì)上是對(duì)含多個(gè)未知參數(shù)的高次方程進(jìn)行求解，在理論上并無(wú)解析解。梯形斷面如圖1所示。

1.2 梯形明渠臨界水深的函數(shù)表達(dá)式

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)顯示，明渠臨界水深的基本方程主要為：

過(guò)水面積：(b+mhk)hk=Ak

水面寬度：b+2mhk=Bk

將上述各要素帶入（3）式中可得，

在計(jì)算梯形明渠正常水深時(shí)，已知參數(shù)包括粗糙系數(shù)n、邊坡系數(shù)m、底寬b、設(shè)計(jì)流量Q，求水深hk。

2 計(jì)算梯形明渠水力的數(shù)學(xué)模型

2.1 梯形明渠均勻流水深的模型建立及求解

2.1.1 建立模型

改寫(xiě)后的方程主要為：

圖1：梯形斷面

圖2：γ-p 的關(guān)系曲線

圖3：x-k 關(guān)系曲線圖

而迭代公式為：

表1：不同計(jì)算方法的誤差比較

表2：不同計(jì)算方法的誤差比較

2.1.2 求解模型

迭代法是一種常用的求解方法，其可以進(jìn)行逐步逼近，從而達(dá)到最準(zhǔn)確的結(jié)果，任意給定的m 和p 在迭代公式中，總有且有一個(gè)γ 與之相對(duì)應(yīng)[2]。

根據(jù)實(shí)際工程中，γ 以及m 的取值具有一定的范圍，γ 的范圍主要為[0，2]，m 范圍主要為[0，4]。具體關(guān)系曲線見(jiàn)圖2。

由上述關(guān)系曲線可得，

其中A=f1(m)，B=f2(m)。

在實(shí)際的工程范圍內(nèi)，γ 以及m 的取值具有一定的范圍，γ 的范圍主要為[0，2]，m 范圍主要為[0，4]：

計(jì)算迭代式，可以得到相對(duì)滿意的結(jié)果。

可以得到計(jì)算公式。即：

2.2 梯形明渠臨界水深的模型建立及求解

2.2.1 建立模型

梯形明渠（恒等變形）臨界水深的基本方程可以寫(xiě)成以下：

2.2.2 求解模型

經(jīng)過(guò)對(duì)多組數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化，且進(jìn)行回歸分析可得相關(guān)曲線。見(jiàn)圖3。

即

經(jīng)過(guò)大量的運(yùn)算可得出最佳的公式，見(jiàn)下式：

計(jì)算梯形明渠臨界水深公式見(jiàn)下式：

3 應(yīng)用實(shí)例

解析比較幾種數(shù)模，多個(gè)公式的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

從表1 的誤差結(jié)果分析可以得出，采取直接計(jì)算公式的方法來(lái)進(jìn)行模型求解，操作簡(jiǎn)單便捷，具有較高的精確度，可以滿足實(shí)際工程的需要。

例題：有一個(gè)梯形明渠斷面，已知參數(shù)為邊坡系數(shù)m=1.0000，流量Q=15.0000m3/s，底寬b=5.0000，求臨界水深hk。

3.1 計(jì)算此文公式可得，

3.2 解析比較幾種數(shù)模

多個(gè)公式的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

從表2 的誤差結(jié)果分析可以得出，采取直接計(jì)算公式的方法來(lái)進(jìn)行模型求解，操作簡(jiǎn)單便捷，具有較高的精確度，可以滿足實(shí)際工程的需要。

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模在日常應(yīng)用中十分重要，是在各個(gè)領(lǐng)域中應(yīng)用數(shù)學(xué)的具體表現(xiàn)，因此數(shù)學(xué)建模在梯形明渠水力計(jì)算中的應(yīng)用價(jià)值較高，可以進(jìn)一步推廣。