(北京理工大學(xué)自動化學(xué)院， 北京100081)

引言

迭代學(xué)習(xí)控制的思想最先是由日本學(xué)者Uchiyama[1]提出的，只是未引起人們廣泛的關(guān)注。一般認(rèn)為，Arimoto在1984年提出的學(xué)習(xí)算法被認(rèn)為是關(guān)于迭代學(xué)習(xí)控制的開創(chuàng)性研究。

迭代學(xué)習(xí)控制適合于一類具有重復(fù)運(yùn)行特性的被控對象，其任務(wù)是尋找控制輸入，使得被控系統(tǒng)的實(shí)際輸出軌跡在有限時間區(qū)間上沿整個期望輸出軌跡實(shí)現(xiàn)零誤差的完全跟蹤，并且整個控制過程要求快速完成[2-4]。

迭代學(xué)習(xí)控制經(jīng)過近20年的發(fā)展，無論在理論還是在應(yīng)用上都取得了豐碩的成果。近些年來提出的基于系統(tǒng)逆的迭代學(xué)習(xí)控制(IIC)[5]技術(shù)提供了一種直接的方式來量化和說明系統(tǒng)動態(tài)不確定性對迭代學(xué)習(xí)控制性能的影響， 從而達(dá)到迭代控制輸入的快速收斂[6-7]。然而， 這種方法仍然需要動力學(xué)模型和建模過程，模型質(zhì)量直接限制了IIC技術(shù)的性能。MIIFC算法消除動力學(xué)建模過程，并顯著提高跟蹤性能[8]。在相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，提出了一種新型的MIIFC控制結(jié)構(gòu)，分析了存在外界干擾下控制器的性能，與傳統(tǒng)的ILC控制相比，加快了系統(tǒng)收斂的速度，改變了控制量對誤差的補(bǔ)償方式；配合一般的PID控制器，可以省略繁瑣的PID參數(shù)整定過程，在粗略給出PID參數(shù)的情況下通過迭代學(xué)習(xí)達(dá)到精確的軌跡跟蹤。通過電液伺服系統(tǒng)的跟隨給定實(shí)驗(yàn)，表明了該控制方法的有效性。

1 MIIFC算法分析

1.1 迭代學(xué)習(xí)控制律的構(gòu)建

MIIFC算法如下：

u0(jω)=αyd(jω),k=0,

(1)

算法的迭代學(xué)習(xí)需要一組初始的輸入輸出數(shù)據(jù)u0(jω)、y0(jω)，初始控制量u0(jω)可由給定軌跡yd(jω)乘以一個系數(shù)α獲得，α可以選取系統(tǒng)增益的倒數(shù)。

1.2 對外界干擾項(xiàng)的處理

考慮一種存在輸出干擾的情況：

y(jω)=yl(jω)+yn(jω)

(2)

其中，yl(jω)為由控制輸入得到的輸出，yn(jω)則代表了輸出干擾項(xiàng)。

定義NSR(noise/disturbance to signal ratio)為噪聲與信號的比值。算法收斂性與跟蹤性能的優(yōu)劣由NSR的值來確定。

為了驗(yàn)證算法的收斂性和對跟蹤性能的提升，定義在k次迭代過程中迭代控制輸入和期望輸入的比值為：

(3)

其中，pk(jω) 是在頻率ω下，過去所有迭代過程中NSR的乘積，Sk(jω)則是pk(jω)的累加[3]。

1.3 收斂性證明

推論：當(dāng)NSR的值小于一個常數(shù)時，可以保證迭代學(xué)習(xí)算法的收斂性；通過進(jìn)一步界定NSR的值，可以使跟蹤性能得到顯著提高。

(5)

由式(5)，可以得到隨著迭代次數(shù)增加，迭代輸入與期望的輸入比值為：

(6)

若每次迭代過程中NSR的值滿足小于一個正數(shù)ε，ε的范圍為：

(7)

則S∞(jω)是有界的：

(8)

聯(lián)合式(6)，系統(tǒng)的相對跟蹤誤差為：

(9)

將式(8)的結(jié)果代入式(9)中，有：

(10)

至此，迭代學(xué)習(xí)的收斂性得到證明。同時，圖1描述了不同NSR取值下系統(tǒng)的相對跟蹤誤差。

圖1 不同NSR取值下的相對跟蹤誤差

可以看出，如果在某特定頻率ω下NSR滿足：

(11)

則該頻率ω處的跟蹤誤差的頻率分量小于期望的輸出的頻率分量，跟蹤性能得到提升：

(12)

2 控制系統(tǒng)鎮(zhèn)定

本研究中采用的控制對象為電液伺服閥控缸位置控制系統(tǒng)，系統(tǒng)空載時的傳遞函數(shù)為：

(13)

式中，Ap—— 液壓缸的有效作用面積

Kq—— 流量增益

開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是一個積分環(huán)節(jié)，存在位于原點(diǎn)的極點(diǎn)，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的[9-10]。

MIIFC是一種開環(huán)控制，它并不能使系統(tǒng)鎮(zhèn)定，所以在許多迭代學(xué)習(xí)控制設(shè)計(jì)中總是假設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或者反饋控制器已經(jīng)存在[11]。如果考慮受控對象不穩(wěn)定或具有模型不確定與非重復(fù)擾動時，就應(yīng)該考慮設(shè)計(jì)一個能使系統(tǒng)鎮(zhèn)定的反饋控制器[12-13]。因此，引入圖2中虛線框內(nèi)的輸出反饋對系統(tǒng)進(jìn)行鎮(zhèn)定。

圖2 MIIFC控制框圖

其中，uk(jw)，yk(jw)，yk,n(jw)分別為第k次迭代學(xué)習(xí)控制的控制量uk(t)、系統(tǒng)輸出yk(t)、外界干擾yk,n(t)的傅立葉變換；uk+1(jw)為第k+1次迭代學(xué)習(xí)控制器的輸出uk+1(t)的傅立葉變換；yd(jw)為系統(tǒng)期望輸出yd(t)的傅立葉變換。MIIFC控制器根據(jù)第k次迭代過程中一定長度(通常為重復(fù)給定軌跡的一個周期)的數(shù)據(jù)，在頻域內(nèi)計(jì)算出k+1次迭代過程的控制量，然后通過逆傅立葉變換到時域，并開環(huán)給出；接下來，該控制量由PID環(huán)節(jié)進(jìn)行逐點(diǎn)的閉環(huán)控制。

通常情況下，PID控制器要想達(dá)到精確的控制效果，需要一個反復(fù)調(diào)節(jié)PID參數(shù)的過程。如果PID控制器沒有經(jīng)過參數(shù)整定，那么跟蹤結(jié)果一般會存在靜差。為了省略復(fù)雜的參數(shù)整定過程，消除PID控制存在的靜差，從而精確的跟蹤給定曲線，加入MIIFC控制器來進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)控制。具體控制過程如下：第一步，先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)預(yù)估一組PID參數(shù)，之后由PID單獨(dú)進(jìn)行控制，待運(yùn)行結(jié)果穩(wěn)定，截取一組原始的輸入輸出數(shù)據(jù)，因?yàn)镻ID控制器未經(jīng)參數(shù)整定，所以這組數(shù)據(jù)是帶有靜差的。第二步，通過MIIFC控制器不斷迭代學(xué)習(xí)，對靜差進(jìn)行修正直到收斂?？梢钥闯?，PID控制器和MIIFC是配合使用的，其中，PID主要用于系統(tǒng)鎮(zhèn)定，使跟蹤結(jié)果穩(wěn)定不發(fā)散即可，由于未經(jīng)參數(shù)整定，因此其消除誤差的作用有限，尤其是當(dāng)干擾較大或者誤差較大時，僅依靠PID控制依然會存在很大的靜差，因此主要的誤差消除工作仍需MIIFC迭代學(xué)習(xí)控制來完成。此外，PID控制作為反饋控制器，本身存在固有的滯后現(xiàn)象，對于高頻信號尤為明顯。而加入MIIFC前饋控制之后，通過上一迭代周期的迭代控制器輸出、被控對象輸出和給定軌跡離線計(jì)算出下一個迭代周期的控制量，可以對滯后現(xiàn)象帶來的誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

3 實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)中參考輸入為不同頻率、不同幅值的正弦信號，被控對象為電液伺服閥控缸系統(tǒng)。

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺構(gòu)成

以單個對稱伺服閥控制非對稱缸系統(tǒng)為研究對象，整體的實(shí)驗(yàn)平臺主要由泵站、閥控缸、工控機(jī)組成。閥控缸系統(tǒng)由慣性負(fù)載、彈性負(fù)載、控制器、1個四通伺服閥、1個非對稱液壓缸、1個活塞桿位置傳感器以及其他附件和液壓管路組成。工控機(jī)采用主從機(jī)結(jié)構(gòu)，主機(jī)為1臺筆記本電腦，從機(jī)是NI公司的8101機(jī)箱，裝載有PXI-6251采集卡，具有16路16位模擬輸入，單通道采樣率最大可達(dá)1.25 MS/s，用于數(shù)據(jù)采集、AD/DA轉(zhuǎn)換和控制算法的實(shí)現(xiàn)。終端安裝有NI LabVIEW的實(shí)時系統(tǒng)(Real-time System)，可以在指定時間內(nèi)完成規(guī)定操作，具有很高的時間精度和可靠度，保證了實(shí)時信號不間斷采集存儲和傳輸。開發(fā)環(huán)境為LabVIEW 2012，MIIFC控制器采用MATLAB編寫，包括傅立葉變換以及算法具體的計(jì)算過程，縮短了控制周期。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)中，使液壓缸分別跟隨幅值為10 mm、頻率為1 Hz和幅值為2 mm、頻率為10 Hz的正弦給定曲線。首先初步估計(jì)PID控制器參數(shù)，并使系統(tǒng)在PID控制下跟蹤正弦曲線，得到初始的輸入輸出數(shù)據(jù)；之后開始MIIFC迭代控制過程。

圖3a為單純的采用估計(jì)PID參數(shù)進(jìn)行控制的位移y跟蹤1 Hz、10 mm正弦曲線；圖3b為在圖3a的基礎(chǔ)上，利用MIIFC迭代5次之后液壓缸的跟蹤給定曲線；圖4a為單純的采用估計(jì)PID參數(shù)進(jìn)行控制的位移y跟蹤10 Hz、2 mm正弦曲線；圖4b為在圖4a的基礎(chǔ)上，利用MIIFC迭代5次之后液壓缸的跟蹤給定曲線；可以看出，MIIFC迭代控制器可以消除原有的跟蹤誤差，實(shí)現(xiàn)對給定曲線的精確跟蹤，并且有較快的收斂速度。

圖3 1 Hz，10 mm正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)曲線

在實(shí)際工況中，如果開始運(yùn)行時通過PID控制能穩(wěn)定的話，那么接下來的擾動一般是緩慢變化的，帶來的誤差可以通過迭代逐漸消除；假如出現(xiàn)大擾動的情況，可能會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性而導(dǎo)致發(fā)散，那么就需要重新進(jìn)行迭代找到新的控制量。

圖4 10 Hz，2 mm正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)曲線

4 結(jié)論

設(shè)計(jì)的MIIFC迭代控制器，結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)；省去了相關(guān)的建模過程， 減少了模型不確定度帶來的誤差；應(yīng)用NSR考慮了可能存在的外界噪聲的范圍，并理論證明了預(yù)期達(dá)到的控制精度；通過迭代學(xué)習(xí)對跟蹤誤差進(jìn)行了準(zhǔn)確的補(bǔ)償，省略了反復(fù)的PID參數(shù)整定過程。實(shí)驗(yàn)表明，基于逆的迭代控制具有快速的收斂性和跟蹤精度，是一種簡單有效的迭代控制算法。