李帥遠 王然然 周 鵬

(鄭州大學機械工程學院，河南450001)

箱型主梁結(jié)構(gòu)的好壞直接影響起重設備的承載能力，所以對箱形主梁進行合理的結(jié)構(gòu)優(yōu)化對起重機承載能力有重要影響[1]。起重設備在運輸過程中，主梁受動載荷的影響會產(chǎn)生不同頻率的振動，這些振動將嚴重影響起重機的使用特性，會對起重設備的一些部件造成破壞，影響使用壽命。因此，通過分析和實驗研究起重機設備的振動規(guī)律和影響，優(yōu)化起重機的箱形主梁結(jié)構(gòu)尤為重要[2]。

使用MATLAB軟件對起重機主梁進行結(jié)構(gòu)設計，之后采用SIMP變密度法合理分布主梁材料，進行靜態(tài)和動態(tài)特性的起重機主梁拓撲優(yōu)化研究。

1 箱型梁結(jié)構(gòu)模型建立

1.1 起重機主要參數(shù)

以起重機的起重量Q=30 t，起重機主梁材料Q345為研究對象，根據(jù)起重機的工作情況，當小車運行到跨中截面時，起重機主梁處于最危險狀態(tài)，主梁垂直平面受力圖如圖1所示。因此主要研究主梁的跨中截面，該位置垂直方向承受載荷為小車靜輪壓P1=112 856.8 Nm，P2=2566 Nm，均為均布載荷?？缰薪孛娉叽鐬椋?/p>

上蓋板厚度t5=0.016 m

下蓋板厚度t6=0.016 m

上蓋板寬度B1=0.58 m

下蓋板寬度B2=0.58 m

主腹板厚度t3=0.006 m

副腹板厚度t4=0.006 m

腹板高度H=1.3 m

腹板間隔距離B=0.49 m

圖1 主梁垂直平面內(nèi)受力分析圖Figure 1 Force analysis on vertical surface of girder

1.2 主梁拓撲優(yōu)化分析流程

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化一般是在給定結(jié)構(gòu)類型和邊界條件下進行迭代求解，在滿足目標函數(shù)要求的前提下，得到最佳結(jié)構(gòu)設計材料布局。在拓撲優(yōu)化中，采用了有限單元法，在進行迭代時，每一次的迭代都會重新進行組裝，有新的單元矩陣。拓撲優(yōu)化處理流程如圖2所示。

1.3 主梁拓撲優(yōu)化的材料插值模型

SIMP密度-剛度插值模型是拓撲優(yōu)化中經(jīng)常采用的材料插值模型，該模型中懲罰因子的作用是對中間密度進行懲罰，在優(yōu)化中使材料密度趨于離散的0～1(0密度表示材料消除，1密度表示原材料密度)。但是懲罰因子在低密度區(qū)域存在局部模態(tài)現(xiàn)象，這種模型在低密度區(qū)域存在缺陷[3]。為了彌補低密度區(qū)域的缺陷，在研究中修改低密度區(qū)域質(zhì)量與剛度的比例(該比例用較小常數(shù)值代替)，修改前后主梁單元密度與材料彈性模量和材料密度關系為：

ρ(xi)=xminρ0

E(xi)=xminE0

修改后的材料插值模型為：

ρ(xi)=xiρ0

0

式中，E0為材料初始彈性模量；xi為離散后第i個單元的密度；p為懲罰因子。

圖2 起重機主梁拓撲優(yōu)化流程圖Figure 2 Topology optimization flow of crane girder

圖3 SIMP模型下不同懲罰因子對彈性模量的懲罰效果
Figure 3 Penalty effects of different penalty factors on elasticity modulus in SIMP model

圖4 修改SIMP模型下不同懲罰因子的懲罰效果Figure 4 Penalty results of different penalty factors in modified SIMP model

拓撲優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)中材料最優(yōu)分布問題。主梁材料密度是0～1之間的連續(xù)變量值，在優(yōu)化中會出現(xiàn)不符合實際情況的密度為中間值的區(qū)域，這種區(qū)域結(jié)構(gòu)上稱為灰度單元。因此需要借助懲罰因子，使中間密度單元向0～1兩端靠近。圖3為SIMP材料插值模型下不同懲罰因子對彈性模量的懲罰效果，圖4為修改SIMP模型下xmin=0.01時，不同懲罰因子單元密度與彈性模量的關系，修改后的材料插值模型可直接用于后續(xù)的動力學拓撲優(yōu)化[5]。

1.4 拓撲優(yōu)化模型的建立

max:λmin={min :(λ1,λ2,…,λNdof)}

1.5 拓撲優(yōu)化模型的靈敏度

靈敏度分析是研究分析模型狀態(tài)的變化對設計變量的敏感程度。目標函數(shù)相對于設計變量的靈敏度計算公式為：

對上式進行移項得：

出實招，把黨的建設融入生產(chǎn)工作。在實踐中，海陵藥業(yè)始終秉承黨組織活動“不貼標簽、不搞虛招、不擺花樣”的理念，堅持把黨建工作融入生產(chǎn)經(jīng)營管理全過程，把黨員作用落實到企業(yè)發(fā)展各節(jié)點。比如，在海陵黨支部研發(fā)黨小組會議上，員工反映“研發(fā)物料采購慢”是需要解決的問題。當天，這個議案就被提交到了黨支部，推動企業(yè)開辟研發(fā)采購綠色通道，保障正常的研發(fā)進度?！敖o予員工更多的關心關愛”是生產(chǎn)質(zhì)量黨小組提交的議案，在黨支部會議上，人力資源部門就此進行了回應，決定通過每季度開展員工訪談，及時了解一線員工需求并為他們提供幫助。長期以來，黨支部始終把企業(yè)的難事作為支部的頭等大事，在企業(yè)管理中發(fā)揮黨建功能。

則正則化因子μj為：

經(jīng)計算，設計變量的靈敏度可表示為：

1.6 優(yōu)化準則求解方法

研究中，采用優(yōu)化準則法對起重機箱型主梁進行拓撲優(yōu)化求解。優(yōu)化準則法(OC)使用Lagrange乘子的引入構(gòu)造Lagrange函數(shù)，這種方法可以進行約束非線性優(yōu)化問題與無約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變，同時具有迭代次數(shù)少，收斂速度快的優(yōu)勢，比較適合在大中型設備結(jié)構(gòu)優(yōu)化中使用。

(a)p=3(b)p=5(c)p=10

圖5 不同懲罰因子的基頻在迭代過程中的變化情況
Figure 5 Basic frequency variables of different penalty factors during iteration

表1 不同懲罰因子下基頻變化值Table 1 Basic frequency variables of different penalty factors

表2 不同過濾半徑下基頻的值Table 2 Basic frequencies of different filtration radiuses

表3 主梁基頻和重量的變化情況Table 3 Variables of girder basic frequency and weight

2 起重機主梁拓撲優(yōu)化

2.1 懲罰因子的影響

按照216×13×5將主梁模型劃分網(wǎng)格后，在MATLAB中求解模型拓撲結(jié)構(gòu)。根據(jù)主梁受力簡圖得知，當小車位于跨中時，整個截面最危險，懲罰因子不可取得過大，也不可取得過小，過大的懲罰因子會使趨近于1的單元也趨向于0，過小則起不到懲罰的效果，懲罰因子的選擇將影響優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)。表1為不同懲罰因子作用下起重機基頻的變化情況[7]。懲罰因子為1時，沒有懲罰效果，以懲罰因子為1腹板材料布局為參考，分析不同懲罰因子作用效果，得到不同懲罰因子的基頻在迭代過程中的變化情況，見圖5。

通過圖5可以看出，在開始階段基頻會隨著迭代次數(shù)的增加而增大，之后會趨于收斂。根據(jù)表1中不同懲罰因子作用下的基頻情況可以得知，當懲罰因子超過一定值時，如果懲罰因子變大，優(yōu)化一階振動頻率會變小。

2.2 過濾半徑的影響

根據(jù)過濾函數(shù)對優(yōu)化結(jié)果的影響，選擇靈敏度過濾法處理起重機主梁動力學特性拓撲優(yōu)化中的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。在靈敏度過濾方法的應用中，討論不同過濾半徑對拓撲優(yōu)化結(jié)果的影響。

選擇合適的過濾半徑對拓撲優(yōu)化結(jié)果有重要的影響，如果選擇的過濾半徑較小，會使主梁的結(jié)構(gòu)特征不清楚，影響對會面的分析；如果選擇的過濾半徑比較大，會使主梁的一些結(jié)構(gòu)特征不能顯現(xiàn)。

表2列出了不同過濾半徑下起重機的主梁優(yōu)化前后的基頻情況。根據(jù)橋式起重機在設計手冊中的要求，需要滿足主梁的振動基頻大于1 Hz。從表2中可以看出，優(yōu)化后更滿足橋式起重機的設計要求。從各方面比較，一般選擇1.4 mm～1.6 mm的過濾半徑比較適合。

2.3 優(yōu)化結(jié)果

根據(jù)不同的懲罰因子下起重機基頻的變化情況和不同的過濾半徑下基頻的變化情況，經(jīng)過各方面考慮，選擇懲罰因子p=3，過濾半徑r=1.5 mm的優(yōu)化結(jié)果與優(yōu)化之前的起重機主梁的重量和基頻進行對比分析，見表3。

通過優(yōu)化前后情況對比可知，對起重機主梁優(yōu)化后，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的基頻有所提高，主梁結(jié)構(gòu)的總重量下降了約13.32%。

3 結(jié)論

(1)在SIMP密度-剛度插值模型研究的基礎上，采用變密度法彌補懲罰因子在低密度區(qū)域的局部模態(tài)現(xiàn)象，對起重機主梁進行力學拓撲優(yōu)化，這種方法是對起重機優(yōu)化研究的進步。

(2)從不同懲罰因子下基頻在迭代過程中的變化情況可以看出，在開始階段基頻會隨著迭代次數(shù)的增加而增大，之后會趨于收斂。

(3)在對起重機主梁進行拓撲優(yōu)化的過程中，合理地選擇過濾半徑對研究具有重要影響，考慮各方面因素。過濾半徑一般選擇1.4 mm～1.6 mm比較適合。

(4)拓撲優(yōu)化可以解決有限元拓撲優(yōu)化的中局部優(yōu)化不穩(wěn)定現(xiàn)象，得到約束條件下主梁材料最優(yōu)分布結(jié)果。使起重機主梁輕量化，同時提高基頻，滿足《起重機設計手冊》主梁基頻要求。