陳智敏 段文山

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院, 蘭州 730070)

利用約化攝動法, 推導(dǎo)了流體在彈性管中的非線性薛定諤方程(NLSE).由非線性薛定諤方程的解來近似地描述出真實的怪波, 繼而研究怪波解中各個參數(shù)對怪波系統(tǒng)振幅、波速的影響.最后將這一模型應(yīng)用到人體血管中, 研究怪波在人體動脈血管中傳播對人體健康的影響.

專題：非線性物理

1 引 言

近年來人們對怪波做了大量的研究[1?6].怪波首先是在海洋上被發(fā)現(xiàn)的, 當(dāng)時在海洋上人們發(fā)現(xiàn)一陣突如其來的奇高無比的水墻, 卻又在一瞬間消失得無影無蹤[7?9], 似乎是“來無影, 去無蹤”, 人們就將此現(xiàn)象稱為怪波.由此可知, 在海洋上由怪波產(chǎn)生的浪濤并不像由臺風(fēng)和地震所造成的浪濤那樣, 可以提前幾個小時或幾天預(yù)測.所以怪波對海上船只、軍艦等會造成極大的損害[8].因此, 科學(xué)家們對這個現(xiàn)象進(jìn)行了大量的觀測和研究.1964年,英國科學(xué)家Draper 給出了怪波的定義[10].然而,怪波的各種奇特的性質(zhì)還未被人們所熟知[11,12], 所以直至現(xiàn)在, 對于怪波的研究也都沒有中斷過.后來, 人們發(fā)現(xiàn)怪波不僅存在于海洋上, 在許多其他領(lǐng)域中也都相繼發(fā)現(xiàn)了怪波, 例如: 在等離子體物理學(xué)[13, 14]、氣象學(xué)[15]、流體力學(xué)[16]、玻色-愛因斯坦凝聚[17]、毛細(xì)波[18]等領(lǐng)域.不過由于觀測環(huán)境的困難和危險, 無法充分理解怪波現(xiàn)象, 人們只好尋求其他方法.例如: 通過非線性薛定諤方程的一種解: Peregrine rogue wave[19], 可以近似地描述怪波.這一解的形式最早由 Peregrine[19]提出.可以借助對 Peregrine rogue wave解的研究來了解怪波特性, 從而防止怪波產(chǎn)生高能振幅等危害.深水下怪波現(xiàn)象對海上的船只威脅最大[9], 由于觀測深水下怪波現(xiàn)象具有很大的困難, 人們就試圖通過各種方法來描述出在深水下的怪波情況, 但目前還未成功.

流體在彈性管內(nèi)的流動問題[20, 21]一直被人們所關(guān)注, 故對于充滿流體的彈性管中各種波的傳播研究一直是個熱門課題.在充滿流體的彈性管波的相關(guān)研究有許多[22?25], 但是在此系統(tǒng)中是否會出現(xiàn)怪波還沒有任何研究.本文首次對充滿流體的彈性管中的怪波進(jìn)行了研究.大家知道, 血液在人體或者動物血管中的流動可以用充滿流體的彈性管來近似研究.因此研究充滿流體的彈性管中的怪波問題有很重要的實際意義.找到能描述血液在血管中流動情況的解, 就可以探究人體血管中哪些參量對血液流動有著重要的影響, 再對其加以控制就可以更深入了解血液在血管中的流動特性.這一研究可能對醫(yī)學(xué)有一定的參考意義.

2 怪波的理論模型與怪波解

本文研究限制在無限長圓柱管內(nèi)的不可壓縮的流體, 圓柱管的壁是由一根均勻彈性管組成的.控制流體運動的動力學(xué)方程是質(zhì)量守恒和動量守恒方程[26]:

其中A是圓柱體的橫截面面積,u是流體的速度,p是流體壓強,ρ0是流體的密度.第三個方程為管道橫截面面積與壓力的方程[27?30]:

其中ρw是彈性管壁的密度,h和E是彈性管的厚度和楊氏模量,a是彈性管中液體平衡時管的半徑,是彈性管道徑向振動的固有頻率.定義代入 (1)式—(3)式中, 得到無量綱方程:

上述復(fù)雜的非線性方程組可以通過約化攝動法化為比較簡單的且可精確求解的非線性演化方程.本文由上述方程組推導(dǎo)出了非線性薛定諤方程[26].假 設(shè) :ξ=ε(x′?Vt′),τ=ε2t′, 其 中ε是 個 小 量 ,V為波的群速度.將A′,u′和p′作攝動展開:

我們知道非線性薛定諤有很多解, 其中有一種是怪波解[31], 其解的形式如下:

代入由上面攝動方法展開的式子可得到管的橫截面A′的解, 其解的形式如下:

3 彈性管模型系統(tǒng)及人體血管參數(shù)對怪波的影響

我們知道怪波具有一些奇特的性質(zhì), 例如: 它的包絡(luò)振幅可以在短時間內(nèi)達(dá)到最大值, 并可在短時間內(nèi)也會達(dá)到零, 這就是怪波似乎“來無影, 去無蹤”的原因.圖1為實驗室坐標(biāo)下的怪波在不同時間點上所在的各個位置的等高圖, 它表明怪波從某一位置突然出現(xiàn)然后又突然消失.從圖中怪波出現(xiàn)的時間和位置可以推測即將出現(xiàn)怪波的時間和位置, 這對預(yù)防由怪波引起的危害有一定的幫助.

下面分析動物血管中怪波傳播的性質(zhì).將文獻(xiàn)[32,33]中兔胸主動脈實驗得到的兔胸主動脈的半徑、血管壁厚度、血管壁的楊氏模量等參數(shù)值代入怪波解中畫圖.兔胸主動脈血管的半徑a= 2.58 mm,血管壁厚度h= 0.25 mm, 血管壁的楊氏模量E=936.5 kpa.圖2為不同時刻的怪波在血管中縱向傳播的圖形, 圖中表明在血管中的不同位置, 怪波振幅是不同的, 并且怪波在兔子的主動脈血管中的傳播速度大約為5.8 m/s.

圖1 怪波振幅的密度圖Fig.1.The contour graph of a rogue wave solution image.

圖2 不同時刻的怪波圖像Fig.2.The above picture shows the rouge wave for t = 0.1 s,t = 0.5 s and t = 0.9 s.

圖3 人體血管參數(shù)對怪波振幅的影響 (a)波數(shù) k ; (b)小參數(shù) ε ; (c)厚度 h , (d)液體密度 ρ ; (e)楊氏模量 E ; (f)半徑aFig.3.The effect of human vascular parameters on the amplitude of rouge waves:(a) k ; (b) ε ; (c) h ; (d) ρ ; (e) E ; (f) a .

怪波振幅越大, 產(chǎn)生的能量就越高, 就越容易產(chǎn)生危害.接下來研究人體血管中血管壁厚度、楊氏模量、血管半徑等各個參數(shù)對怪波振幅的影響.主要研究人體主動脈血管的怪波性質(zhì), 在H.Otel所著的《普朗特流體力學(xué)基礎(chǔ)》一書中生物流體力學(xué)給出了人體中各個部位血管脈的性質(zhì), 其中主動脈血管的厚度與半徑為最大, 其厚度h=2 × 10–3m, 半徑a= 1.25 × 10–2m.圖3(a) 是波數(shù)k與怪波振幅的關(guān)系圖, 圖中表明怪波振幅隨著k的增大而增大, 即怪波的波長越小, 怪波的振幅就越大.我們知道人在緊張或受到驚嚇的時候,血管會出現(xiàn)膨脹現(xiàn)象, 我們猜測是在人緊張或受到驚嚇的時候, 血管中的怪波的波長會突然變小而引起的.在圖3(b) 中表明了小參數(shù)ε對怪波振幅的影響, 可以看出，怪波的振幅隨著ε的增大而增大.圖3(c) 中取人體不同位置血管壁的厚度的變化對怪波振幅的影響, 得出結(jié)果是管壁厚度對怪波振幅沒有影響.圖3(d) 中參考水、血液、酒精、海水、水銀等液體的密度對怪波振幅的影響, 結(jié)果得出液體密度的改變對怪波振幅沒有影響.圖3(e) 中表明管壁的楊氏模量改變, 怪波的振幅依然還是不變的.圖3(f) 研究血管道半徑a與怪波振幅的關(guān)系,結(jié)果表明血管道半徑增大, 怪波振幅也隨之增大.

結(jié)果表明, 如果人體血液流動中出現(xiàn)怪波現(xiàn)象, 當(dāng)怪波為短波時怪波的振幅越大, 對血管的危害就會越重.并且血管壁半徑也對怪波的影響較大, 血管越粗的部位, 產(chǎn)生的怪波振幅越大, 即在血管較粗的部位更應(yīng)該注意防范由怪波產(chǎn)生的危害.這一發(fā)現(xiàn)為醫(yī)學(xué)上人體血液流動問題提供了一定的參考.

圖4 人體血管參數(shù)對怪波波速的影響 (a) 波數(shù) k ; (b) 小參數(shù) ε ; (c) 厚度 h ; (d) 液體密度 ρ ; (e)楊氏模量 E ; (f)半徑 a 值Fig.4.The effect of elastic tube parameters on the velocity of rouge waves: (a) k ; (b) ε ; (c) h ; (d) ρ ; (e) E ; (f) a .

圖4給出了血管壁的管壁厚度、楊氏模量、血管半徑等各個參數(shù)與怪波波速的關(guān)系.圖4(a)為波數(shù)k與怪波波速的關(guān)系, 表明怪波波速隨著k的增大而減小.即怪波的波長越短, 怪波的傳播速度越慢.圖4(b) 給出了ε與怪波波速的關(guān)系, 可以看出ε對怪波波速沒有顯著影響.圖4(c)為液體的密度ρ與怪波波速的關(guān)系, 可以看出隨著液體密度ρ的增大, 怪波的波速在減小.這表明密度大的液體中的怪波傳播速度慢.圖4(d)是管壁厚度h與怪波波速的關(guān)系圖, 隨著管壁厚度h的增大, 怪波的波速也增大.這表明在人體中血管壁越厚的部位, 怪波的傳播速度越快.圖4(e)給出了楊氏模量與怪波波速的關(guān)系, 隨著管壁的楊氏模量的增大,怪波波速也隨之增大.表明在人體血管中剛性較強的部位的怪波波速較快.圖4(f)是管的半徑與怪波波速的關(guān)系, 怪波波速隨著血管半徑的增大而減小.可以看出, 在人體血管越粗的部位, 怪波的波速也就越小.

我們知道, 人體心臟附近位置的血管半徑較大且血管壁較厚, 這樣容易導(dǎo)致心臟附近出現(xiàn)的怪波可能有較大的振幅和較大的傳播速度.這一結(jié)論對醫(yī)學(xué)研究可能會有一定的參考意義.

4 結(jié) 論

利用約化攝動法, 依據(jù)不可壓縮液體在彈性管中流動的非線性薛定諤方程, 我們用非線性薛定諤方程的解描述出真實的怪波解.通過怪波解的理論結(jié)果, 分析了怪波的許多特性, 這對怪波的研究是一個重要的補充.將這一理論模型應(yīng)用到人體和動物中血管中的血液流動問題, 給出了怪波在動脈血管中的傳播特性, 給出了怪波對血液在動脈血管中各個位置的影響, 這也對現(xiàn)代醫(yī)學(xué)上提供了一些幫助.但這一方法僅適用于當(dāng)管道的橫截面面積改變量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于管道的橫截面面積, 放在人體血管中也是如此, 如果不滿足這一條件, 對于計算和模擬的結(jié)果就會有所偏差.