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        Koch曲線的Hausdorff測度的改進(jìn)上界估計(jì)

        2020-01-16 13:49:54郭東亮
        關(guān)鍵詞:上界正三角形對稱點(diǎn)

        郭東亮

        (中山大學(xué) 電子與通信工程學(xué)院,廣東 廣州 510006)

        在分形幾何研究中,分形的Hausdorff維數(shù)與Hausdorff測度的確定非常重要[1].對于一般集合來說,計(jì)算其Hausdorff測度難度很大,不存在普遍適用的計(jì)算方法.滿足開集條件的自相似分形集由于具有嚴(yán)格的自相似性,其Hausdorff維數(shù)和Hausdorff測度的計(jì)算相對簡單,因而研究成果最多.Cantor集、Koch曲線和Sierpinski墊片是3個經(jīng)典自相似集,目前三分Cantor集的Hausdorff維數(shù)與Hausdorff測度已經(jīng)得到完全解決[1],但Koch曲線和Sierpinski墊片的Hausdorff測度則難以計(jì)算出準(zhǔn)確值,只能估計(jì)其上下界.本文在已有研究成果基礎(chǔ)上,通過構(gòu)造更加精細(xì)的新覆蓋并利用相關(guān)定理,得出Koch曲線的Hausdorff測度的更好上界估計(jì).

        1 Koch曲線及其Hausdorff測度

        1.1 Koch曲線

        設(shè)K0是Euclid平面R2上的單位線段[0,1],將K0三等分,以中間的1/3線段為底邊作正三角形,再去除底邊的內(nèi)部,得到一條由4個長度為1/3的邊組成的折線,記為K1,對K1的每個邊重復(fù)上述過程,得到42個長度為1/32的邊組成的折線,記為K2,重復(fù)以上過程,得到折線序列K0,K1,K2,…,Kn,當(dāng)n→時,此折線序列趨于一條曲線K,稱其為Koch曲線,它是典型的規(guī)則分形.關(guān)于Koch曲線K有如下一些相關(guān)定義和結(jié)果[1-2]:

        (1)K是由壓縮比為1/3的相似壓縮定義的,其Hausdorff維數(shù)s=log34.

        (2)設(shè)n≥1,Kn中夾角為60°的相鄰兩邊構(gòu)成一個正三角形,稱作Kn的基本三角形,并記作△n.

        (3)K是路徑連通的,設(shè)點(diǎn)A、A′∈K,記AA′為K上從點(diǎn)A到點(diǎn)A′的連通弧.

        1.2 相關(guān)引理

        引理1[1]由Hausdorff測度Hs(K)的齊次性知

        引理2[2]設(shè)U?Rn為可測集,|U|>0,F(xiàn)是滿足開集條件的自相似集,則

        2主要結(jié)果及證明

        圖1所示為K的局部圖形,其中,|AA′|=1/3,點(diǎn)A、O、A′為K1中的折線點(diǎn),點(diǎn)E、E′為K2中的折線點(diǎn),B、D、F為K4中的折線點(diǎn),文獻(xiàn)[2]正是基于K4構(gòu)造了七邊形BDEOE′D′B′作為覆蓋(E′、D′、B′分別為E、D、B關(guān)于直線OO′的對稱點(diǎn)),考慮K上的連通弧BB′,推導(dǎo)K的Hausdorff測度上界.將點(diǎn)B附近的圖形放大,得到圖2,在屬于K4的邊FB上生成屬于K5的正三角形△GHI,再在屬于K5的邊GB上生成屬于K6的正三角形△JLM,文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]分別將九邊形JMDEOE′D′M′J′作為新覆蓋(M′、J′分別為M、J關(guān)于直線OO′的對稱點(diǎn)),并考慮K上的連通弧MM′,推導(dǎo)出K的Hausdorff測度的更好上界.

        圖1Koch曲線局部示意圖(K4) 圖2Koch曲線局部示意圖(K6)

        Fig.1LocalsketchofKochcurve(K4)Fig.2LocalsketchofKochcurve(K6)

        放大邊LB段的圖形,得到圖3,其中正三角形△NPQ屬于K7,正三角形△RST屬于K8,文獻(xiàn)[5]基于K7上的連通弧構(gòu)造新覆蓋,將K的Hausdorff測度上界進(jìn)一步減小至Hs(K)≤0.587 697,該上界是已公開發(fā)表文獻(xiàn)中的最好上界.

        圖3 Koch曲線LB段局部示意圖(K8) 圖4 Koch曲線W-N-S段局部示意圖(K10)

        Fig.3LocalschematicdiagramofLBFig.4LocalschematicdiagramofW-N-SsectionofKochcurve(K8)sectionofKochcurve(K10)

        定理Koch曲線K的Hausdorff測度Hs(K)<0.587 650.

        證明放大邊W-N-S段的圖形,得到圖4,其中正三角形△XYZ屬于K10,將11邊形NXZDEOE′D′Z′X′N′作為新覆蓋(N′、X′、Z′分別為N、X、Z關(guān)于直線OO′的對稱點(diǎn)),記為U,并考慮K上的連通弧ZZ′,易見K∩U=ZZ′.下面分析本文提出的新覆蓋U的直徑.

        由于基本三角形△i的一條邊的長為1/3i,i=1,2,3,…,因此有

        由圖4可以算得

        因此,新覆蓋U的直徑仍是|DE′|.

        由引理1,得

        由引理2,得

        此為迭代至K10時,Koch曲線K的Hausdorff測度的上界估計(jì)值,也是目前已知的最好上界.

        3 結(jié) 論

        通過構(gòu)造更加精細(xì)的新覆蓋,研究了新覆蓋與Koch曲線的交集對應(yīng)的連通弧,并利用相關(guān)定理計(jì)算出了Koch曲線的Hausdorff測度的更好的上界估計(jì)值Hs(K)≤0.587 650.

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