◎ 成鳴娟

中考數(shù)學(xué)壓軸題綜合性強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，對(duì)不同水平的學(xué)生進(jìn)行區(qū)分和選拔，在中考中舉足輕重。筆者針對(duì)陜西省2017數(shù)學(xué)中考題25題略談粗淺認(rèn)識(shí)，不當(dāng)之處請(qǐng)指正。

一、試題呈現(xiàn)

(2017年陜西數(shù)學(xué)中考題第25題)

問題提出

1.如圖1，△ABC是等邊三角形，AB=12。若點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，則OA的長為_______。

問題探究

2.如圖2，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18。如果點(diǎn)P是AD邊上一點(diǎn)，且AP=3，那么BC邊上是否存在一點(diǎn)Q，使得線段PQ將矩形ABCD的面積平分？若存在，求出PQ的長；若不存在，請(qǐng)說明理由。

問題解決

3.某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB與其所對(duì)的劣弧圍成的草地組成，如圖3所示。管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后他想只用噴灌龍頭來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時(shí)，既要能確保草坪的每個(gè)角落都能澆上水，又能節(jié)約用水。于是，他讓主噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于∠AMB(即每次噴灌時(shí)噴灌龍頭由MA轉(zhuǎn)到MB，然后再轉(zhuǎn)回，這樣往復(fù)噴灌)，同時(shí)，再合理設(shè)計(jì)好噴灌龍頭噴水的射程就可以了。如圖3，已測(cè)出AB=24m，MB=10m，△ABM的面積為96m2；過弦AB的中點(diǎn)D作DE⊥AB交弧AB于點(diǎn)E，又測(cè)得DE=8m。

請(qǐng)根據(jù)以上提供的信息，幫助王師傅計(jì)算噴灌龍頭射程至少多少米時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)他的想法？為什么(結(jié)果保留根號(hào)或精確到0.01米)？

圖1

圖2

圖3

二、解題過程分析

第1 問：考查等邊三角形的內(nèi)心，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理解得：

圖4

第2問：如圖4：

連接AC、BD相交于點(diǎn)O，連接PO并延長交BC于點(diǎn)Q。則線段PQ將矩形ABCD的面積平分。

∵點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，CQ=AP=3。過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：考查平行四邊形的中心對(duì)稱是典型的面積平分問題，以往平分面積是定性分析，而這道題是定量計(jì)算，在這一細(xì)節(jié)上稍提升難度，高于平時(shí)練習(xí)。

第3問：如圖5，作射線ED，

圖5

∵AD=BD，ED⊥AB，弧AB為劣弧，∴弧AB所在圓的圓心在射線ED上。

假設(shè)圓心為O，半徑為r，連接OA，則r2=122+(r-8)2，

解得：r=13，∴OD=5。

過點(diǎn)M作MN⊥AB物N，

∵SΔABM=96，AB=24，∴MN=8，NB=6，AN=18，

∵△ADC～ΔANM，∴

∴O在ΔAMB內(nèi)部。

連接MO并延長交弧AB于點(diǎn)F，則MF為草坪上的點(diǎn)到M的最大距離。

在弧AB上任取一異于點(diǎn)F的點(diǎn)G，連接GO、GM，

∴MF=FO+OM=GO+OM＞GM.

過O作OH⊥MN，垂足為H，則OH=DN=6，MH=3。

∴MF=MO+r=

點(diǎn)評(píng)：第3問的基本思路：一找二算。對(duì)于如1、2問之后，自然在解法思路上有一些相通之處，提煉出前兩問的共同之處，關(guān)鍵的線段都和中心點(diǎn)(內(nèi)心或?qū)ΨQ中心)有關(guān)系，于是第3問，聯(lián)想到利用圓心找最短距離。最短距離是直徑的一部分，這樣思路就打開了。在最短距離的計(jì)算中，前兩問共同之處用到了勾股定理，那么第3問能否應(yīng)用勾股定理解決.如何計(jì)算最短距離，圓中計(jì)算，基本量就是半徑r，如此解題思路便越來越清晰。本題要用到勾股定理、相似三角形、等面積法等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了中考命題原則中的“選拔”。

本題前兩問考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，關(guān)注不同學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況。第3問有一定難度，滲透考查數(shù)學(xué)基本思想：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模，是核心素養(yǎng)中最重要的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。在計(jì)算最短距離中考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象。

作為壓軸題，該題區(qū)別于前幾年陜西的25題，以往以純數(shù)學(xué)知識(shí)為載體進(jìn)行考察，而該題以實(shí)際問題為背景，學(xué)生首先要能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：要能找到“噴灌龍頭最短射程就是線段FM的長度”，這是該題的難點(diǎn)，也是題目的創(chuàng)新之處。導(dǎo)向到對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和意識(shí)的培養(yǎng)上，立意新數(shù)學(xué)味道濃厚且具生活氣息，有較高的區(qū)分度。對(duì)深化數(shù)學(xué)課程改革有很好的引領(lǐng)作用，是本次試題的亮點(diǎn)。

三、教學(xué)啟示

中考數(shù)學(xué)試題一方面檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，另一方面指導(dǎo)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)。通過分析該題目，筆者對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)提出以下建議。

1.樹立模型意識(shí)，提高問題解決能力

本題一改往年陜西25題的純數(shù)學(xué)背景，立足民生，以城市街角的草坪灌溉為背景，綜合初中數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)問題?？疾椤皬膶?shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型”的能力，這一導(dǎo)向體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的最終目的，即服務(wù)于生活，也是對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)。

每年中考試題有一部分題目，雖然題型和考查方式較為固定，學(xué)生也練習(xí)過大量的類型題，但這些題依然丟分，比如三角函數(shù)、相似三角形、一次函數(shù)等相關(guān)的應(yīng)用題。如果以其他數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體設(shè)計(jì)實(shí)際問題，或?qū)ΤＲ?guī)應(yīng)用題進(jìn)行變動(dòng)，學(xué)生的得分率會(huì)更低，說明學(xué)生解決實(shí)際問題能力較弱，問題解決能力需要提高。

中考是初中教學(xué)的指揮棒，特別是中考?jí)狠S題，一定程度引導(dǎo)著教師的教和學(xué)生的學(xué)。本題旨在提醒一線數(shù)學(xué)教育者應(yīng)適當(dāng)調(diào)整教學(xué)比重，不僅要關(guān)注純數(shù)學(xué)問題的求解，還應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用，幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。在日常教學(xué)中，注重引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景，針對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，盡可能創(chuàng)造生活情境，引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)知識(shí)，整合數(shù)學(xué)信息，在解決實(shí)際問題的教學(xué)中提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，最終提高數(shù)學(xué)建模能力。

2.滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是保障數(shù)學(xué)學(xué)科育人的關(guān)鍵，是在數(shù)學(xué)知識(shí)技能的學(xué)習(xí)過程中形成的，是在滲透數(shù)學(xué)思想中發(fā)展的?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模反映的是數(shù)學(xué)基本思想，也是最基本的素養(yǎng)。

教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程，理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)注知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程，注重解題的思路來源，加強(qiáng)變式訓(xùn)練，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)化。一題多解，多題歸一，引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)，提煉出數(shù)學(xué)思想。在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，設(shè)置數(shù)學(xué)思想專題課，用數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)全局，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)同一個(gè)數(shù)學(xué)思想在不同知識(shí)點(diǎn)、不同方法中是如何滲透的，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，獲得良好的數(shù)學(xué)教育。