文/劉溫彥

1 引言

三維面形測(cè)量在目標(biāo)檢測(cè)、產(chǎn)品檢驗(yàn)、材料分析、生產(chǎn)制造、文物修復(fù)等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。目前的形貌測(cè)量分為兩大類：接觸式測(cè)量和非接觸式測(cè)量，非接觸式測(cè)量方法即在不接觸被測(cè)物表面的條件下，可以得到被測(cè)物體參數(shù)的測(cè)量方法，具有測(cè)量速度快、精度高、實(shí)時(shí)、非接觸等優(yōu)點(diǎn)。目前主要分為電磁學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)三大類?；诠鈱W(xué)原理的測(cè)量方法具有抗電磁干擾、可以微區(qū)隱蔽測(cè)量等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)。其中常用的主要有數(shù)字全息法、時(shí)間飛行法、相位測(cè)量法、莫爾條紋法、結(jié)構(gòu)光法、散斑干涉法、雙目及多目立體視覺(jué)法等。不同方法針對(duì)不同的測(cè)量場(chǎng)合，各有優(yōu)缺點(diǎn)。本文采用高精度、非接觸式邁克爾遜干涉法對(duì)物體表面進(jìn)行三維測(cè)量。

2 理論建模

本文所采用的邁克爾遜干涉裝置如圖1所示，激光管LD發(fā)出的激光束經(jīng)擴(kuò)束系統(tǒng)擴(kuò)束后，由半反鏡BS分為兩束-反射和透射光束，反射光束經(jīng)反射鏡M反射形成參考光束，透射光束入射到待測(cè)物體表面，由物體反射后即為物光束，兩束光干涉后光強(qiáng)由CCD攝像頭接收，送入計(jì)算機(jī)進(jìn)行圖像處理和面形重構(gòu)。

假定LD發(fā)出的是一束平行光（平面波），則參考光束和物光束的復(fù)振幅分別表示為：

圖1：干涉裝置，LD：激光管；BS：半反鏡；M：反射鏡；M1：M相對(duì)于BS的對(duì)稱位置；CCD：攝像機(jī)；PC：計(jì)算機(jī)

其中aR和φR分別為參考光束的振幅和位相，aO(x,y)和φO分別為物光束的振幅和位相。如果物體表面起伏用z(x,y)表示，那么CCD所接受到的干涉光強(qiáng)為：

3 不同物體表面的二維干涉圖

根據(jù)上述理論模型，我們針對(duì)不同形狀的物體表面（包括平面、凹球面及凸球面）進(jìn)行理論計(jì)算，可以得到不同的二維干涉條紋圖。

如果物體表面為平面，并且與系統(tǒng)光軸（z軸）垂直，則z(x,y)為常數(shù)，無(wú)干涉圖案。如果物面是與M1（鏡面M關(guān)于BS的對(duì)稱面）夾角為θ的平面，則物光、參考光位相差表示為假定aR=aO(x,y)=1,λ=0.405μm，θ=18°，并將它們代入方程（1），我們可以得到平面物體二維干涉條紋分布如圖2a所示。從圖中可以看到，干涉圖是一系列平行直條紋，條紋的間距跟傾角θ有關(guān)。

當(dāng)待測(cè)面為凸面時(shí)，物、參考光的位相差為φO-φR=2k[z(x,y) ]=2k[L-(x2+y2)/2R]，將此式及aR=aO(x,y)=1,L=3μm,R=10μm,λ=0.405μm代入方程（1）可得干涉圖如圖2b所示，從圖中可以明顯看出，干涉圖是同心圓環(huán)，中心為暗紋，而且環(huán)間距從中心到邊緣逐漸減小。

當(dāng)待測(cè)面為凹球面時(shí)，物光與參考光位相的不同表示為φO-φR=2k[Lz(x,y) ]=2k[L-(x2+y2)/2R]，將此式及aR=aO(x,y)=1,L=0,R=10μm,λ=0.405μm代入方程（1）可得干涉圖如圖2c所示，從圖中可以明顯看出，干涉圖同樣是同心圓環(huán)，而且環(huán)間距也是從中心到邊緣逐漸減小。與凸面所得干涉圖不同的是中心為亮干涉場(chǎng)，這是因?yàn)橹行奈恢脳l紋的光強(qiáng)與物體表面開(kāi)口和M1的間距L有關(guān)。

4 面形重建

如果圖1中CCD所采集到的干涉圖的光強(qiáng)分布為I(x,y)，對(duì)此光強(qiáng)進(jìn)行信息處理和解調(diào)重建物體的三維表面形貌。步驟如下：首先我們對(duì)光強(qiáng)I(x,y)進(jìn)行菲涅爾近似或者菲涅爾變換，得到如下方程：

其中d是重構(gòu)表面和CCD攝像頭之間的距離，uR*(x,y)為參考光束的復(fù)共軛光束，λ為L(zhǎng)D激光的波長(zhǎng)。由此式子計(jì)算出Γ(ξ,η)后，我們可以得到物體表面的光強(qiáng)（振幅）分布及位相，表示為：

角度函數(shù)的分子和分母分別表示函數(shù)Γ[ξ,η]的虛部和實(shí)部。

圖3a是一個(gè)任意表面物體的二維干涉條紋圖，從圖中可以看出，該圖是關(guān)于y軸基本對(duì)稱的圖形。圖3b是利用上述方法，將參數(shù)d設(shè)為與L同量級(jí)的常數(shù)，將參考光復(fù)共軛光束uR*(x,y)設(shè)為常數(shù)（因?yàn)閰⒖脊馐瞧矫娌ǎ?，代入公式?jīng)過(guò)計(jì)算解調(diào)后，重新構(gòu)建的物體的三維表面形貌圖，從圖中可以明顯的看出該物體表面是關(guān)于y軸對(duì)稱的曲面。

圖2：物體為平面

圖3：任意曲面干涉條紋圖（a）及重建的三維表面形貌（b）

5 結(jié)論

本文利用邁克爾遜干涉裝置及雙光束干涉法建立物體表面形貌測(cè)量的二維干涉模型，并以平面、凹球面和凸球面為例，給出相應(yīng)的干涉光強(qiáng)分布圖，他們分別為平行直條紋圖、同心圓環(huán)圖，而且條紋間距與平面和光軸夾角有定量關(guān)系，圓環(huán)間距與球面半徑的大小有關(guān)。最后給出三維形貌重構(gòu)的理論模型，并以任意曲面干涉強(qiáng)度分布為基礎(chǔ)，采用菲涅爾近似或者菲涅爾變換的方法給出物體表面的振幅和位相，從而重建出物體表面三維形貌。文中涉及方法簡(jiǎn)單、實(shí)時(shí)性好，對(duì)于面形的非接觸、高精度測(cè)量具有重要的應(yīng)用前景。