孫 琦，董 奇，楊 沙，張劉成

（中國工程物理研究院化工材料研究所，四川 綿陽 621999）

1 引言

爆炸容器作為一類特殊密封壓力容器，可限制一定量爆炸物的爆炸效應(yīng)，對容器內(nèi)部的爆炸過程進行有效約束。在研究有限空間內(nèi)爆炸準(zhǔn)靜態(tài)壓力對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響時［1-7］，常常會使用爆炸容器、爆炸塔等設(shè)備進行爆炸試驗和威力評估。爆炸容器按照設(shè)計準(zhǔn)則可分為單次使用與多次使用兩種類型。其中，單次使用型爆炸容器允許材料發(fā)生一定的塑性變形，但不能發(fā)生破壞；多次使用型爆炸容器的防護當(dāng)量須把容器材料限制于彈性極限內(nèi)，不能產(chǎn)生塑性變形。

Baker［8］針對薄球殼在內(nèi)部三角脈沖沖擊載荷作用下的動態(tài)沖擊響應(yīng)過程，提出了單自由度運動方程，獲得了薄球殼受沖擊載荷后的位移響應(yīng)的彈性和雙線性彈塑性解析解，但未考慮準(zhǔn)靜態(tài)壓力的影響。Jones［9］同樣利用單自由度模型對薄球殼的彈塑性動態(tài)響應(yīng)過程進行了推導(dǎo)，獲得了單一矩形脈沖作用下薄球殼的彈性-理想塑性、理想剛塑性響應(yīng)解析解，但僅考慮彈塑性屈服發(fā)生于脈沖結(jié)束后的情況，未考慮屈服發(fā)生在脈沖作用階段的情況。結(jié)合前人工作［8-9］與前期準(zhǔn)靜態(tài)壓力對球殼彈性響應(yīng)的影響研究［7］，本研究提出考慮準(zhǔn)靜態(tài)壓力的薄球殼雙線性彈塑性動態(tài)響應(yīng)的解析解，對前人工作進行了一定的補充和完善，并利用該方法研究了內(nèi)爆炸準(zhǔn)靜態(tài)壓力對球形容器彈塑性動態(tài)響應(yīng)的影響。

2 力學(xué)模型分析

2.1 研究模型

基于之前對球殼在內(nèi)爆炸載荷作用下彈性響應(yīng)過程的研究［7］，建立考慮準(zhǔn)靜態(tài)壓力的簡化載荷的表達如式（1）。

式中，pm1為首個脈沖壓力峰值，t1為首個脈沖作用時間，pm2為準(zhǔn)靜態(tài)壓力。當(dāng)不考慮準(zhǔn)靜態(tài)壓力時，令pm2=0 即可。

在承受來自容器中心的爆炸沖擊載荷時，球形容器外壁各處應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)相似，球殼的動態(tài)響應(yīng)過程簡化為在徑向位移上的單一自由度受迫振動問題［8］。此情況下，由于沖擊載荷沿徑向分布作用于球殼內(nèi)表面，因此可利用單自由度運動模型對動態(tài)響應(yīng)過程進行分析，得出位移隨時間變化的解析解。本研究與前期球殼彈性響應(yīng)研究中使用相同尺寸的球殼模型［7］，r為球殼中線半徑，41 mm；h為殼體厚度，2 mm。并選用如圖1 所示的等向強化的雙線性彈塑性材料，其材料屬性如下：E為彈性模量，200 GPa；Et為切線模量，10 GPa；σs為屈服強度，200 MPa；v為泊松比，0.3；ρ為密度，7830 kg·m-3；圖1 中σ和ε表示應(yīng)力和應(yīng)變，σs和εs為屈服應(yīng)力和應(yīng)變，σmax為球殼徑向位移達到最大值時的應(yīng)力。

圖1 等向強化的雙線性彈塑性模型Fig.1 Biolinear elastic-plastic model with isotropic hardening

2.2 響應(yīng)過程分析

前期研究中，已得到彈性狀態(tài)下球殼受考慮準(zhǔn)靜態(tài)壓力沖擊載荷作用時的動態(tài)響應(yīng)的解如式（2）［7］。

式中，ω為振動頻率，振動周期T=2π/ω。

在進入塑性階段后，球殼表面仍有σθ=σφ=σ，應(yīng)力可表示為：

故球殼受內(nèi)部沖擊載荷時，進入塑性階段后單自由度運動方程應(yīng)表示為［8］：

設(shè)屈服發(fā)生時刻為ts，則有如下兩種分析情況。

（1）屈服發(fā)生于首個脈沖階段，即0＜ts＜t1

a.在彈性段，式（2）仍然適用，直至應(yīng)力σ達到屈服應(yīng)力σs，此時0＜t≤ts。

b.當(dāng)ts＜t≤t1時，設(shè)t′=t-ts，將初值條件式（5）代入塑性階段SDoF 方程式（4）可解得該階段位移響應(yīng)的解如式（6）。

c.當(dāng)t＞t1時，設(shè)t″=t-t1，式（4）可簡化為式（7）

代入初值條件式（8）可得該階段位移響應(yīng)的解如式（9）。

（2）屈服發(fā)生于準(zhǔn)靜態(tài)壓力作用期間，即ts≥t1

a.當(dāng)0＜t≤t1時處于彈性段，位移響應(yīng)的解適用式（2）；

b.當(dāng)t1＜t≤ts時處于彈性段，式（2）仍然適用，直至應(yīng)力σ達到屈服應(yīng)力σs；

c.當(dāng)t＞ts時，設(shè)t?=t-ts，塑性階段SDoF 方程式（4）同樣可以簡化為式（7），將初值條件式（10）代入可解得該階段位移響應(yīng)的解如式（11）

需要注意的是，兩種情況中當(dāng)位移響應(yīng)達到最大值后回彈的過程，成為彈性等幅振動過程。設(shè)首個位移響應(yīng)最大值出現(xiàn)時刻為tmax，位移最大值為urmax，則后續(xù)彈性等幅振動的運動方程滿足彈性情況下的SDoF 運動方程［8］，其初值條件為t=tmax，ur(tmax)=

3 數(shù)值模擬校驗

本研究中使用LS-DYNA［10］對球殼內(nèi)部沖擊載荷下的彈塑性動態(tài)響應(yīng)過程進行數(shù)值模擬，并與解析解結(jié)果進行對比。本研究中使用的有限元模型與彈性響應(yīng)研究中的1/8 球殼模型［7］相同，但材料屬性設(shè)置為MAT_PLASTIC_KINEMATIC，并在K 文件中設(shè)置BETA=1 表示等向強化，材料參數(shù)如2.1 所示。沖擊載荷按照簡化載荷曲線式（1）進行定義，計算時長150 μs，計算步長0.1 μs。

假定三種不同沖擊載荷Load 1～Load 3 見表1，其中Load 1 情況下最大位移出現(xiàn)于準(zhǔn)靜態(tài)壓力階段，Load 2、Load 3 情況最大位移出現(xiàn)于首個脈沖階段，代入解析解公式進行計算。將計算得到的動態(tài)響應(yīng)過程特征值，如最大位移出現(xiàn)時刻、最大位移值和振幅，與LS-DYNA 數(shù)值模擬結(jié)果進行對比驗證。載荷Load 1～Load 3 的對比結(jié)果如圖2 和表2 所示。圖2中ur為徑向位移，mm；表2 中tmax為達到徑向最大位移時刻，μs；urmax為徑向最大位移值，mm；amplitude 為后續(xù)階段振幅，mm；εr為理論解與數(shù)值模擬結(jié)果的相對誤差?？梢园l(fā)現(xiàn)解析解公式與LS-DYNA 數(shù)值模擬結(jié)果符合情況較好，公式的準(zhǔn)確性得到了數(shù)值模擬的驗證。

表1 沖擊載荷算例Table 1 Examples of impulsive loading

圖2 位移響應(yīng)解析解與LS-DYNA 數(shù)值模擬結(jié)果對比Fig.2 Comparison between analytical solution and LS-DYNA simulation

4 準(zhǔn)靜態(tài)壓力的影響

參照前期研究［7，11］，利用解析解分析準(zhǔn)靜態(tài)壓力對球殼彈塑性動態(tài)響應(yīng)過程的影響。在圖3～圖7 中，urmax指整個響應(yīng)階段位移最大值，amplitude 指塑性卸載后彈性振動的振幅值，urmin為后續(xù)彈性振動中位移最小值。表3、表4 為各算例中屈服時刻ts，首個最大位移出現(xiàn)時刻tmax，最大位移值urmax，后續(xù)彈性振動階段振幅值amplitude 的計算結(jié)果。

表2 解析解結(jié)果與LS-DYNA 數(shù)值模擬結(jié)果對比Table 2 Comparison between analytical solution and LS-DYNA simulation

4.1 屈服發(fā)生于三角脈沖階段

在保證首個脈沖沖量不變的情況下，針對屈服時刻發(fā)生于首個脈沖作用期間的情況，進行了圖3～圖5中pm1=400 MPa，t1=5 μs、pm1=200 MPa，t1=10 μs 和pm1=100 MPa，t1=20 μs 三種情況在不同準(zhǔn)靜態(tài)壓力pm2水平下的分析。圖3a、圖4a 和圖5a 表示不同載荷情況在pm2=0、30、60 MPa 三種準(zhǔn)靜態(tài)壓力下計算得到的位移響應(yīng)曲線，圖3b、圖4b 和圖5b 則是將pm2作為變量，得到ur=ur（pm2）形式下徑向位移響應(yīng)最大值、塑性卸載后彈性振動位移最小值和振幅值關(guān)于pm2變化的曲線。

算例結(jié)果（圖3～圖5 和表3）顯示，在不同準(zhǔn)靜態(tài)壓力幅值下，屈服時刻不受準(zhǔn)靜態(tài)壓力影響，最大位移出現(xiàn)在準(zhǔn)靜態(tài)壓力段，隨著準(zhǔn)靜態(tài)壓力的增大，最大位移出現(xiàn)時刻變大；最大位移幅值受到準(zhǔn)靜態(tài)壓力的影響，隨著準(zhǔn)靜態(tài)壓力幅值的增大而增大；后續(xù)彈性振動階段位移最小值受準(zhǔn)靜態(tài)壓力影響也較為顯著，隨準(zhǔn)靜態(tài)壓力幅值的增大而增大。

圖3 位移響應(yīng)曲線及不同準(zhǔn)靜壓的關(guān)鍵計算參數(shù)（pm1=400 MPa，t1=5 μs）Fig.3 Dynamic response and key calculated parameters at different quasi-static pressure（pm1=400 MPa，t1=5 μs）

圖4 位移響應(yīng)曲線及不同準(zhǔn)靜壓的關(guān)鍵計算參數(shù)（pm1=200 MPa，t1=10 μs）Fig.4 Dynamic response and key calculated parameters at different quasi-static pressure（pm1=200 MPa，t1=10 μs）

表3 屈服發(fā)生于三角脈沖階段動態(tài)響應(yīng)的參數(shù)計算值Table 3 Dynamic response parameters of yielding occurring in triangle impulse

4.2 屈服發(fā)生于準(zhǔn)靜態(tài)壓力階段

在首個脈沖沖量作用時間t1較小的情況下，屈服時刻發(fā)生于準(zhǔn)靜態(tài)壓力作用期間，進行了如圖6、圖7中pm1=800 MPa，t1=2.5 μs 和pm1=400 MPa，t1=2.5 μs兩種情況在不同準(zhǔn)靜態(tài)壓力pm2水平下的分析。圖6a、7a 表示不同載荷情況在pm2=0、30、60 MPa 三種準(zhǔn)靜態(tài)壓力下位移響應(yīng)曲線，圖6b、7b 為徑向位移響應(yīng)最大值、塑性卸載后彈性振動位移最小值和振幅值關(guān)于pm2變化的曲線。

圖5 位移響應(yīng)曲線及不同準(zhǔn)靜壓的關(guān)鍵計算參數(shù)（pm1=100 MPa，t1=20 μs）Fig.5 Dynamic response and key calculated parameters at different quasi-static pressure（pm1=100 MPa，t1=20 μs）

表4 屈服發(fā)生于準(zhǔn)靜態(tài)壓力階段動態(tài)響應(yīng)的參數(shù)計算值Table 4 Dynamic response parameters of yielding occurring in quasi-static pressure phase

算例結(jié)果（圖6～圖7 和表4）顯示，由于屈服發(fā)生于準(zhǔn)靜態(tài)壓力階段，屈服時刻會受到準(zhǔn)靜態(tài)壓力幅值影響，隨準(zhǔn)靜態(tài)壓力的增大而減??；除此之外的結(jié)果與屈服發(fā)生于三角脈沖階段情況類似，最大位移出現(xiàn)在準(zhǔn)靜態(tài)壓力作用期間，其出現(xiàn)時刻隨著準(zhǔn)靜態(tài)壓力的增大而變大，最大位移幅值隨準(zhǔn)靜態(tài)壓力幅值的增大而增大；后續(xù)彈性振動階段位移最小值受準(zhǔn)靜態(tài)壓力影響較為顯著，隨準(zhǔn)靜態(tài)壓力幅值的增大而增大。

與前期獲得的彈性響應(yīng)結(jié)果［7］相比較，彈性響應(yīng)和彈塑性響應(yīng)結(jié)果的不同之處主要表現(xiàn)為彈塑性響應(yīng)分析中，準(zhǔn)靜態(tài)壓力幅值對最大位移的影響更為顯著；采用與前期研究［7］中類似的能量分析方法可以發(fā)現(xiàn)，彈性響應(yīng)和彈塑性響應(yīng)中，在后續(xù)階段即使準(zhǔn)靜態(tài)壓力作用時間很長、輸入沖量很大，但后續(xù)振動階段的最大變形幅度不受準(zhǔn)靜態(tài)壓力影響。

圖6 位移響應(yīng)曲線及不同準(zhǔn)靜壓的關(guān)鍵計算參數(shù)（pm1=800 MPa，t1=2.5 μs）Fig.6 Dynamic response and key calculated parameters at different quasi-static pressure（pm1=800 MPa，t1=2.5 μs）

圖7 位移響應(yīng)曲線及不同準(zhǔn)靜壓的關(guān)鍵計算參數(shù)（pm1=400 MPa，t1=2.5 μs）Fig.7 Dynamic response and key calculated parameters at different quasi-static pressure（pm1=400 MPa，t1=2.5 μs）

5 結(jié)論

本研究獲得了考慮準(zhǔn)靜態(tài)壓力的內(nèi)爆炸載荷作用下等向強化雙線性彈塑性球形容器動態(tài)響應(yīng)過程的分析模型和解析解，并得到了數(shù)值模擬結(jié)果的驗證。通過對結(jié)構(gòu)響應(yīng)過程進行分析，獲得了準(zhǔn)靜態(tài)壓力對球形容器彈塑性動態(tài)響應(yīng)的影響。研究結(jié)果表明：

（1）若屈服發(fā)生于準(zhǔn)靜態(tài)壓力階段，屈服時刻會受準(zhǔn)靜態(tài)壓力幅值影響，隨準(zhǔn)靜態(tài)壓力的增大而減小。無論屈服發(fā)生于哪個階段，在不同準(zhǔn)靜態(tài)壓力幅值下，最大位移出現(xiàn)時刻均有明顯差異，最大位移值隨著準(zhǔn)靜態(tài)壓力幅值的增大而顯著增大。

（2）彈性響應(yīng)［7］和彈塑性響應(yīng)中，后續(xù)階段即使準(zhǔn)靜態(tài)壓力作用時間很長、輸入沖量很大，但后續(xù)振動階段的最大變形幅度并不受影響，即準(zhǔn)靜態(tài)壓力幅值大小對響應(yīng)過程起主要作用，而非準(zhǔn)靜態(tài)壓力的總沖量或作用時長。彈塑性響應(yīng)過程中準(zhǔn)靜態(tài)壓力幅值對最大位移的影響更為顯著。在炸藥的威力評估工作中，針對準(zhǔn)靜態(tài)壓力效應(yīng)采取結(jié)構(gòu)彈塑性響應(yīng)分析更有實用價值和指導(dǎo)意義。